会议筹备问题数学建模优秀模板

1、青岛科技大学 自动化与电子工程学院 测控技术与仪器 131会议筹备问题摘要本文主要研究会议的筹备问题。 一次成功的会议， 是以前期充分的筹备为前 提的。会议筹备的完善与否， 将直接关系着会议的经费问题， 调动人员是否方便 以与与会代表的满意程度， 因此， 会议筹备的优化问题具有重要意义。 本文对此 问题建立了线性拟合， 线性规划等数学模型并利用 Matlab 软件与 Lingo 软件解决 了优化问题。首先根据以往几届会议代表回执和与会情况预测与会人数， 通过线性拟合的 方法对近几届发来回执的代表数与实际的到会人数之间利用 Matlab 软件进行了 直线拟合和曲线拟合， 并通过线性回归的方法选取

2、较为准确的预测值， 预测出第 五届与会人数为 639 人。再由与会人数和代表有关住房要求预订宾馆的客房， 预 订时考虑到经济， 方便和代表是否满意三方面的优化， 建立了线性规划模型， 实 现了宾馆的选择和客房的分配，利用 Lingo 软件求解所得结果见模型求解局部表 6。然后对会议室的租借问题进行了求解，同样建立了线性规划模型，得到会议 只安排结果为：选择 2号宾馆 130人间2个， 3号宾馆 150人间 1个， 7号宾馆 140人间 2个，200人间 1 个。由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会， 所以在向汽车租赁公司租 用客车接送代表时， 首先明确了在每个旅馆入住的代表人数， 又计算

3、出每个旅馆 需要出行的人数，再根据出行代表人数安排车辆，考虑到经济和方便两个方面， 得出结果见模型求解中表 9 所示。最后本文对模型进行了客观的评价， 提出了对模型进行改良的建议， 并对模 型在其它领域的应用做了推广。关键词 ：线性拟合；精度分析；线性规划；优化分析1. 问题重述某市的一家会议效劳公司负责承办某专业领域的一届全国性会议， 会议筹备 组要为与会代表预订宾馆客房， 租借会议室， 并租用客车接送代表。 由于预计会 议规模庞大， 而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限， 所以 只能让与会代表分散到假设干家宾馆住宿。 为了便于管理， 除了尽量满足代表在价 位等方面的需求之外

4、，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比拟靠近。筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号至表示，相对位置见附图，有关客房与会议室的规格、间数、价格等数据见附表 1。根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2。从以往几届会议情况看， 有一些发来回执的代表不来开会， 同时也有一些与会的代表事先不提 交回执，相关数据见附表 3。附表 2， 3 都可以作为预订宾馆客房的参考。需要说明的是， 虽然客房房费由与会代表自付， 但是如果预订客房的数量大 于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而假设出现预订客房数量缺乏， 那么将造成非常被动的局面，引起代表的不满。会议期

5、间有一天的上下午各安排 6 个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某 几个宾馆租借会议室。 由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会， 筹备组 还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。现有 45座、 36座和 33座三种类型的 客车，租金分别是半天 800 元、 700元和 600元。请你们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组 制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。2. 模型假设1) 由于宾馆的会议室最大规模为 200人，所以假设分组会议的最大规模为 200 人；2) 假设备选宾馆与车辆闲置，可供我们任意选择；3) 假设代表是否满意只与是否分到符合自己住房要求

6、的房间有关；4) 假设提出住房要求的代表回执数即为发来回执的代表数量；5) 假设预测人数住房要求情况比例与回执中代表住房要求比例相同；6) 假设每个代表参加每个会议的概率为 1/6；3. 通用符号说明序号符号符号说明1i表示宾馆，i 1,2,., n2j表示住房种类：合住1,合住2,合住3，独住1，独住2，独住 3，j 1,2,.,63Xij表示预订第i个宾馆的第j类住房的数量44表示第i个宾馆的第j类住房的数量5aj表示实际与会代表对j类住房的需求总数量6bj表示第i个宾馆的房间总数7Q表示租用会议室的总租金8z表示预订宾馆的数量9k , l，m表示与会代表实际需求的房间数10q表示租用第i

