二、第二类换元法

1、二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法 第四四章 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 设, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称配元法配元法即xxxfd)()(, 凑微分法凑微分法)例例1. 求).1(d)(mxbxam解解: 令,bxau则,ddxau

2、故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 当1m时bxaxdCbxaaln122)(1d1axxa例例2. 求.d22xax解解:22dxax,axu 令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan)(ax例例3. 求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax例例4. 求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotx

3、xxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似Caxaxaln21例例5. 求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d常用的几种配元形式常用的几种配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxf

4、xcosdxxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例6. 求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21例例7. 求.d3xxex解解: 原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例8. 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC例例9. 求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1

5、 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样xxsin11sin1121例例10. 求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcsc

6、Cx2tanln例例11. 求.dsin3 xx例例12. 求.dcossin52 xxx例例13. 求.dcos2 xx例例14. 求.dsec35 xxxtg222d)(2123xax例例15. 求.d)(23223xaxx解解: 原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC)2cos2cos21 (241xx 例例16 . 求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos

7、4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C例例17. 求.d3cos2cosxxx xxexex111xexexxxdd xexxd) 1(例例18. 求.d)1 (1xexxxx解解: 原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)1 (1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln分析分析: 例例19. 求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxf

8、xfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf小结小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配方法(4) 巧妙换元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3

9、(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx2. 求.) 1(d10 xxx二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法 .难求，uufd)(CxF)()()()(ttft定理定理2 . 设)(tx是单调可导函数 , 且,0)( t)()(ttf具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()

10、(ttf, )(t令 )()(1xxF则)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf则有换元公式例例20. 求. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22例例21. 求. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxds

11、ecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C例例22. 求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令, ),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCax

12、xa)ln2(1aCCCaxx22ln说明说明:被积函数含有22ax 时, 除采用1shch22tt采用双曲代换taxsh消去根式 , 所得结果一致 . ( 参考书上 P201-P202 )taxch或22ax 或三角代换外, 还可利用公式原式21) 1(22ta221a例例23. 求.d422xxxa解解: 令,1tx 则txtdd21原式ttd12tttad) 1(2122,0时当x42112tta Cata2223) 1(23当 x 0 时, 类似可得同样结果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (

13、xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan,d),()5(22xaxxf令taxsec第四节讲xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln2. 常用基本积分公式的补充 (P203)(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 ,d)()6(xafx令xat xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21

14、(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln.32d2 xxx解解: 原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC(P203 公式 (20) )例例24. 求例例25. 求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212(P203 公式 (23) )例例26. 求.1d2xxx解解: 原式 =22)()()(d21x(P203 公式 (22) )2521xCx512arcsin例例27. 求.d222 axxx解解: 令,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222思考与练习思考与练习1. 已知,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解: 两边求导, 得)(5xf