中考数学系列专题24二次函数

1、专题24二次函数聚焦考点温习理解、二次函数的概念和图像1 、二次函数的概念一般地，如果y ax2 bx ca,b, c是常数，a 0，那么y叫做x的二次函数。2y ax bx ca,b,c是常数，a 0叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x3、二次函数图像的画法b2a对称的曲线，这条曲线叫抛物线。五点法：M,并用虚线画出对称轴1先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点2求抛物线y ax2 bx c与坐标轴的交点:当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。 将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向

2、上或向下延伸，就得到二次函数的图像。二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：1一般式：y ax2 bx ca,b, c是常数，a 02顶点式：y ax h2 ka,h,k 是常数，a 03 当抛物线y ax2 bx c与x轴有交点时，即对应二次好方程 ax2 bx c 0有实根X!和x2存 在时，根据二次三项式的分解因式 ax2 bx c ax xjx x2，二次函数y ax2 bx c可转化为 两根式y ax xix X2。如果没有交点，那么不能这样表示。三、二次函数的最值K如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值或最小值，即当x 时，2a4ac b24ay最值如果

3、自变量的取值范围是%Kx X2，那么，首先要看是否在自变量取值范围2axX2 内,假设在此范围内，那么当x=时，4ac b2那么需要考虑函数在X2范围y最值；假设不在此范围内，x2a4a内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，那么当x x2时，y最大ax； bx2c ,当xx时,y最小ax； bx1 c ;如果在此范围内，y随x的增大而减小，那么当x X1时，y最大2a%bx1c，当x X2 时，y最小 ax； bx2 c。四、二次函数的性质1、二次函数的性质22、二次函数y ax bx ca,b,c是常数，a 0中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上，a

4、<0时，抛物线开口向下Kb与对称轴有关：对称轴为 x= 2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：0，c3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的b2 4ac，在二次函数中表示图像与 x轴是否有交点。当 >0时，图像与x轴有两个交点；当 =0时，图像与x轴有一个交点；当 <0时，图像与x轴没有交点。 名师点睛典例分类考点典例一、二次函数的图象【例1】2021浙江宁波第11题函数y ax2 2ax 1 a是常数，a工0,以下结论正确的选项是A.当a 1时，函数图象过点-1 , 1B当a2时，函数图象与x轴没有交点C假设

5、a 0,那么当x 1时，y随x的增大而减小D假设a 0,那么当x 1时，y随x的增大而增大【答案】D.【解析】试题分析:选顷再些口=1叭国数皿-1娈対尸x-h-1舰沪-L代人得尸為所以点7心不再函数團象上，选项A错凰 选项眄当"一2时，函y = trr - 2 -1 gy = -2x: + 4.y-1, A=lS-9>07，所以国数團象与x轴有两个交点，选项B错误；團数y = -2-l。是常数，比、 的对称轴为口根据二;应数的性压可得当朴沁在对称轴的右虬 即沦1时，丄随尤的増大而増大, 当口在对称轴的左侧即当工£1时y随x的増大丽增尢 所以选项叮振，选项b正确，故答素

6、选D.考点：二次函数的性质【点睛】根据二次函数的性质解决即可.【举一反三】1 22021广东广州第9题对于二次函数 y二-x2+x-4,以下说法正确的选项是4A、当x>0, y随x的增大而增大B 、当x=2时，y有最大值一3C、图像的顶点坐标为一2, 7D 、图像与x轴有两个交点【答案】B.【解析】1 2 1 2试题分析：二次函数y = -X +x- 4 = - 4x- 2 - 3,所以二次函数的开口向下， 当XV2, y随x的增大 而增大，选项 A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为 3,选项B正确；顶点坐标为2, -3 ，选项C 错误；顶点坐标为2, -3 ,抛物线开口向下可得抛物

7、线与 X轴没有交点，选项 D错误，故答案选 B.考点：二次函数的性质考点典例二、二次函数的解析式【例2】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B 0, - 2.它与反比例函数 y=-上的图象交于点 A m 4,x那么这个二次函数的解析式为B. y=x2 - x+2【答案】A2小C . y=x +x - 2D. y=x2+x+2【解析】试题分析:将A m 4代入反比例解祈式得：4=1，即血二-Xtn；.A -2, 4.4 2i + c =4 将A -2, 4, B O, -2代入二次购徹解折式得；丿 .,c =-2%解得:b=-l, c-2,二次圈瓠解析式为W：-x-2.应选A.2【点晴】先