7、个会议室的租金11G表示第i个会议室可容纳的人数4. 模型的建立与求解4.1问题分析假设要从经济、方便、代表满意几个方面制定一个合理方案，打算首先预测今 年与会人数，拟建立线性拟合模型，想要根据以往几届会议代表回执和与会情况 预测与会人数进行直线拟合与曲线拟合，求值以后再进行比拟，通过Matlab软件求得直线拟合与曲线拟合的方程，得到两个预测值，准备利用灵敏度分析获得 一个更加精确的预测值；再打算进行住房的安排，拟建立线性规划模型，根据经 济原那么，兼顾代表回执中的住房要求，完成住房安排。同样打算利用线性规划的 方法解决会议室租借的问题。在完成客车的租借时，由于事先无法知道哪些代表 准备参加哪

8、个分组会，首先想要明确在每个旅馆入住的代表人数， 再计算出每个 旅馆需要出行的人数，最后在经济和方便的原那么下，根据出行代表人数安排车辆。4.2 模型准备1) 对附表二中所给出信息进行统计可知，第五届发来回执数为755。2) 在确定宾馆、入住房间与人员数量时，我们根据经济、方便、代表满意的前 提，遵循选定宾馆数量最少、 . 各宾馆之间距离最近、代表满意三个原那么，对题 目所给的数据进行了预处理，见附录 2 中表 1，表 2，表 3，表 4，表 5。通过宾馆的位置分布图可以看出 7 号宾馆的位置与周围多家宾馆相近， 交通 最为方便，所以，选取了 7 号宾馆为中心寻找其他宾馆。3) 在租借会议室时

9、，由于会议期间有一天的上下午各安排 6 个分组会议，筹备 组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室， 且事先无法知道哪些代表准备参加 哪个分组会， 所以，如不考虑每组会议的人数我们可以选择 7 号宾馆，既可以满 足人数上的需求，又只在一个宾馆，比拟方便，而且花费最少。4.3 模型建立4.3.1 预测今年与会人数时采用线性拟合模型1) 线性拟合原理 1一元线性拟合是指两个变量x、 y之间的直线因果关系，Yi0 1Xi i (i 1,2,., n) (1)其中，(Xi，Yj)表示(X,Y)的第i个观测值， i为参数，iXi为反映统计关系直线的分量，i为反映在统计关系直线周围散布的随机分量，i N(0

10、, 2)，i 服从正态分布。式(1)中 ， 1均为未知数， 根据样本数据对 和 1进行统计，tyrsz o和i的估计值为bo和bi，建立一元线性方程：AY b0 b1X (2)一般而言，所求的bo和d应能使每个样本观测点(Xi,Yj)与拟合直线之间的偏差 尽可能小。2) 最小二乘原理 1利用最小二乘原理，可以选出一条最能反映 Y 与 X 之间关系规律的直线。 令nQYi (bo b1Xi)2(3)i1其中Q到达最小值，bo和b称为最小二乘法估计量，根据微积分中极值的必要条Qb02 Yi (bo bX)0 i 1Qbin2 Y (bo biXi)Xi 0(5)i 1n(Xi X)Yibi -(6

11、)2(Xi X)i 1bo Y biX A残差e Yi Y Yi bo 0Xi代表观测点对于拟合直线的误差。可以证明n_nanA _Y Y2 Y Y2Yi Y2 8i 1i 1i 1残差越小，各观测值聚焦在拟合直线周围的紧密程度就越大，说明直线与观测值的拟合越好。3选取拟合程度更好的曲线为了曲线拟合的优劣，取m 1,2,3,4四种曲线类型，以便观测m取值不同时,多项式拟合程度的好坏，从而选取一条拟合误差较小的曲线。n- 2(Y yi)i 1n 2 (Y yi)i 1拟合优度R是衡量所配曲线拟合原始数据效果好坏的指标，拟合优度:(9)其中，拟合优度R的取值为0,1，R越接近1时所配曲线拟合效果越

