二重积分的系统题型与题法

1、第23专题讲座-二重积分的系统题型与题法 2021重积分的六大对称性如果积分区域D具有轴或点对称(令Di表示D的一半区域，即D中对应y_0局部，余类2推)，被积函数f(x, y)同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住以下6类对称性定理。 f(x, y)dxdyDf (x ,y )dxd y是关于的偶函数，即-f(x,y)Di0, f x( ,y = ) f 心,) D关于X轴对称(D关于丫轴对称类推) D 关于 X, Y 都对称|f(-x, y)二 f(x,-y)二 f (x, y)f ( x,4 f(x,y)dxdy,JJf

2、 (x,y)dxdy 詔乜0, f ( x,y) = f(x,y)或 f(x, y) = f (x, y) D关于原点对称0, f( x, y) = f(x, y)JJ f (x, y)dxdy ? 2 JJ f (x, y)dxdy, f ( x, y) = f (x, y)DD _LL_ 2 当u和D2关于某一直线对称，对同一被积函数，那么f(x,y)dxdyD2f(x, y)dxdyD1 D关于X -a轴对称 万能轮换对称性?轮换对称性描述如果将x与y及z交换，即y, z, zx后，积分区域方程不变，那么将被积积分，函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分

3、，三重 曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。口 ( a x +b y pxdy = II|x|ff (x +|y dxdy = 42 |x| ；y|丄2 II I x y dxdy = 4 a b 1x y 1x_0, y_011 xdxdyX y<1x_0, y_0|2x2 y2?-2 2 2 2IfvfJ二"y _+3二Jyx+ x + 3重积分次序选择原那么与积分次序的更换方法?轮换对称性实例陈氏穿线法【原创】后积先定常数限相交必须同一线隐含边界须周全 极坐标二逆弧线,先积方向正直穿; 否那么域内要分拆;6类对称挂耳边; 多种边界同园拆。 先看积分区域的边界方程

4、，那个变量幕次高，就后积此变量题型一关于积分交换次序题法x2【例 1】计算 I 2dxdy, D 由 xy=2, y=x2,x = 2 所围。口 y一 2解：x幕次高，所以先积y=D:1_x_2,_y_1 ? x2x21 七 2x272ydxdy = jdx 2x2 dy = +arctan2 - y 8 假设被积函数只有一个变量，就后积此变量;【例 2】I = sinrdxdy , D 由 y = x, x = y2 所围D y解：被积函数只有一个变量y，先积xsin y曲 dxdy y 0 yy dy 2 dx = 1 -si n1 y解:【例3】更换积分次序0 以于乞| arccos:f

5、 x,y dy:dx "f x,y dy作DAD2图形，'0 E兰 1D1 :0gED2 : A-A20兰y兰2得：Io【例4】交换积分次序.2 _ydyi gf x, y2x28dXxf x, y dy .2dx.xf x ,dxy dy解:Diy _x2I2 <x < 8叫仔81 二 _arcsin y1 = .0dy0 arcs iny【例6】更换积分次序I r2 二 d 0_42a c os f画出Di,D2图形，得:匕 dy y f x,y dx 4dy 2 f x,y dx2 二s xn例 5】更换积分次序 I = L dx. f (x, y)dy02

6、兀_ _arcsin yy dx- _idy “ csinj X, y dx解：如改为先二后那么有以下两点技巧D的边界曲线全都用极坐标表示 假设以原点o为圆心的一系列同心圆与y区域d的边界曲线中的不同曲线相交，贝炖在交点处用逆时针园弧线2a把，的区间分为两个正规区域:DJ<eDJP a -arccos2aJ2a兰P兰2aParccos 一2aarc cosJI42a2aI = 0 d2a2aParc cos 22、f “arc cos 2a 积分次序一般以尽可能不拆分区域即为正规区域为基准。、换元法技巧以尽可能简便D为出发点，再参考f x,y,z的特征。如球对称用球坐标，锥体用柱坐标等

