人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典!)

1、设相应的一元二次方程 ax2 bx c 0 a0的两根为x1> x2且x1x2，不等式的根本知识一不等式与不等关系1、应用不等式组表示不等关系;不等式的主要性质：1对称性：ab ba2传递性：ab,bc ac加法法那么：aba c bc;ab, cdacb d同向可加乘法法那么：ab,c0 acbc ；a b, c0acbca b0, c d0acbd同向同正可乘)倒数法贝U:a b,ab01 1 a b乘方法那么a b 0 anbn(nN *且n 1)开方法那么：ab 0n an b(nN*且n 1)2、应用不等式的性质比拟两个实数的大小：作差法作差一一变形一一判断符号一一结论3、应用

2、不等式性质证明不等式二解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0的解集：b2 4ac，一兀二次方程ax2 bx c 0a 0的根有两相异实根X1,X2X1X2有两相等实根bX22a无实根ax2 bx c 0 (a 0)的解集xx 咅或X x2bXX2aRax2 bx c 0 (a 0)的解集XX1 X x22、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母，最后用标根法求解。解分式不等式时,f (x)g(x)0g(x) 0分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正 般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去

3、分母。f(x) 0 f (x)g(x)0; f(x) 0g(x)g(x)3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“别离变量法转化为最值问题假设不等式A在区间D上恒成立，那么等价于在区间X min假设不等式f x B在区间D上恒成立,那么等价于在区间D上f X max B三线性规划1、用二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式 Ax+By+C> 0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.虚线表示区域不包括边界直线2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点X, y，把它的坐标x, y代入Ax+By+C,所得

4、到实数的符号都相同，所以 只需在此直线的某一侧取一特殊点 X0,y°，从Ax0+ By0+ C的正负 即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域 .特殊地，当 C0时，常把 原点作为此特 殊点3、线性规划的有关概念:线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲到达最大值或最小值所涉与的变量x、y的解析式，叫线性目标函数.线性规划问题：般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.可行解、可行域和最优解满足线性

5、约束条件的解x,y叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤:1寻找线性约束条件，列出线性目标函数;2由二元一次不等式表示的平面区域做岀可行域;3依据线性目标函数作参照直线ax+by= 0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优四根本不等式ab 乞上21.假设a,b R,那么a2+b2>2ab,当且仅当a=b时取等号2如果a,b是正数，那么 ab当且仅当ab时取""号.2变形： 有:a+b > 2 ab ； ab <，当且仅当a=b时取等号23.如果

6、a,b R+ ,a b=P定值,当且仅当a=b时,a+b有最小值2 P ;如果S2a,b R+且a+b=S 定值,当且仅当a=b时,ab有最大值注: (1)当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大2求最值的重要条件“一正，二定，三取等4.常用不等式有：12 b a2- Vab 了2了根据目标不等式左右的运算a b2 2 2结构选用；2a、b、c R, a b c ab bc ca 当且仅当 a b c时，取等 号；3假设a b 0,m0，那么b 丄糖水的浓度问题。a a m不等式主要题型讲解一不等式与不等关系题

7、型一：不等式的性质1. 对于实数a,b,c中，给出以下命题：假设 a b,贝 V ac2bc2 ；假设 ac2 bc2,贝 V a b ；2 2 11假设a b 0,那么a2 ab b2 ；假设a b 0,那么a bb a假设a b 0,那么；假设a b 0,那么a b ；a bb11假设cab 0,那么；假设a b, ，那么a 0,b0 。c a c ba b其中正确的命题是题型二：比拟大小作差法、函数单调性、中间量比拟，根本不等式2. 设2， pa -， q2a 4a 2，试比拟p,q的大小a 23. 比拟 1 + logx3 与 2logx2(x 0且 x 1)的大小4.b 1, P l

8、g a lg b,Q1 b(lg a lg b), R lg( )，那么 P,Q,R 的大小关系2 2(二) 解不等式题型三：解不等式5. 解不等式 y ' 16. 解不等式(x 1)(x 2)2 0。7. 解不等式25 X 1x2 2x 328. 不等式 ax bx 120 的解集为x|-1 vxv2，那么 a=, b=9. 关于x的不等式ax b 0的解集为(1,),那么关于x的不等式 竺20的解x 2集为10. 解关于x的不等式ax2 (a 1)x 10题型四：恒成立问题11.关于x的不等式a X2+ a x+1 > 0恒成立，那么a的取值X围是12.假设不等式x2 2mx

9、 2m 10对0 x 1的所有实数x都成立，求m的取值X1913.x 0, y 0且 一x y(1)x5，求函数y4x 21的最大值。4x 51，求使不等式x y m恒成立的实数 m的取值X围。(三) 根本不等式ab2题型五：求最值14.(直接用)求以下函数的值域1 1(1)y= 3x 2 + 衣(2) y= x+ x15.(配凑项与系数)16.(耐克函数型)求 y7xx 110(x1)的值域。注意：在应用根本不等式求最值时，假设遇等号取不到的情况，应结合函数f(x) x -的x单调性。X2517.(用耐克函数单调性)求函数 y / 2的值域。vx2 418.(条件不等式)(1)假设实数满足a