12、好，根据拟 合优度R来选取较为理想的曲线类型。线性规划模型2一在确定住房安排时，模型建立过程如下：1确定目标函数为了确定宾馆i是否被预定，引入0-1变量，确定宾馆数量，即:1i 0(10)其中 1 代表预订宾馆， 0 代表不预订宾馆根据题意要求，本文将预订宾馆数量最少作为目标函数即： nmin zfi (11)i12) 确定约束条件约束条件一： 由于单人间数量缺乏， 独住的人可以安排在双人间， 所以双人间数量要比实际合住数量多，因此：n所宾馆的第j类住房数量之和不小于预订第j类住房的总数量(j =1,2,3分别代表附表中的前三种情况)，即：nxij aj (j 1,2,3) (12)i1宾馆的

13、第j类住房数量之和不大于预订第j类住房的要求总数量(j =4,5,6分别代表附表中的后三种情况) ，即：nxij aj(j 4,5,6) (13)i1约束条件二：预订宾馆i的房间数之和不大于宾馆i的房间总数，即：6xij bi fi (14)j1约束条件三：由于单间数量缺乏，为满足代表们独住的要求，需使得合住 1与独住 1，合住 2与独住 2，合住 3与独住 3，分别满足预订房间的总和不小于与会代表实际需求的房间数 k ， l，m，即：nxi1i1nxi4i1k (15)nxi5i1nxi2i1l (16)nxi3i1nxi6i1m (17)约束条件四：预订 i 宾馆 j 类房间的数量不大于该

14、种的房间数量，即：xij Aij (18)其中，Aj为宾馆i第j种房间的数量。3) 综上所述建立模型nmin z (19)i 1nXjaj(j 1,2,3)i 1nXjaj(j 4,5,6)i 16Xjbi fins.tXi1Xi4 k (20)i 1nXi5Xi21i 1nXi3& mXji 1Aj(二)在完成会议室的租借问题时，建立模型如下：1) 确定目标函数为了预测会议室的选址，再次引入 0, 1变量，建立以会议室租金为目标 函数的线性规划模型。设共有n个会议室可以租借，f代表0或1,其中0代表 不租用会议室，1代表租用会议室。根据经济性的原那么，为了使花费最少，那么使 目标函数为：租用

15、会议室租金选定各宾馆会议室租金乘以fi。即nminqi fi (21)i 12) 约束条件假设一共有n间会议室，有p组会议，且会议室可容纳人数大于与会代表 总人数N，那么nfi pi 1 (22)ncfi Ni 14.4模型求解预测今年与会人数我们打算根据今年发来回执的代表数量来预测今年到会的人数，由于实际到会人数 发来回执的代表数量 发来回执但未与会的代表数量 未发回执而与会的代表数量，故先对以往几届会议代表回执和与会情况进行了整理得到表6如下：表6以往几届会议代表回执和与会情况第一届第二届第三届第四届发来回执的代表数量315356408711发来回执但未与会的代表数量89115121213

16、未发回执而与会的代表数量576975104与会人数283310362602为使预测值尽可能的精确，分别采用直线拟合与曲线拟合的方法求值以后再 进行比拟。对发来回执的代表数与实际的到会人数之间的关系使用Matlab软件进行直线拟合与曲线拟合。由Matlab软件求解得到：1) 直线拟合方程y 0.8096X 26.9620 (23)所以预测第五届与会人数为639人。2) 曲线拟合方程y0.0001X2 0.9345X 2.2607(24)所以预测第五届与会人数为647人。为了比拟这两种拟合的优劣，利用Matlab软件进行曲线回归ResultsL.l n-e air m a del F o 1 1

17、:= pl*x + p2CccFFi ex ent s C lKc otlFi dene 1? suxidx)pl *0 S09(0. 7401, 0 879)i2 =26 96(-3. 939, 59. 36)Goo i t:SSE；丸 49R-square: .9992Adjuttd Rsquste: 0.99S3RMSE： 5. 024图2二次曲线回归结果如图3,图4所示：图4由此可知，对于线性回归方程，R 0.9992 ；对于二次曲线回归方程，R 0.9993。比拟两者R值，可以确定二次曲线回归较为理想，因此，本文考虑二次曲线回归模型进行研究。所以我们预测第五届与会人数为639人。44

18、2确定住房安排 目标函数：10min zfj (25)i 1约束条件：10xijaj (J 1,2,3)i 110Xjaj(j 4,5,6)i 16Xjbi fij 110 10s.tXi1Xi4248 (26)i 110Xi5i 110Xi2152i 110Xi3i 110Xi675i 1i 1Xj运用Lin go进行求解程序与结果见附录4。根据Lin go结果，确定宾馆选择1、2、3、7号，在这4家宾馆中，根据经济的原那么，并考虑到代表回执中的住房要求，将宾馆房间进行了安排，结果如表7所示：表7住房的安排宾馆代号客房预定房间数间规格间数间价格天普通双标间50180元50商务双标间30220

19、元30普通单人间30180元30商务单人间20220元20普通双标间50140元50商务双标间35160元23豪华双标间A30180元30豪华双标间B35200元14普通双标间50150元50商务双标间24180元24普通单人间27150元27普通双标间50150元50商务单人间40160元40商务套房1床30300元23443租借会议室的安排由于事先无法预知哪些代表准备参加哪个分组会议，我们假设每名代表参加每个分组会议的概率都为1/6，所以639名代表参加每个会议的人数约为总数的 1/6，每组约107人，为保证会议室人数足够，我们选用人数大于等于110人的会议室，可以使用的会议室有1号3间，

20、记f1， f2， f3，2号3间，记f4， f5，f6，3 号 2 间，记 f7，7 号 3 间，记 f9， f10， fn。目标函数为:min 1500f1 120g 120恥 1000f4 1000fs 1500f6 1200f7 1000fs 800fg 800怙 1000fn约束条件为:10 f11 6200f1 150 f2 150 f3 130 f4 130 f5 180f6 200 f7 150 f8 140( f9 f10) 200f11639利用Lingo软件求解，可得租借会议室时，选择 2号宾馆130人间2个，3号宾 馆150人间1个，7号宾馆140人间2个，200人间1个

21、，每半天共花费5600 丿元。租用客车的安排根据住房安排，先将人员如下归纳：由于7号宾馆的会议室最多，而且交通比拟方便，所以，首先选择7号宾馆 作为中心，保证7号宾馆人足够多，方便开会，在双标间都安排合住的代表，使 人数到达上限163人；其次，不能出现空房，所以，需要保证预定的单人间都有 代表入住；在此根底上，安排剩余的双标间可以代表合住，也可独住，2号宾馆的会议室有两间，仅次于7号宾馆，所以，在2号宾馆也应安排尽量多的代表， 同时，考虑代表的满意程度，兼顾价格的因素，各个宾馆不同规格的房间人数安 排如图表8所示：表8各个宾馆不同规格的房间安排的人数宾馆代号客房规格间数价格天房间数入住人数会议

22、室共186人普通双标间50180元50100未选择商务双标间30220元3036普通单人间30180元3030商务单人间20220元2020普通双标间50140元50100商务双标间35160元2323130人室共167人豪华双标间A30180元30302间豪华双标间B35200元1414普通双标间50150元5052150人室商务双标间24180元24481间共127人普通单人间27150元2727普通双标间50150元50100140人室2间商务单人间40160元4040200人室1间共163人商务套房1床30300元2323租借客车需要根据每个宾馆有多少人出行来决定，但由于事先不知道那些

23、代表想去哪个会议，所以，对于，6个不同的分组会议，我们只能假设每个代表去参加每个会议的概率为1/6，所以，每个会议室的人数都大约有总人数的1/6，可以推断：11号宾馆所有人都要出行，共186,每个会议大约31人，去2号宾馆62人, 去3号宾馆31人，去7号宾馆93人。22号宾馆共167人，每个会议大约28人为保证每人都有车，小数进一位， 56人在本宾馆开会，约112人出行，去3号宾馆28人，去7号宾馆84人。33号宾馆共127人，每个会议大约22人为保证每人都有车，小数进一位， 22人在本宾馆开会，约110人出行，去2号宾馆约44人，去7号宾馆约66 人。47号宾馆共163人，每个会议大约28

24、人为保证每人都有车，小数进一位， 84人在本宾馆开会，约84人出行，去2号宾馆56人，去3宾馆28人。根据宾馆的位置，代表的出行人数，路线，我们进行了优化分析：由于1,2号宾馆的位置很近，而且去3号宾馆经过2号，所以，1号去2号宾馆不安排客 车；7号宾馆代表去3号宾馆的客车经过2号宾馆，所以7号到2号不再安排客 车。具体车辆安排如表9所示：表9具体车辆安排客车接送路线客车类型座数量辆1号到3号3311号到2号3321号到7号3332号到3号3312号到7号4523号到2号4513号到7号3327号到3号332综上所述，可知共需要安排9辆33座客车，5辆45座客车，接送共两趟,花费9 600 5

25、 800218800 元5. 模型的评价优点：根据以往几届会议代表回执和与会情况预测与会人数，建立线性拟合模型预 测今年与会人数，得到了直线拟合和曲线拟合两组方程， 通过灵敏度分析得到了 一个更加准确的预测值，此模型可以推广到化学实验教学数据分析， 送电线路航 测的GPS高程拟合等问题的解决。本文还运用了线性规划的数学模型，通过目标函数和约束条件的综合实现优 化问题。此类模型可以解决人力资源合理分配以实现收益最大等问题。缺点：没有充分考虑代表的满意程度，如果建立满意度模型，反映出与会代表的满 意程度，那么使方案更加具体合理。参考文献1 百度文库，线性拟合公式，线性拟合原理，：/we nku.b

26、aidu/li nk?url=rlkgOQNeBaCwRQhcpm4QVT4SteNmM-lylO-JAMeKkoYTGkMm1M-xgq4F6AhP7fwNILguNzu6aTqkaANrago5vJU6Hc0ap nm m7wpWJU3zlt C, 2021 年 8 月 11 日。c#2 王西静，会议筹备优化模型探析，长治学院学报，第 27卷，2021年10月。3 司守奎，孙玺菁，线性规划，整数规划，数学建模算法与应用教材，国防工 业，2021年8月。附录附录1问题重述中所涉与到的附表数据附表1 10家备选宾馆的有关数据宾馆代号客房会议室规格间数价格天规模间数价格半天普通双标间50180元

27、200人11500 元商务双标间30220元150人21200 元普通单人间30180元60人2600元商务单人间20220元普通双标间50140元130人21000 元商务双标间35160元180人11500 元豪华双标间A30180元45人3300元豪华双标间B35200元30人3300元普通双标间50150元200人11200 元商务双标间24180元100人2800元普通单人间27150元150人11000 元60人3320元普通双标间50140元150人2900元商务双标间45200元50人3300元普通双标间A35140元150人21000 元普通双标间B35160元180人115