7、微分元换算利用雅可比行列式ddudv 列 u'f x, y dxdy 二 fx u,v , y u,v DD：".f X,y,zdxdgdz :m fx u,v,w / u,v,w QA，y，Z dudvdw:u,v,w jxx：其中雅可比矩阵:x,yju-v.-:u,vyy：；vy题型二关于对称性题法【例 7】D1： -1 _x _1, -2 _ y _2,X = (x2 y2)dxdyDi2 2D2: 0_x_1, 0_y_2,2= (x y )dxdyD21 解:f为偶函数数，Di关于x, y都对称，D2正好是o的-，故42h =412 = JJ(x + y jdxdy

8、 = JJx dxdy + JJy cAdy = dy x df + y dydx = 4D2D 2D 22 2【例 8】计算 I 二 xydxdy 1 0 :x2 y2 i； =2x2 - y22 D2: x2-2xyD解：(1) D关于x, y对称f x, y 二 xy 关于 x, y 者 E 是奇数=I 二 xydxdy = 0Dji(2) D关于原点对称，f -x,-y = -x -y = f x, y = xy, f x, y为偶函数，故sin 2iif x, y d ;Dr =2i!xyd 二=2 ； dr3r3 sincos 丁【例9】设区域D由y =x3,y =1,x - -1

9、所围，试计算I二x1 yf(x2 y2)d、D解：作辅助线y = -x3，那么D分为a和D2。显然，D1关于X轴对称，D2关于丫轴对称I =x1 yf(x2 y2)d 亠D1nxV yf(x2 y2)dD2、xd-Di0-x32=【“ xdxL dy =-52 2【例 10】 计算 l="(Q+A-2sinx+4y+4)dAD p qD:f+ a解：由于D关于X , 丫轮换对称性，故2 2 =(-2sin x 4y 4)d ；中被积函数又可以轮换，积分值不变 D p q 又由于D关于X 丫轴均对称，故11 2sin xd；：. = 0 11 4yd ；：12I ? ?(XD P .1

10、 (P2x+ )db + |74d<i q D(1 丄归4 P q2 x , I 例 11 】设二兀函数 f X,y =)z(x y )dD2 二 a) i r2dr 0 0亠 4 二 a-4a22122x2 y2x +| y m1 八 2 ，计算二重积分! f x,y d ；，其中 DD =(x,y )| x|+|y 兰 2。解：记 U =(x, y )| x +|y 兰仆 ，D2 = D D1.f x, y d ；Df x,y d-D1D2.f x,y d-2 1x dD1dda.x2 - y21 2=4 x dx1-y 2dy +4 dx 2-1 dy - dx2 2 0x21y2

11、dyj'2ln 21例 12 】计算 I a 二 f x,y dxdy ，其中 :D2 2D : x y - ax a 0 , fx, y =x,x - a, y - a1 -cos ' aln 1 a 210,otherlim10 卞解： D 关于 x 轴对称， f x,y 关于 y 是偶函数，那么I a = 2 11xdxdyDi_22oxdx ody oddac o-js0r cosv rdr2 a343 2a 3 3cos 日 d& =alim -a 10 1cos ,'a In 1 a2 a >0 1:lim -a2In 1 a1 2aAA33

12、a a - 80 1 2lim a a2题型三关于极坐标题法陈氏第14技|能否使用极坐标主要由被积函数的特点决定，而不是由区域特点所决定;使用极坐标方式有两种：1原位法:x_rcos-'或2平移法:=y sin Bx-x 亠 coS y = y + s i n，选择的原那么是使被积函数容易积出，一般来说，被积函数具有f x(a) 11 = J0dxLu (x2 +y2)dyy2或f xmyn形式时，使用极坐标会大大简化计算。如果选择不当会使积分求解复杂。？常用结论m 4am nU x yx2 4y 2 爸 2i2co sA sWd? m +n+2 o当m和n没有一个为奇数当m和n至少有