10、 b 2，那么3a 3b的最小值是.(2)19x 0, y 0，且1，求x y的最小值。x y(3) x, y为正实数，且x 2+二 =1，求x . 1 + y2的最大值.1(4)a, b为正实数，2b + ab+ a = 30,求函数y =話 的最小值题型六：利用根本不等式证明不等式2 2 219.a, b, c为两两不相等的实数，求证：a b c ab bc ca20.正数 a, b, c满足 a + b+ c= 1，求证：(1 a)(1 b)(1 c)> 8abc21. a、b、c R，且 a b c 1。求证:题型七：均值定理实际应用问题:22.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积

11、为200m2的三级污水处理池(平面图如图),如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。四线性规划25.x, y满足约束条件:x 03x 4yy，那么2y 2X的最小值是题型八：目标函数求最值2x y 3023.满足不等式组7x y 80，求目标函数k 3x y的最大值x,y 0实系数兀一次方程2x 1 ax a b 10的两个实根为 X!、x2 ,并且24.0人2,x22 那么的取值X围是a 1x 2y 3026.变量x, y满足约束条件x 3y 3 0.假设目

12、标函数z ax y (其中a>0)仅 y 10在点3，0处取得最大值，那么 a的取值X围为。y1,27.实数x, y满足y2x1,如果目标函数z x y的最小值为1，那么实数m等于xym.()题型九：实际问题28.某饼店制作的豆沙月饼每个本钱35元，售价50元；凤梨月饼每个本钱 20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过 350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？复习一一不等式的根本知识参考答案高中数学必修内容练习-不等式1.;2.3.4-时，1+log x3 > 2log x2 ；当 134时，1+ log x3 &

13、lt; 2log x 2 ；当3x -时,31 + logx3 = 2log x24.lga 0,lgbR宀)1f0 Q (lga lgb) lg a lgb lg . ab 1 lg ab Q 二 r>q>p。5.6.x | X 1 或 X2；7.(1,1)U(2,3)；8.2不等式ax bx120 的解集为x|-1 v XV 2，那么 a =-6, b=_6.10.解：1 a = 0时，不等式的解集为XX 1 ；2分11当a工0寸，a(x)(x- 1)< 0；当a< 0时，原不等式等价于(x)(x- 1) >0aa1不等式的解集为XX 1或X； 6分a当0&l

14、t;a< 1时，1< 1，不等式的解集为x1 X - ； 8分aa11当a> 1时，< 1,不等式的解集为x ' x 1 ； 10分aa当a = 1时，不等式的解为 ©12分).9.(,1) (2,11.0 < xv 412.m1-)213.m,1614.解:(1) y= 3x2+右>2 2： 2 = - 6 二值域为-.6 ， +8)(2)当 x> 0 时，y = x+1 > 2px x =2 ；当xv 0时,1 1尸X+1= -(-x-x )15.值域为8，-2 U 2， +8)54,5 4x 0， y4x2 5 4x4x

15、5132 3 15 4x当且仅当5 4x(2)1，即x 1时，上式等号成立，故当 x 1时，5 4xy = X8-= l2z - (8 - 2h) < 扩亡-巧，=8ymax 1。当2x= 3- 2a，即x= 2时取等号 当x = 2时，y x(8 2x)的最大值为8。16.解析一:/ +7/ + 10> =当1 ,即 - 1 '时，y 2., (x 1)459 (当且仅当x= 1时取“=号)。解析二：此题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=x+ 1，化简原式在别离求最值。(t 1)27(t 1)+10 t2 5t 4y ： t当-14tt,即 t= ；时，y 2(当t

16、=2即x= 1时取“=号)。17.解：令x24 t(t 2)，那么2xx2 4t 】(t2)x24 丿因为10,t -1，但 tt1y t 在区间t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。所以，所求函数的值域为18.(条件不等式)1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y总2(1)解：3a和3b都是正数，3a3b > 23a3b23ab6当3aba3时等号成立，由a b 2与33b得a b 1即当aabb 1时，33的最小值是6.当且仅当9x时，上式等号成立，又y，可得x4,y12 时，xmin16(3)1 + y 2厂=x 1十与解:下面将x，+与 分别看成两个因式:+ y

17、22 )2x 2k2 =y 21-k 2十22即 x , 1 + y2 = .2+专.2(2)片19解：丁 x 0,y 0,- - 1,19x y x y _y9x10 6 10 16x yx yxy(4)解：法一 a=汙，ab =需 b =b+ 1b + 1b + 1由 a > 0 得，Ov b v 15令 t = b+1, 1 v tv 16，ab2t2+ 如31 一 2( t + 普)+ 34 V t+ 严莎 t 晋法二：由得：30 ab= a + 2b - a + 2bA2.2 ab - - 30 abA 2f2 ab/ ab< 18y售 当且仅当t= 4，即 b= 3，a

18、= 6时，等号成立。18令 u = ab 那么 u2+ 2 2 u - 30 < 0，- 5 2 < u< 3 2,ab < 3J2 ， ab< 18，. y> 花19.a,b,c为两两不相等的实数，求证2 ab22 cab bcca20.正数a，b，c满足a+ b + c= 1，求证：(1 a)(1 b)(1 c) a 8abc21.a、b、c R，且 a b c 1o求证：丄11 1丄18abc11 ab c2 bc厂1“2 . ac证明:! P4a、b、c R ，a b c 1 o-1o同理1aaaabb1 1 乙眇。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得cC11 i 2、. be 2 ., ac 2 ab号。ea b e320022.假设设污水池长为x米，那么宽为：-米200 2 200>：米中间隔墙长：: