数字信号处理_吴镇扬_习题解答第二版

1、1. 解丗由题意可知 N=5则周期为丗其中为整数丆且满足使N为最小整数。2. ?i1?j解丗由题意可知N=14则周期为丗?i2?解丗由题意可知N二8则则所求周期N=14最小公倍数丆即为丗56数字信号处理习题第一童1-4 今对三个正弦借号 Xd (/) = cos -V(J1 (f) = - cos= cos 1 进行理組采样釆样频率为忆=W 求着三个采样输出序列低较其结果画出£|("%("心的畿形&采 样点位井解释频谱混迭现銀.解塞由于叫二2< ,没有混迭；叫=6京® = 1(加,混迭.1-13下列系统中袈示输出“5)喪示辙入*试确定是否是

2、竦性系统?是否霆肘不变系统？(1) Tfcfx(Fi) + x2(fi)| = 2 cfa-! (n) + bx2 («) | + 5=应2斗(斤)+ 5 + 为2 圣(n) + 5 - 5口 一5" + 5=arxi (n)+hTfXj (n)5a+5 丰 aTxx (n) + bTx2 (n)假设输入为班打则有Tx(n - nt) = 2x(n - n0) + 5 = y(n - h0) 所以，时不变.(2) 八oX| (m)+ 加(丽 二 工ax, (fli) + i.r2(m)所以*圾性;w工x3(m)+Z>工勺 伽)=Vj(») + />V2

3、(«)Tx(n 一 )= 工龙(用 一)= 工 x(tn) = y(n 一 )时不变1-16确定下列系统的因果性和稳定性:(l)y(n) = g(n)x(n)tg(n)有界(2) y(») = 丫 x(k), n > n,(4)A(n)=。.亍 w(/i)(1)不能用令x(n)=6(n)来求h(n),然后确定稳定性，因为该系统并非线性时不变系统。实际上，因j?(n)有界，所以，当x(n)有界时，y(n)=x(n)z(n)v= |x(n)| |g(n)|<8,所以系统稳定，y(n) 只与x(n)的当前值有关，显然是因果的。(2)y(n)只与如啲当前值和过去值有关，

4、是因果的。当n时，即使x(n)有界，可能y(n)(如x(n)=l)11-0.5 n < 0时,hn) = 0,是因果系统；8 88又工 I h(n) 1=工 10.5"“(力 1=工10.亍 1=”=一8”=-OC"=0是稳定的.1-6 A(/i)和X("“)表示一个序列及其傅氏变换，并且x(n)为实因果序列利用X("“)求下列各 序列的傅氏变换：(3) g(n) = x(2n)力 、兀(£),“为偶数(4) g() = 20, n为奇数解窃(3) G(/)= £ 址“)严=£ x(2n)e-jwnt = 2nn=-*

5、xn=x=|l m)+(-i)m)“二 * £ 心碍+* £ (-吹严1 F -JH- 1 d1 j 1=-X Xe +怎工兀幺 2=-X(f 2) + -X(e 2)2$2 匕22注意：当t为偶数Wl J =2x(2n),当t为奇数时=0(4) G(/“) = £ &5)严=J x()ejwn令“ =2mn«-oorj.-oo 厶=£ x(ni)e-j2wm = X(ej2wn,)/n=-oo1-10求以下函数的逆Z变换：(l z")(l 2厂)解答：(1):r(1-厂)(1一2以)_i2=4 + 见书本P13页的例3=-u

6、 (n) -2n+1u(n 1)注意，因收敛域为1< |z|<2,而如果第二项是右边序列的话，收敛域必然要|z|>2,所以对第二项, 只能是左边序列，其收敛域为|z|<2,同样道理，对第一项，如果是右边序列，则收敛域为|z|>1, 正好与题意吻合，如果是左边序列，则收敛域为|z|<1,不符合题意。1-21试证X( 77 )的频谱为X(一八).解答：Q0Q0工 x(-n)ejw,令川)=工 x(n)e-j(-w)n = X(ejw)=Y0”=Y)1-22讨论一个具有下列系统函数的线性时不变因果系统H(z) = y L 式中a为实数-az(1) 对于什么样的a值

7、范围系统是稳定的？(2) 如果Ovavl,画出零点极点图井标出收敛区域；(3) 在2平面上用图解证明该系统是一个全通系统即频率响应的幅度为一常数.解答：极点z=a,z.|a|<1,又 va 0,;.0<|a|<1(2) 收敛域为| z | >a,在半径为a的圆外;(3) 通过z平面上作图，可以发现，极点a在单位圆内的实轴上，零点1/a在单位圆外的实轴上, 它们各自到单位圆上任一点的矢宣长度可由余弦定理求取，分别为极点矢宣长度=Ja + 1 -2acos(e)寒点矢量长度二Ja ' + l-2acos(e) =+ l-2acos()lal图解求系统频率响应就是求零

8、点矢量长度与极点矢量长度的比，所以|/7(严)|=|上£耳|=丄,是常数所以是全通系统1 - ae I a I第二章2-1如果x()是一个周期为N的周期序列.则它也是周期为2N的周期序列.将兀)看作周 期为N的周期序列，令X伙)表示其DFS再将X()看作2N的周期序列,并且令乳伙)表示其 DFS试利用X伙)确定二.解答:N-I纭(幻=w=0.2N-N-lN-x2(k)= X 1(")呛呛 +D( + N)wywNTnM)”0.-Jkn注叱之5#因为I®)的周期为N,则;(” + N) = x(n且，討(讪)#n=0/r=0Ar-I£K当R为偶数时，上式=

9、2i(n)VVj =2X(-);n=0厶当R为奇数时,上式二0.2-9有限长为N = 1()的两序列x(n)=1,0 < n < 40,5 <n <9呦严心4-l,5<n<9#用作图表示 A(n),y(n)及 f(n) = a*(h) * y(n)解答：/(«)= <1,2,3,4,5,3,1, 1, 一3, 5, -4, 一3, 2, 1, = 0,1,. 130,其它2-13已知班兀)是长为N的有限长序列,X伙)=£>/7入0),现将长度添零扩大r倍得长度为rN的有限长序列y(n).求 DFTy(n)与X伙)的关系.解答：

10、n=0rNN-lY(k) = DFTy(n)=工 y(n)W =工 x(n)W1n=0n=0由于 n < N-1 时，y (n) =x (n) ; n > N - 1 时，y (n) =0.2/r_ 2/r k£»由于w/ = 示s：" =W$”,所以当£为整数时,rN-lk_nk丫仏)二工兀(Qwy = x(-)w=Or其余不能用X (k)表示，相当于X(K)的内插2-15已知复有限长序列/(/?)是由两个实有限长序列x(n)、y(M)组成,/(n) = x(w) + jy(n), 并且DFTj3 = F(k),求 X(k)、Y(R)以及如

11、、心)。iNi jN解：方法1：利用基本定义及DFT的线性特性：/(/) = ZDFTfF)又:郭时'=用-11-吨7#方法2：利用DFT的共觇对称性:X(k) =f(n) = lDFTDFT(anRN 何)+ jDFT(bnRNn ) =心)+ jy(n)-aN1-吨1-沪1 一叱#X(k) = DFTRe/ (n) = DFT吨中)+"“)匚吨y(A:) = DFTlm/(A2) = DFT+/()-广何-bN对 X（R）、丫（R）作 IDFT 得到：X何"心何）,何=/心注意：根据DFT的线性性质可以得到，当/（/z） = x（h） + /y（n）时，F（R）

12、 = X（R） +jy（R）,其中X（k）、'（町均为复序列。但井不是对于形如F（k） = X（£）+ （k）进行IDFT就一定形成X（/r）x（n）, Y（£）oy何的一一对应关系。如，我们将F（R）进行变形，使其虚部和实部分 开得到：F（k） = M（k） + jN（k）,对其进行IDFT变换，显然，）耐必伙）工乳（町， /DFT7V（it） y（/?）0所以，直接由 F= X（R） + （約得到ZDF7*X（it）x（n）, ZDFTy（Jl） # y（n） 是不正确的，2-18研究两个有限长序列x（），y（“）,此二序列当 v0皆为零，并且x(n) = 0,

13、n > 8y(n) = 0, n > 20各作其20点DFT,然后将两个DFT相乘再计算篥积序列的IDFT得试指出r（ll）的哪些点对应于 兀（）与y（n）作线性卷积应得到的点.解答：这样计算相当于做了 20点的圆周卷积加=7- 19时，圆周卷积等于线性卷积.可以通过画图得到.93.19(1)周期卷积的主值序列为丗f(n)R(n) =6,3, 6,10,14,12,9;邑 循环卷积 f(n) =6,3, 6,10,14,12,9;'?i3?j线性卷积为 f(n) =1,3, 6,10,14,12,9,5, 0, 0, 0, 0#2-21试导出N = 16时的基二按时阖抽取算

14、法和按频率拡取算法fft，井分别画出它们的流图. 用基二按时间抽取：K K吧嗚朮吒吧叫吧吧吒吒w4 w6 IV5时间抽取系数：rb >毗吧晞吒C毗吒叱:观C吒观< 眈 K很多同学在第二列刚:的位置写的是吒xa)= £x(?0J=0,L,15rt=()按奇偶分组：77X (k)二工 x2r)Wk + 工 x(2r +1 州:汕r-0r=O2.21 ?i第二种方法乯按频率抽取算法出输入顺 序丆输出倒序(0,8,4,12,2,10,6,14,1,9,5,13,3,11,7, 15);4共有 4(16=2*2*2*2 )节第一节出数据点间距、蝶形类型均是8?C0123 4567所

15、乘因子出W ,W ,W ,W ,W ,W ,W ,W ;N N N N N N N N N第二节出数据点间距、蝶形类型均是4 ?C02 46所乘因子出W ,W ,W ,W ;N N N N04第三节出数据点间距、蝶形类型均是2 ?C所乘因 子出W ,W ;N N0第四节出数据点间距、蝶形类型均是1 ?C所乘因 子出W ;N#=£刃州产+毗f gr 1凹秽個吒"=I 知=w/) r=0r=O二 $>(2叩曾 + 毗 $>2r + 1)%川=G伏)+rOr=O77G(k)=为x(2川曾H閃=工兀("+1)%川r=0r=OGgH伙嘟是只包含7点的D FT g

16、)只包含原序列中的偶数序列， 而丹(对则只包含奇数序列另外它的周期都为&所収有G (k) =G (k+8)H (k)二H (k+8)W,7 = -吒所以有X (k) = G(切 + lV；：H(k= CU2 7X(k-b8) = G(k)-WH(fck = 0J,2M+7-个16点序列的DFT可由两个8点序列的DFT得到，依此类推,G(k),H(k) 也可以这样得到.用頻率抽取法：112兀2“， F W1 = e 16 =e 2Wf"" = %7 上式二召5) +兀2何%"n=0依此类推：7 乂(21+1)二工兀2)吃5)叫"解；a(n) = x

17、(n)x2(n)b(n) = Xj (n)-x2(n)W；n = 0,1,., 7这样又把16点的DFT化成了8点的DFT,向下不断细分得到下图:把序列按前后对半分开xI(n) = x(n),n = 0,1,.,7x2(n) = x(n + 8), n = 0丄,7X伙)15n=O77=2>5)昭/+$>2 5)必"側 n=0/i=0现在按对频率序列抽取,把它分成偶部和奇部，偶数时令k二21,奇数时令k 二 21+1,这里 1=0,1,. 7,77X (21)二£召 S)W了 + 2>2(n)w了約n=0n=0III=%"2-25设x()是一个m

18、点()5 5 A7 1的有限长序列其z变换为M-I x=工心)八/i=02*上今欲求X (z)在单位圆上N个等距离点的采样值X(z), z* =疔,k=0,l,., N 一 1问在(°). A/两种情况下应如何用一个N点的FFT来计算全部的X(Z,)值？解答：(2)N > M将心)补零到N点,然后作FFTg -jkn 菩 , jkn 口 , -jknX(k)二工兀(n)/ n =x(n)e A， + 工x(n)w an=0n=0n-MN- hi= x(h)/；v " = DFTlxn)n=0N<M将心)补零到ZW,组成新序列.2.M-2兀几N-l2龙2江、X 伙

19、)=工 x(n)e J N = x(n)e J N +x(n)e ； Nn=0刃=0n=N0 -jkn 咤P-jk(n+N)=x(n')e 八 +x(n + N)e 卜/i=0n=0"W + 2N)寻心)n=0NT-jkn= jx(n)-x(n +N)e /V +n=0Af-I Ijhi/-I=工+ /N)k N = DFTx(n + IN)/i=0/=0/=0变成了2点的MT对于(1)还有另一种解法现设有一序列y()0<n<N-l,其中N点DFT与X(灯相同，即N-I- "丘X(k) =y®” F "“O,1,N-1w=0于是有:1

20、3#i N-I W-l_N kQ.2,t-7W-1因为：丄头咗心I l = iN + n 0 liN + nM)Jy15#所以：y(n) = £ x(iN + n)r=0其中卩=竺+ 1的整数部分，当M不够“N时，对N序列补零。2- 27：我们希望利用一个长度为50的有限单位脉冲响应滤波器来过滤一串很长的数据，要求利用重叠 保留法井通过FFT来实现这种滤波器，为做到这一点，(1)输入各段必须重叠N个样本：(2)必须从每 一段产生的输出中取岀M个样本，并将它们拼接在一起形成一长序列，即为滤波输出。设输入的各段长 度为100个样本，而FFT的长度为12&圆周卷积的输出序号为012

21、7。(1) 求 N：(2) 求 N；(3) 求取岀的M个点之起点与终点序号，即从圆周卷积的128点中取出哪些点去和前一段衔接起来？ 解：(1)输入各段必须重叠的样本数为滤波器长度减1：依题意有：；7V = 7V, -1 = 50-1 = 49(2) 输入段的长度N/”：滤波器长度AZ, =50相邻输入段之间(弘一I)点发生垂盘.圆周卷积后每一段输出y,(H)的前(M-1)点发生混淆，去掉这一部分，把相邻段留下的点+ 衔接构成最终的输入。设叽=100,则有M =51.去掉混普的前N (048)个点，和末尾补的28 (100127)个零点.取岀的M个点的序号为： 4999。#笙=音33-1已知模拟

22、传递函数H匕s)=-厂 +4$+ 3试用脉沖响应不变法将以上模拟传递函授数转换为数字传递函数H .采样周期T=0.5.HE1.51.51 一严违宀一丨一厂迁7解答：1.51.5H-丁厂1-e zT = 0.51-宀T#32已知采样周期为T.用脉冲响应不变法将以下模拟函数H(s)转换为数字传递函数H(z)：(1s + a($ + a)2 +b2#AHa) =，加为任意正整数。解：(1) $ + aI11十11 1(s + a)2 +b22($ + d)+“(5 +1/)- jb 2s - (_a - jb) s - (_a + jb)(2)由傅立叶变换对可知:#/?(/z) = _(7,r)(w

23、_，) eufn) =、丿(w-l)!V7、1 (w-l)!I对上式做乙变换：方法1：利用z变换的性质首先对x(n) = e'v'' b何进行变换有:x(n)oX(z)£e、E)z "£(»，)"= 匸 |z|W n=0n=01 一 W <(m %nTun)的 z 变换:根据1变换的性质：恋(“)<>-乙型勺，我们可以得到y(n) = nY(z) =d7dz,d 丫门) Z dz.X(z)，式中符号ddz(皿-1)()表示:dZdz,共求导仙-1)次。17#故二命卅WC)方法2：利用z变换的定义：77

24、(z)=工力(什八阿厂 J1-0(加1)!n-08本题不易将表达式写成H(s) = 的形式，因而不直接套用公式h(z) = £1=1/=! S_Sj匚去7。所以，我们可以先求出/1(h),然后对其做;:变换，得到所求的H(z)0(/»1)注意:Y(z)的求法,r(z)(-z)(w_，)qyX(z)o3-3题图3.i表示一个数字滤波器的频率响应.(1) 用脉冲响应不变法试求原型模拟滤波器的频率响应.(2) 用双线性变换法,试求原型模拟谑波器的频率响应.解答：脉冲响应不变法：1/7(严)1=<-co-y-a)< tv 3 32龙(X其它仍(严)I=*HQ守)1(0I

25、QI+-T,Ql< .JHJyQ)M/7fl(J)l=n/7()l= 冗 3 3卩 3T(X其它#双线性变换：Q的范围根据Q=2/T奴(3/2)由3的范围计算而得山冋予冲)Ls呼祷半其它#3- 4设有一模拟滤波器tf)= T '-/ +S + 1采样周期T=2试用双线性变换法将它转变成数字系统函数H(z) 解答:H(z) = Ha( 2y6刖汁H(z) =z，+ 2z + l3z2 + 1#3-6 一个采样数字处理低通滤波器如图.H(z)的載止频率IV = 0.2/r.整个相当于一个模拟低通滤 波器今采样频率/； = kH-.问等效于模拟低通的截止频率/二？若采样频率/分别改变为

26、 5KHz,200HsH不变，问这时等效于模拟低通的截止频率又各为多少?解答:c 2tt 2tt若fs =5KHz厶坯空“5KHz c 2/r17TW； = 200 处叭J's0.2x2002兀2兀=20KH3-7设采样频率为X =6.28318/CHz,用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特沃兹数字低通滤波器.載止频率fc = KHz.解答：1+ 2(亠)+2()2+(*)3V3Q -J-厂 +也r.=仏7 = 2”令=1)+ Qr(l-jV3)/2 s + Q<(l +丿循)/2人_(cocITil_£-q(l+jd)/2z-l-+)1-j-一(丁)£ 6V3

27、、-l-e'wz'' 1_幺一叫(1")/2厂11-(牛用=丄(0+电一(丁)£ 6A+1-严叫“1-el-0.6597z,T 1 一严才= T(-e-'z'' +=7(1-0.3679?''_ 1-0.7859匚 0379，)3-9用双线性变换法设计一个三阶巴特沃兹数字高通滤波器，采样频率£ = 6KH乙，通带边界频率为l.5KHz.解答：c TCDT2龙1.5.T口 /、(十)=二 c以)=,Ha(s)=nt. £ Q/1(i-z'T3H(z) = H“(s)l r|+2_. =

28、qr1 = 6 + 2"Th 1 + 2+ 2(+ (工尸6 + 2乙l-z_,1-厂 1-以2 22262 1 + 2() + 2()2+()33-12二阶巴特沃兹数字低通滤波器的采样频率/=500Hj通带边界£=50Hz0.0674553(14-2z'4-z2)l-1.14298r,+0.412802r2试导出高通数字滤波器採样频率/= 500Hz.通带起始频率fh = 200/z.解答:0c = 2tt505005 c 5007T 4龙+cos()271 4兀+ sin(2_)=021#u-'=G(-z) = -z'H(z) =0.067455

29、3(1-2厂 + 厂)1 + 1.14298'+0.412801Z-23-14要设计一个3(1B边界频率为500Hz和600/的数字低通滤波器.在频率小于100Hz和频率大于7()()Hz时的衰减至少要为1 OdB，采样频率为4000Hz 假定原型数字低通滤波器的通带JI边界频率0 =，试给出原型数字低通巴特沃兹滤波器的传递涌数 H(z).3-16导岀衰3.1中的数字低通数字带通的变換.LP-BP变换把带通的中心频率少()->0 = 0#0=00。一>0 = -7T 0 二> a) = o)q 兀0 = 0 兀 nco2 > 0cco、> 0c#0 = 0

30、 甬t, 3 =兀 故#=0日寸卫=一兀、g(i)= _,所以全通函数取负号。由以上分析得变换关系:= <?()= _+斤Z ' +込 r2z2 + 斤厂、+1e2ja)+ r厂 + r2 r2e2J(u + rjM +1(I)(2)把变换关系® ->乐5 T-G代入(2)式#整理得:（4）严+斤旷闷+巧 咗“ +斤严+ i如+育皿+乙+ r严 +1乙0/2%岡 +）+啓-皿（k +）= _2© _疋0（5）3 （厂2%-疋+ ）+乍-屉（严+1） = _严叽_严 （6）（6） *严一（5） 2*严,消去rl,得:£-岡£-疋 +R创

31、 _ eJ2 _应（5弋）石厂-血+R® _S®'-疋 /2应（创+。"） + £_加+$/2） _ 应（他一0 /2） + £押"2 Rg+Q * £-八©+。/2） _ 应（厲-0/2） * g-jg-Q /2） 2cos（e +Q/2）-2cos（q?-Q/2） 2cos（692 +0/2） - 2 cos一 0/2）一 4 sin（警）sin（警 + 約 4sin（警）sin（警 + 約sin y cos cos 孚 sinsinfcos 警+ cos 牛 sin 警k = c/g （空泸"

32、;"g牛可得,2akr,=mCOS（二丄） 其中a =Z“2 0）、COS（L）2第4章FIR数字滤波器4- 1用矩形窗设计一线性相位高通滤波器e( _ 龙)a,7t - coc <a)<7C0,0<co<7r-cor(1) 写出h(n)的表达式，确定a与N的关系。(2) 问有几种类型，分别是属于哪一种线性相位滤波器？(3) 若改用汉宁窗设计，写出h(n)的表达式。解：(1)根据线性相位高通滤波器的特点(见书上101页表)，其频率响应的幅度函敛在Ji处一定偶对称(与N 的奇、偶性无关)，所以选择02九频率范围作为求hd(n)积分范围(同样与N的奇、偶性无关)。

33、h3讣。=丄驚严一祁丄叭恂(丿 一 a)(/r + Q)(丿 一 a)(兀一吆)d 2>tJo d2沁 ®= ±ej7ra!2tt j(n-a)j7ra J(n-a)/r= sn(n-a)(oc = (-)n Sa(n - a)M.it (n-a)7t对于线性相位FIR数字滤波器，必有4 =N-12N = 2a + (-1)"么 Sd(n-a)仪0</7<26zh(n) = hd(n)RN(<n) = <兀0其它(2) 根据书上101页表中特性，本题对应滤波器可以有2种类型。N 1 一类为偶、奇，即h(n)偶对称，N为奇数，此时4 =

34、为整数，相位特性中无h/2相移。2h(n) =h(N-1-n), H(3)=H(23),为第一种类型线性相位滤波器。N 1另一类为奇、偶，即h(n)奇对称，N为偶数，此时Q =中有一 0.5的非整数，与理想频响相2位中的几组合后含有n/2相移，所以满足第四种类型线性相位潼波器的要求。 h(n)>h(M-1-n), H(co)=H(2 jc-Q).(3)用汉宁窗设计h(n) = hAn- 一 cos( m )17?v(n)0< n < 2a其它4-2用矩形窗设计一线性相位带通滤波器-CDc <0)-(0 < CDc0 < 69 < 69() - COc,

35、 C0 一 0)(、<CO<7t(1) 设计N为奇数时的h(n)o(2) 设计N为偶数时的h(n).(3) 若改用汉明窗设计，写出以上两种h(n)的表达式。解：、(2)根据线性相位特性中无”/2相移的特点，h(n)必为偶对称。査书上101页表知，本题对应第一、第二类线性相位滤波器，均可设计带通滤波器。且其频率响应的 幅度函数在0处均偶对称(与N的奇、偎性无关)，所以选择決頻率范围作为求h,n)积分范围(同 样与N的奇、偶性无关)，求出的hd(n)同时适用奇数N和偶JRN情况。hd 5)匚叫(严严血=丄一a)(Ddco +如訂_力0令第一项。=s0TT一©0_%叭 _

36、74;c畀:爲：2现何畑7t(n-a)sin(n -cr),cos(n -df)ry0sin 一 q)(5 + e()一 sin(/? 一 a)(e() 皎)7r(n-a)如果选择02“頻率范围作为求ha(n)积分范围，由于频率响应的幅度函数在兀处的对称性与N的奇、 偶性有关，所以应针对N的奇、偶情况分别求取。但因N为偶数时，其中有一项ejl7r,la =-1, 正好与其幅度函数中的奇对称性- H(23)抵消，所以结果与N为奇数时相同。(3)用汉阴窗设计h(n) = hd (n)0.54 - 0.46 cos()/?“(")27重复上题(1) (2) (3)。因线性相位特性中有JI/