8、根据 A在反比例函数图象上，求出m的值，再把 A B点坐标代入二次函数 y=x+bx+c中，求出b、c的值即可.【举一反三】2021福建南平第14题写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在 y轴上：.2【答案】y x 答案不唯一.【解析】试题分析：由题意可得：y x2 答案不唯一.故答案为：y x2 答案不唯一，只要 y ax2 bx c中0, b=0 即可.考点：二次函数的性质；开放型.考点典例三、二次函数的最值2【例3】2021黑龙江哈尔滨第16题二次函数y=2 x-3 - 4的最小值为 .【答案】-4.试题分析：二次函数 y=2 (x- 3) 2 - 4为顶点式，因此最小值

9、为-4.考点：二次函数极值.【点睛】根据顶点式得到它的顶点坐标是(3, -4)，即可求出函数的最大值.【举一反三】当一2wxwi时，二次函数y x m 2 m2 1有最大值4，那么实数m的值为【】(A)7(B)3 或 3 (c)2 或 3 (D)2 或.3 或 744【答案】C.【解析】试题分析：-目-2* 时，二;欠團数有最大值?二二次13做在- 1勺0上可能的取值杲沪- 2或兀勻或x=n.1-Jf jV 65当x=-2B由4=-(-2-町 m 解得m=-亍L比时厂-皿盲j?它在-卫幻的最大值是>4 >与题意不符.16i*嗨当炉1时，宙-m* + l解得m-2 ;此时叮-5它在一

10、 2灵1的最大值是码与题蕙相符. - F_ 4当沪m时由斗= 解得,此B寸y = 1葢二J5| -4 对一斗它在-比迢的最大1醍4*与题意相符*对y-(x-n/3 | -4户它在-生也在咒1处取為 最大值小于4：与题誉下符.综上所述，实数R的值詞上或应选C考点典例四、二次函数的图象与性质. . 2 .【例4】(2021四川达州第10题)如图，二次函数 y=ax+bx+c (0)的图象与x轴交于点A (- 1,0),与y轴的交点B在(0,- 2)和(0,- 1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线 x=1 .以下结论： abc> 0 4a+2b+c> 02 4ac- b < 8a

11、 育a<3 b> c.其中含所有正确结论的选项是()A.B. C.D.【答案】D.【解析】试題分析；由團象可手血数开口方冋问上可得心由对称轴在原点左侧可得就异号，再由抛物线与F轴交点在卩轴员半轴可得c<0,所以abfl>0,正确$由曳象与乂轴交于点A ( 0几对称轴为直 线沪可得團象与莖轴的另一个交点为,所以当龙=2时y<5朋4#处忧=0,朗旨误；当- 1 0, y=( - l)*a+bX C - l)+c=0,所以,a- b+c=O_,即 a=b - cf c-b a,宙对称$曲为直线 x=l 可得=1la即 b= - 2ij 即可得 c=b _ a= C 2a

12、) a= 3a> 所以 4ac _ K=4 *a"( - 3a) - C - 2a) b- 再因矗>0所以址-川<弧正确j由團象与y轴的丈点.E在(0-2)和。- D之间，可得- 2匕1<-U 所艮呵得：>!>；因 可得 b-QO,即 IE 确;33故答案选=D.考点：二次函数图象与系数的关系【点睛】根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案【举一反三】(2021山东枣庄第12题)二次函数y ax2 bx c ( a 0 )的图象如下图，给出以下四个结论：2abc 0 :a b c 0 :a b:4ac b 0 .其中，正确的结论有A.1个

13、B.2 个 C.3 个 D.4 个y【答案】c.【解析】试题分析：观票團象可知抛物线的團象过原轧 所以口，可得航D正确当#1时'團象位于X轴 的下方'y<6即針b+Yo,误抛物线的團象幵口问兀对称y轴的左侧，可得占<5又因=-?所b=3a；又因YO, b<0；所以浊>»正确？抛物线的團象与掘轴有两个交点， la 1可得b-4rac>0,即可得畑-新< J正确，故答案选匚考点：抛物线的图象与系数的关系考点典例五、二次函数图象与平移变换【例5】(2021黑龙江绥化第15题)将抛物线y 3(x 4)2 2向右平移1个单位长度，再向下平移

14、3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 .2【答案】y 3(x 5)1.【解析】2 2试题分析：y 3(x 4) 2向右平移1个单位所得直线解析式为：y 3(x 5)2 ;再向下平移3个单位为：y 3(x 5)2 1 故答案为：y 3(x 5)2 1 .考点：二次函数图象与几何变换.【点睛】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式.【举一反三】(2021内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第11题)在平面直角坐标系中，将抛物线y=-丄x2向下平移1个单位2长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是()-123121_123f121A. y= - x -

15、x -B. y= - x +x -C. y= - x +x-D. y= - x - x -2 22 2 2 2 2 2【答案】A【解析】试題分析二根据平移的规律；自咕潴上加下减，可得；将牠物线产-丄亦冋下平移1个单位长度得到的抛物线的解析式是再向左平移L个单位长度，得到的抛槪戋的解析式罡：尸計1 x 1= 丄 x" X * 额选血,T*1*考点：二次函数图象与几何变换.课时作业能力提升一选择题1. 2021山东滨州第10题抛物线y=2x2 - 2x+1与坐标轴的交点个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C.【解析】试题分析：抛物线 y=2x2 - 2 x+1，令x=0，得到y

16、=1，即抛物线与y轴交点为0, 1;令y=0,得 到2x2- 2x+1=0，即一 乂 - 12=0,解得：X1=X2=.：，即抛物线与x轴交点为-一，0,那么抛物线与坐标轴的交点个数是 2，故答案选C考点：抛物线与坐标轴的交点.2. 2021山东滨州第11题在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，那么原抛物线的解析式是5 211/5、2 11A. y=-(x -)2-B. y=-(x+ )24245、21/5、2 1C. y=-(x -)-D . y=-(x+ )+ 2424【答案】A.【解析】5 试题分析：抛物线的

17、解析式为y=x2+5x+6，它绕原点旋转180 °后变为y= - x2+5x - 6,即y= - x -21 51511?+,再向下平移3个单位长度的解析式为 y= - x - 2 + - 3=- x - 2 -.故答案选 A.2424考点：二次函数图象与几何变换.3. 2021湖北黄石第9题以x为自变量的二次函数 y X2 2 b 2 x b2 1的图象不经过第三象限，那么实数b的取值范围是A. bB. b 1 或 b 1 C. b 2 D.【答案】A.【解析】试题分析：二坎函数-20-的團象不经过第三象限，所以抛物线经过第一、二 四 象限顶点在第四象限?或一、二蒙限顶点在近轴上或

18、£轴的上方人当抛物线的團象位于第一、二四 象限顶点在第四象限人根据二玄项系数知道抛物线幵口方冋叵Lb由此可叹确走抛物线与/由有两个交 点，都在X轴的正半轴#抛物线与曲由的交点在原点或原点的Lt方，对称轴在y轴的右侧，由此可得沪-1 >o, A= 46-2:-4& - = -166 + 20>fl, bQo,可得b无解芮片肾况不存往j当抛物线的图象位 于第一、二象限顶点在域轴上或x轴的上万力由此可得A=4&-2；-4fi:-l =-166 + 200,解得 故答秦选A.考点：二次函数的性质.4. 2021湖北鄂州第9题如图，二次函数y=ax2+bx+c a丰

19、0的图像与x轴正半轴相交于 A、B两点，与 y轴相交于点C,对称轴为直线x=2，且OA=OC.那么以下结论:2 1abc>09a+3b+cv 0c> 1 关于x的方程ax +bx+c=0 a丰0有一个根为 一a其中正确的结论个数有D. 4【解析】试题分析:由團象可知抛物开口向下，可得 心 由抛物线的对由在y轴的右侧，可得b>6 抛物线 与y轴的交点在雲轴下方n可得亡<5所以.abc>0,即正癘当乞=3时n y= axbs+c=ga+3b+c>0,所以 错误，RJW A - g, 0；由團知川在1的左边；.-c=<l ,即4S 即正确亍把一丄代入方程ax

20、+bx+u二0 a=O得ac - +1=0；把A-匚0代人/=曲亠血址得ac - bc+c=0 r a即耳匚- b+L=0所以关于X的方程a/十W十cP #0有一根为-丄,即正确i故答案选C.a考点：二次函数图象与系数的关系；数形结合思想.5. 2021广东广州第9题对于二次函数1 2y = - x +x- 4,以下说法正确的选项是4)A、当x>0, y随x的增大而增大B、当x=2时，y有最大值3C、图像的顶点坐标为一2, 7D、图像与x轴有两个交点【答案】B.【解析】1 2试题分析：二次函数y = -x2+x-4.4 =-1 2-x- 2 - 3,所以二次函数的开口向下，当XV 2,

21、y随x的增大而增大，选项 A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为3,选项B正确；顶点坐标为2, -3 ,选项C错误；顶点坐标为2,-3 ,抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项 D错误，故答案选 B.考点：二次函数的性质6. 2021湖南怀化第7题二次函数y=x2+2x - 3的开口方向、顶点坐标分别是A.开口向上，顶点坐标为-1，- 4 B .开口向下，顶点坐标为1 , 4C.开口向上，顶点坐标为1, 4 D .开口向下，顶点坐标为-1 , - 4【答案】A【解析】试题分析：二次函数 y=x2+2x - 3的二次项系数为a=1>0，所以函数图象开口向上，又因y=x2+2x -

22、3=x+1 2 -4,即可得顶点坐标为-1,- 4.故答案选A.考点：二次函数的性质.7. 2021山东威海第11题二次函数y=- x- a 2- b的图象如下图，那么反比例函数丄与一次x函数y=ax+b的图象可能是【答案】B.【解析】试题分析：观鬃二欠的数團象可知，图象与y轴交于丙半釉，-b<o. b>o捌物绒的对轴Qo在反 比例函数尸旦中可得ab>0,所以反比例函数團象在第一、三象限；在友酗尸如b中，a>0, bX)A x所以一次函数尸屯托的團象过第一、二、三象限.故答条选B考点：函数图像与系数的关系 y【答案】C.ax2 bx c的图象如下图，那么以下结论不正确的

23、选项是(2C. a+b+c > 0D. b 4ac > 0【解析】试题分析：A.抛傑研口方同可口那么乂g故本选项错询B.抛物线与y轴交于正半轴J那么4匚故本选顼错误；C-当R日寸7 <0.+-£<0；故本选项正确孑D.抛物线与加轴有？个交点，那么H4皿次.故本迭项¥駅期 应选C.考点：二次函数图象与系数的关系.填空题9. 2021河南第13题A 0,3 , B 2,3 是抛物线yx2 bx c上两点，该抛物线的顶点坐标是.【答案】1,4.【解析】试题分析：把 A 0,3，B 2,3 代入抛物线 yx2 bx c可得b=2, c=3，所以2 2y x

24、2x 3= x 14，即可得该抛物线的顶点坐标是1,4.考点：抛物线的顶点11. 2021内蒙古通辽第17题如图是二次函数 y2ax bx c图象的一局部，图象过点A(- 3, 0),对10. 2021广西来宾第19题函数2y x2x，当时，函数值y随x的增大而增大.【答案】x<- 1 【解析】试题分析：T yx22x =(x 1)21 , a=-1v 0,抛物线开口向下，对称轴为直线x=- 1,.当 x<-1时，y随x的增大而增大，故答案为：x w- 1 考点：二次函数的性质.称轴为直线x= - 1,给出以下结论:5abcv 0， b2 4ac > 0,4b+cv 0,假设

25、 B(, yJ、C(21 , y为函数图象上的两点,2那么y1y2,当-3< x< 1 时，y > 0 其中正确的结论是填写代表正确结论的序号试题分析：由團象可知a<0, &<0, >0,故错误丁拋物线与上轴有两个交点，二，-心>0,故正确丁抛物线对称轴为尸- 1,与x轴交于V (-3, 0抛物线与m轴的另一个交点为(b 0),二MEI -= li b=laf <r3at .4G=Ek?-3a=5a<0j 故正确.2应人1亠廿(-,>j). C <- f yr)为函埶图象上的两点又点C闾对称轴ifi,二y < y7

26、、故错滨由團象可轨，疋点1时，汐,刼正确正确，故簷案孙 .考点：二次函数图象与系数的关系；综合题.12. (2021黑龙江绥化第15题)将抛物线y 3(x 4)2 2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是【答案】y23(x 5)1.【解析】试题分析:y 3(x 4)22向右平移1个单位所得直线解析式为:3(x 5)2 2 ；再向下平移3个单位为：y 3(x 5)2 1 故答案为：y 3(x5)2考点：二次函数图象与几何变换.三解答题13. (2021浙江宁波第22题)(此题10分)如图，抛物线 yx2mx 3与x轴交于a, B两点，与y轴交于点C,点B的坐标为(3

27、, 0)。(1 )求m的值及抛物线的顶点坐标;(2)点P是抛物线对称轴丨上的一个动点，当 PA+PC勺值最小时,求点P的坐标。(1,2 ).【解析】试题分析=把点B的坐标为 0代入工=-丄+醪+ "解方程艮阿得俎的值，求岀忙的值后把 拠物绒优対顶点式B卩可得抛物绒的顶点坐标连接肌交的对称轴于点叭此时PA-PC的值最 小，制用待定系娜去求得直线BC的解析式,再求点P的坐椒网一试题解析：把点B的坐标为无0代入得：0二-即+3堀+齐解得m-2 j.- y = 一£ 4-2x + 3y - -x2 十2工十3 = 一丸，一 2尤十D十 4 = -x-1' + 4顶点坐标为1,4