13、一个为奇数【例13】计算b I20叮 4 _x 2 2222dx _ x y dy 0 dx 2xj<2 x y dyJ4 _x2 22c设f x, y在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上为零，试证明一 1xfx +yfyf ° 0 "叫齐xrA-dxdy日2冒進x + y、人、人 .g 二 x 二 1 解：a积分区域为：D-J J1 X Wy 兰寸 2x_x显然此题适合用原点极坐标，丄 x = r cosA y = 1 -、1 - x2 > r = 2sin -父点坐标、2,y = r sin r y = 2x -x2 -； r = 2cos由对称性知：2si

14、n 'h =2 r 2 rdr=2o 4dr °r3dr =8 o4sin4(1 十 cos4 日 )i dB = 2 r 1 -2cos20 +0 Id- ±_84(8i ?2 沁乞 o b 积分区域2 为： D:x 兰 y 兰 j4 x22dx*x y dyx y土22K 24一匸 4.0rrdr 2十r2 rdr 20'2cos 日4 4兀n Z4 .j 1-cos4A W- 一? 404x2 :Ix=rcosT ，y=rsi2 2 2c 使用原点极坐标，pc丸 0Pfx fy-r.:rrcosv f xr sin v fy 一 xfxyfy“士m*&

15、#39;?<x2 y2dxfxx2yfyy22- rdrdrdxdy = lim；-02r20_ 上1 一1f rcos rsinA dA=lim0 21limQ 20 : rf COST , ； sin dJ - lim f ； cos , ；sin = f 0, 0 j - - .0, 2 一.1=limi 0 2 【例14】计算解：D: x2 y2£丿为偏心圆域，由于被积函数的特点，故可使用极1 x 二 r cos - 坐标，而这里有两种取法如使用原位法，即D. : 0. 2 2JI , 0 乞 r 乞 RcosA、y = ysi n=I = 2 ! . RA-x 2 y

16、 dxdy = 2d Di2-Rcos 32 -2 R2"2一 i2 R 二02 3 一iR3sin3 二 d-如使用平移法，即Rx r cos20 _ r _R ,本质上是把圆心平移到原点y 二 ysin v-2.R' -x '-y dxdv一一2 JODi显然上述积分十分繁琐，此题不能使用平移法R "J+ Rrcos drdr4丿但在别的场合，必须使用平移法以简便计算,因【例15】求积分I = x ? y-x2 -y2 dxdyDD :x+y 30x =1 r COS t i 2解：方法一：平移法1 .y y si nv2二 D : 0 _2 :y-l)

17、方位法x2y2zAa2az =i 2x = r cosy = ysi n为平移法有个优点就是能使积分上下限常数化。参见下例。b+2 朋 丫x + 学=a工丿2aI 2-2 2 2x y - z- _ 22 2 . 15x y al 4 Iz =.4Zx由于对称性S=41Zx = jj6P2sin2 日 cos2 日 |12 Psin。cosA| d Pd 日D1sin Qbos 日 ,= 十 12、62si n2Tcos2rd上半球 z = ia -x - yazy = - -A2 一 2 a - x - y-4.DxyJI=4 2dA J02 2 2-x - y.押- - 3a2dxdya

18、a 22 上 a 1严 d 小 v22 皐廿 a2Zy dxdyDxy弋在第- 象限所围成的区域例仃】 l i i、 xydyDfx 解：由一1243 y丨=翌解出x, y相当困难，为此采取极坐标，令6x = 2A c= 3A si为广义极坐标 ,61丿2 3纽 4 = f2sin2 cos -A=- :'2 = sin2co$所研究的曲线在第一象限，于是厂 -sins 解出厂上下限 ， si nvcosv -0= ： - 0,2云x,y 2cos2 日 TPcosAs in 日云P,B 3sin2 日 6Asin 日 cos 日+ + 2,2 2abc解：作广义极坐标变换x = ar

19、 costy 二 brsinr* 2z = c, 1 - r 2再采用穿线法，有c. 1 上4abrdz = abcJ319】求曲线| b52 2仝包围的面积S。【例18】求椭球体的体积2 2 2广义极坐x y z兀cI例? sin4 /2 abr解:S = dxdy =Sa5b51o2da2b2c44cos5-5a b1260c4【例20】求曲线4 x 4 y =1 ；x=0; y =0包围的面积S。S= JJdxdy =8 JJabr co& 砕-7sin毋 drd8 =4abJSS172 3 ab=4ab u 1-u du 二0701D x* 1【例21】计算I 二 cosdxd

20、ylx = 0 , y =所围区域D解：令 u = x_y, v=x y题型四 关于换元题法I :11 cos dudv -D v2uvdVcos duv2sin 1 vdv1sinba p3u例 23】计算由曲线y2 =a2 -2ax,b2 -2bx, y2 = m2 _2mx.y2 = n2 - 2nx所围成的面积例22】求y2：q> p q和第：°?b所围D的面积。y2解：作变换，令 一=u, xy二v,由此把原有的曲线区域变成矩形区域xx，y11u,v8(u,u )1 y2 2y| (x,y)2xxy x1 13Y2 _ 3uxS 11dxdy =D(y -o, b a

21、 0, n解：令 y2 - 2ux = u2 2 y -2vx = V =U -Vx =uv ,雅克比行列式J二jx:vS = dxdy 二1 11Da ? 辿 ib ,m卫in14fuJ-dudv莹m应、v2u141 dudv =一 JJa : : u :mmrrfvJJ J-c ludvI m应p)dudv-33(b a2) (n213311 丁m2) + (n2 m2)(b2 a2)x y In 1dxdy例 24】V 亠.二1x总(u,v)cu cu ex点ycv cv& 勿解：设 u = x y;卫兰yAx !0勻岂u3=32 ； 一乞+y岂r卜勺岂1 v244I0仝仝3 i

22、ix y l n |1 y1X1i u_L dxdy= #41-x -y题型五 关于隐含边界题法【例25】计算八.0dy : =dx解：用隐含边界圆弧r =1将区间分为1 2 -1 / r2 si nv二 dr 4 十2dr1-u1du j0j 1 v1 n 1 v d-竺 1 小 2480Di和D2两局部,使用原点极坐标，得例 26】解：题中y【例27】20 011(1 21厶dr 1 r17|1 叽1+r2丿0J'-arcta n2 -2二x2为隐含边界2y _x dxdyD _12I = sin(x y)dxdyD解:I = sin(x y)dxdyD2r2.22drD22 dr

23、.x2r1 宁 ? arccos 1 亠r2 22 r22 dr+ /丄八1 1 r2dr 2 J2d 1 r221 rji x <1D屮0乞y乞2ydxdy25dy ./x 0 . x2 - ydy 二 3十D: 0込i isin(x y)dxdy31_o y :“日|rdD:x2-1sin?答案：16=o dx o"si n(x y)dyXDiex y dxdy 亠 i iex y dxdy 亠 i iex y dxdyD2D3D3关于丫轴对称二个区域DiD3ydxdy= 2 11 ex dxdy=,而被积函数相等,1r2 : ore dr = 4(_1)【例 29】I =

24、 3x 4ydxdyD2兀 1)dr2dr10 :sin二女姑-3sin词T一 一一2035 2 二 5 2 二 10 二一 sin( J=0 T3十(利用 0 f(x+a)dx= f(x)dx=J 0 f (x)dx)同步练习：JJ iA-x2-y2 dxdy d V22+例 30】计算Ixdy-0 dx xsin(x y)dy0- -_x评注如果此题改为 D:Ax<Ki _xi 2 i _xi 2I 二 sin(x y)dxdy 二 °dx °sin(x y)dy_dx°sin(x y)dy 亠 i dx ? sin(x y)dy DJI J JI1 c

25、osx dx 0 2xdx 亠丨 |1 -cosx dx =4 二【例 28】I = JJsgn(x + y)e“ dxdy D : x2 兰 y 兰1 x2D解：隐含边界为 x y =0 , 令1=2Di ： i 耳1D2 二3D3 二' ，I - 2x2JJ x + ydxdy = jj|x y2 1D11 x y dxdy 11 i x y dxdy D1D11 D2 申O'47 , O - :' -14- 4, O -+ ydxdy =-1JJ(x + y pxdy - JJ(x + y pxdy DD1 2= 2 ,x ? y dxdy -0 D1x ? y

26、dxdy=O因为 D 关于 x, y 都对称，所以 ,D1 _.D2 ZD=4 i ixdxdy 因为 D 关于 x, y 具有轮换对称性 D3=4 4-cos d : 2d0例 31】计算 I = JJ |x + y 2dxdy0 ： x： 22工2解：使用 x + y=0n y = -x 和 x + y=2n x+y=2 或 x + y = -2 共 3 条隐含边界把积分区间从 x+ y-2; DNyMx + 2)上至 U 下戈 U 分为Di； D2； D3,故 |x + y_2 =<2 x_y; D2 (_x 兰 y 兰 _x + 2)x + y + 2; D3 (_x _2 兰

27、y 兰 _x )I =JJ|x + y _2dxdy = JJ(x + y_2 )dxdy +2_x _ y )dxdy+ x + y + 2 )dxdy0 空 ''2D1D2D3=x y dxdy-2 iiix y dxdy-2 11 dxdy 2 1 dxdy 2 11 dxdyD1 _D 2 _D 3D2D1D2D3= x y dxdy _ 2 1 ix y dxdy 1 dxdyDD2D2= xdxdy 2 ii x1 y dxdyDD21=X- +1 dxdy _2 口 ( x -1 )+ y dxdy = 0 +8 _0 = 8JC【例32】I = (f coS x

28、 + y , D由"x 0，x匚所围DDD2解：隐含放边界cos-AAX在图上画出此辅助线。用 W 表示积分区域的下半局部，那么: y42I =2 JJ cos(x + y )db =2 0 dyj cos(x + y )dxDiy=2f cos(x + y【例33】计算dy = 2。彳 1 sin2y Idy -1I = jj 1 _x2 y2 dxdy D : Max x , y 兰 1。D解：隐含边界1 -x2 -y2 =0= x2 y2 =1把区域D的第一象限局部分为左右两子域Di 和 D22 2X2 _ y2 dxdyD2o o= 8iii1-x -y dxdy 4D1丑1

29、=8o2dd°-r2 帀厂 4IIo1 x -y dxdyD D2 .D1兀fl=8 _ 2(2 4 丿1 )4F1dy (1丿1-2x2 dxdyD2 <_D1123_2x2 )dx = n :_4【例34】计算积分sgn x2 ry2 ? 2 dxdy。I = 口 1D2 2 2 2=4iii1-x - y dxdy-4iii1-x - y dxdy D1X2空Di :x2 +y2 =4cy2 _x2 >2解：将区间分为D2 : x2 +y2 =4c y2 _x2 c2c x = ±15 个局部 D3 : x2 2 = 4 - x = -1 的左部 y2 -

30、 x2D4： x2 y2 = 4 - x = 1 的右部 寸-x2 :D5 : x2 y2 =4 - y2 _x2 2sgn x2y2x2 y2 -A2 dxdy-dxdy 11 dxdyD1D5i idxdy 亠D2i idxdy 亠 i idxdyD3D41j"4 odx 2 疋 dy 4 odx o dy 4 12 x2dx0 dy=82 x2dx 4 I 4 -x2dx -y 01A04x2dx1+亦p0空120菇解：将区域分为由下到上的4个积分区间Di； D2； D3； D40; Di ( x + y vic x KOc y 启 0) p 1;Dj(1 兰 x + y<