37、2相移，h(n)必为奇对称。查书上101页表知，本题对应第三、第四类线性相位滤波器，均可设计带通滤波器。且其频率响应的 幅度函数在0处均奇对称(与N的奇、偶性无关)，所以选择-"兀频率范围作为求h,n)积分范围(同 样与N的奇、偶性无关)，求出的hd(n)同时适用奇数N和偶数N情况。#；2(从训()皿二丄+叫訂血伽+。+叫討5_叽少 令第_项0 = 2龙 J-e。_叫J®)一(=-+a，cjej(na)Odo)+汕)2龙5)一畋5)-皎"#7r(n-a)cos(n一a)(e()+ a)c)一cos(n一a)(a)Q 一coc)兀(n a)与4-2样，如果选择02“

38、作为求hd(n)积分范围，由于频响幅度函数在"处的对称性与N的奇、偶 性有关，所以应针对N的奇、偶悄况分别求取。但因N为偶数时，其中有一项ej2na =-1,正 好与其幅度函数中的奇对称性lH(3)=-H(23)抵消，所以结果与N为奇数时相同。(3)用汉明窗设计h(n) = hd (n)0.54 一 0.46 cos(n)N-一 2sm(” Q)eJ sin一q)c%0.54 - 0.46cos(-) =< n(ji -a)N -100 K N -1其它Hk = 0.5,0,k=0k = O2<Z:<134-6用频率采样法设计一线性相位低通滤波器，N=15,幅度采样

39、值为#求采样值的相位0 (k),并写出h(n)及H(ejo)的表达式。 解：M=15N _N _2龙，14龙k =N1514兀Hk) = HkeJ0W = HkeJ1 N_l,h(n) = -Xj2m,k/N =N15"() 2/1=()14/Z;(n-7)1/ =丄工比八'=1 + 0.5八515“o151J 氓(幵_7)=1+0.5 15 +e 151 fl工兀<=1 +cos(/? -7)1515(舁一7).2龙+ 0.5/W后 14(7)，5 1#0.5g-jN®1 150 -/7rwr I B 0.5=sin()e J +一152. (a). (co

40、 7i . co 14sin() sin( 一 ) sin(- 一 )22152154-7在题图4.2中h(n)是偶对称序列，N=8, b(n)是b(n)圆周移位N/2=4位后所得的序列，Hi(k) = DRhi(n)l, ft(k)= DFTh,(n)(1) 试问丨Hi (k) I = |Hi(k) I成立吗？弗(k)与H(k)有什么关系？(2) 以h,(n)> bS)作为单位脉冲响应，可构成两个低通滤波器，试问是否属于线性相位滤波器？时 延是多少？解：(1)N-IN/2-lN_tH(k)=h(Mej2N=工加心-如山川+工h5*j2翻N71=0n=0n=N/2N _N/2_lN-H#

41、*工h2(心rjEWN = £禺(心一和枚"+工他(必加山/N"=0/?=0n=N 12对第项令m = n + N/29对第一项令m = n-NI2,则好)=N_工他一 N/2)e-j2fr(m-N/2)k/NN/21工/?2(加 + N /2)e-j2rr(m+N/2)k/NN-am=NI2N7 川dem=N 12N j2_-NI2)klN *£/?(加上一J2R“+N/2)RNm=0N/2-加M/N + £jSnk f N、=厂 j賦 H (k);n=0m=N 12/n=0利用书上p34 DFT的圆周移位性质式(2.25)同样可以得到上述结

42、果。所以丨H,(k) | = | H2(k) |成立, X(k)与叭(k)相差(-kx)的相角。(2) 因为两个h(n)都具有偶对称性，且N为偶数，所以可构成第二类线性相位滝波器，时延均为3. 5, 均可设计为低通滤波器。(3) 两个滤波器相当于对同一个矩形h(n)滤波器加了不同的宦函数，由于h(n)的对称性和N的奇偶 性相同，所以它们的相位特性一定相同，但由于两个窗函数不同，所以复频特性不同。从我们对窗函 数的理解看，第一个正三角形窗使h(n)波形变平滑，则主瓣变宽，阻带衰减特性改善。第二个倒三角 形窗使h(n)波形变化更快，则主證可能变窄，阻带衰减特性可能变差。也可直接分别计算频响进行比较