28、00 元豪华双标间40200元50人3500元普通单人间40160元160人11000 元普通双标间40170元180人11200 元商务单人间30180元精品双人间30220元普通双标间50150元140人2800元商务单人间40160元60人3300元商务套房1床30300元200人11000 元普通双标间A40180元160人11000 元普通双标间B40160元130人2800元高级单人间45180元普通双人间30260元160人11300 元普通单人间30260元120人2800元豪华双人间30280元200人11200 元豪华单人间30280元经济标准房2床55260元180人11

29、500 元标准房2床45280元140人21000 元附表2本届会议的代表回执中有关住房要求的信息合住1合住2合住3独住1独住2独住3男人154104321076841女人784817592819说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120160元、161200 元、201300元三种不同价格的房间。合住是指要求两人合住一间。独住是指可 安排单人间，或一人单独住一个双人间。附表3以往几届会议代表回执和与会情况第一届第二届第三届第四届发来回执的代表数量315356408711发来回执但未与会的代表数量89115121213未发回执而与会的代表数量576975104附录2数据的预处理表1

30、宾馆之间的距离1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号1号015090065060060030050065013002号075050075075045065080014503号025015001501200100011502204号0125012509501150130019505号060030050065013006号03005003507007号020035010008号015012009号0105010号0表2回执中代表住房要求合住1合住2合住3独住1独住2独住3男0.2040.1380.0420.1420.0900.054女0.1030.0640.0230.0780.0370.025

31、表3预测与会人数住房要求合住1合住2合住3独住1独住2独住3男1318927915835女664115502416为防止出现房间少于需求人数的为难，计算结果的小数都进一位说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120160元、161200 元、201300元三种不同价格的房间。合住是指要求两人合住一间。独住是指可 安排单人间，或一人单独住一个双人间。表4房间数合住1120160合住2161200合住3201300独住1120160独住2161200独住3201300男654413925936女33207502517由于有些要求合住的人数为奇数，在保证代表的满意度情况下，我们将合住 人多

32、的一位转移到独住的相同价位的房间中。表5对单双人间的分类统计结果价格 宾馆120 160 元161 200 元201 300 元1号双人间单人间双人间单人间双人间单人间00503030202号双人间单人间双人间单人间双人间单人间850650003号双人间单人间双人间单人间双人间单人间5027240004号双人间单人间双人间单人间双人间单人间500450005号双人间单人间双人间单人间双人间单人间7040400006号双人间单人间双人间单人间双人间单人间04040303007号双人间单人间双人间单人间双人间单人间5040000308号双人间单人间双人间单人间双人间单人间4004045009号双人

33、间单人间双人间单人间双人间单人间0000606010号双人间单人间双人间单人间双人间单人间00001000附录3线性拟合预测实际与会人数的求解程序 直线拟合的Matlab程序与结果如下：x=315,356,408,711;y=283,310,362,602;p=polyfit(x,y,1)P =0.8096 26.9620曲线拟合的Matlab程序与结果如下：x=315,356,408,711;y=283,310,362,602;p=polyfit(x,y,2)P =附录4运用Lin go求解住房安排的程序与结果Lin go程序如下：min =x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x

34、9+x10;85*x2+50*x3+50*x4+70*x5+50*x7+40*x8=98;50*x1+65*x2+24*x3+45*x4+40*x5+40*x6+40*x8=64;30*x1+30*x6+60*x9+100*x10=20;85*x2+77*x3+50*x4+70*x5+40*x6+90*x7+40*x8=240;80*x1+65*x2+24*x3+45*x4+40*x5+70*x6+85*x8=148;50*x1+30*x6+30*x7+120*x9+100*x10=73;bin (x1); bin (x2); bin (x3); bin(x4); bin (x5); bin (x6); bin (x7); bin (x8); bin (x9); bin (x10);求解结果如下：Global optimal soluti on found.Objective value:4.000000Objective bou nd:4.000000In feasibilities:0.000000Exte nded solver steps:0Total solver iterati ons:0VariableValueReduced CostX11.0000001.000000X21.0000001.000000X31.00