31、;2cxK0cyK0)x y亠2; Di (2 兰 x+ y c3cx 兰 2c y 兰 2 )3;。讥 3 兰 x+ycx 兰 2cy 兰 2)lx y Hxdy 11 dxdy 2 dxdy 3 1 dxdyAx-2D1D2D30回遽=| jjdxdy + JJdxdy +2| J(dxdy+ Jj dxdyDiD311D 2 D =2233kD2D33D 4=62x 二 i ?Dy -:，:ty22【例 36】求 I 二 min 'x, y.'e 公 * dD2 2 2 2I = xe? J d-亠 I I yeA _y dy_xy : x-be ydy xe_xoQ22

32、讼xdx dx ye? y dy-0() oO oQ例 37】- 3 2、，2 ° 2 2计算 I = min , :-一 -y , 2x y dxdy解：用双曲线的上支将D分成两块：D二D1 一 D2心山616-r2rdrd&+17 2r2rdrd&=二'7160J< 11332 vv3242、22 2 - -4【例38】计算1 = MaxAxy, 1/dxdy，其中 D =:'x, y | 0 _ x _ 2, 0 _ y _ 2。3_ x2 _ y2, 2 x2 y2 dxdyDDi: xy 乞 1, x, y D =5D2 : xy -1

33、, x, y D而Di为非正规区域，过点1, 2作平行于y轴的直线，把Di分为左右两个正规区域Dii和D122=12i dx2 -DD1212219xdy 1 xdx 1 ydy ln2D2题型六关于含参积分题法例 39】平(x )= fX 广 xos(t- -u! dt ;求 lim I (x )9、0Ihnf1 xnxlx I7x| ?解：当 x . 0 时，记 D :0 乞 u A2x, 0 Et 乞 2ux u2 -11 cos t -uIn 1 x x当 x : 0 时，记 D : 2x_ u 0,_04、22x u11 c o st - u $ dudtD(戶 x In 1x|xI

34、 : iiMaxIxy, Idxdy :111 dxdy111 dxdy 亠 11 xy dxdy根据积分中值定理COS(E -耳)x Pm xx -x2lim Ix 011 cos t - u dudt =cos - ° Sd址2兀COS I;'i xlim I x Tmx 0 xxlim I x =x 0, 1 亠【例40】设函数f x, y =x )022 x, y D 0八 0,1 ，求 F 七f x,ydxdy D0xr_t解：含参数的积分问题采用 平移法决定参数的取值范围是作者的精妙秘诀平移法的思想是：先画出Do的区域图，再令x八0为基准直线，然后把该基准直线分别

35、平移到Do的全部边界点上，如此题，把基准直线x y = 0平移到边界点x=1，得分界直线x y =1，再把基准直线x ? y = 0平移到边界点x =1, y =1 ,得分界直线x y = 2，于是得出 所求积分关于参数t的三个分段点t =0, 1, 2，所以有1t<0 f x y = g f t = 02 0 :J <1，把基准直线平移到该区域任意位置，得直线x ? y = t，该直线与x轴的交 点为t，于是F t 二f x, y dxdy =2和虫卜6。 t Jdx。dy 二 t3 1讥岂2，把基准直线平移到该区域任意位置，得直线 x At，该直线与x轴的交点在区域D外，不可作为积分限，但该直线与y =1交于t -1, 1，为于是Ft1 t _11f x, y dxdy= 2 °dy °dx ? dx 妙二 2-L x1 t 2tx dx1 14 t 2 Fj xydxdA20dx0dA2例41】F t =x-t2 y丄乜x2 y2 dxdy，求 Ft。解：利用区间变换将参量t转移到被积函数中，令 x-t=u; y-t=v=F t.u tu2 4v2 <v t d