43、：NN/2-1.N_耳=工勺(叹"=工勺(识呵+ S Ig"“=()“=()n=N/2N/2-1N/2-I八，.=D2V + 口©_识"皿亠心n=0w=0N/2-1=£力心)药加+广问35刃=0(r qN /2-j(o( -«)-H)严(z)/2 hn)e2 +e 2H=0=2广八如 f 片(n) cos(3.5 - /?) 71=0利用上述结果，有29Nn=0=£/?2（"）cose（3.5-n） 令加=3-n"=0=2严血 f 他（3 一 加）cos（3.5 一 3 + m）w=0=2e 卩'

44、® £ h（应）cos®（0.5 + m）w=（）与H|0"） = 2£7'5巾£|（H）cos9（3.5 ）进行比较，显然有相同的相位特性，但幅71=0度特性不同。 J第5章数字滤波器结构及实现5-1写出题图5.1结构的传递函数及差分方程。 解：(a)y (n) =0. 25 y (n-1)-0. 3 y (n-2) +2 x(n) +0. 25 x(n-1)H(z) =2+ 0.25 厂l-0.25z_, +().32X(z)=1 + 0.5厂+2广2 1-1.5' -0.5"2yla)= x2(z)X2

45、(z)= Xl(z)-0.2zlYl(z)= Xt(z)-0.2z-lX4z)X2(z) _1X,(z) 1 + 0.2Z-'乙二2乙二2/二2X|(z)_ X| 一 X|(z) 一1+()右H(.)二 EC)二人 X?二 4 + 以+2八13、" X2() ' x,(z) 1-0.2<-' +0.8z-2 '1 + 0.2'H(z) =XKz)"z)X(z)X(z)X|(z).E + 5 X| l+05z"+2严24 + z"+2厂1=“ I I1一15丁一05尹 1 + 0.2* 1 一02厂+0.8严

46、l + 0.2z"1 + 0.5T+2严6 + 0.6T+3.6 厂一 1 -1.5z“ -().5z_ 1 + ().76厂2 + ()6z_6+3.6z" +15.9 严 +3尹 +7.2Z"4一 1 l5z" +026zJ 098严062厂0.08 尹y (n) =1 5y (n-1) -0 26y (r»-2) +0. 98y (n-3) +O 62y (n-4) +0. 08y (n-5)+6x (n) +3. 6x (n-1)+15. 9x (n-2) +3x (rr-3) +7. 2x (n-4) 5-7已知FIR滤波器的16个频

47、率采样值为H(O)=b H(1) = 1 -/巧,H(2) = 0.5 + 0.5八H(3)H(13)都为0H(14) = 0.5-0.5j丹(15) = 1 + 八疗9设修正半径(不修正极值点位置)，求滤波器的频率采样型结构。解：参考书上134页公式(5.30)、(5. 31),有HJ耳Wo+ %) + %) N其中H© = 1 -严，日°二匸戶H_弘+勺以 =2ReF(l)-2Re/7(l)%zT1 '1-z'2cos(/8)4-z21 - z_l 2 cos(2- / N) z2_ 2-4Re2T"wF/8厂 _ 2-4*cos(ll;r/2

48、4)1 - 12 cos( / 8) + z21 - z_, 2cos(/z78)十严H 2ReH(2)-2ReW 眈以=1-血以2 亠 l-z i2cos(4;r/N) + z '1-迈厂 + 严5-9 A/D变换器的字长为b,采用舍入处理，输出信号必须乘以比例因子A,以使其最大绝对值不超过1,(1) 当输入为正弦随机相位序列S- Bcos(®" + "), &在|(),2兀|上均匀等概率分2 / 2布时，试求A/D变换器的输出信噪比(2) 当输入为一随机倍号，且x(n)的峰值是bx的土 3倍，求A/D变换器的输出倍噪比 并问若要求得到80dB的

49、倍噪比，字长应该多少位。解：(1)乘以比例因子鳩，无论B为何值，输入到A/D变换器正弦信号量大幅度始终为1,所以貳 土右 COS 如 + 0dd = |(2)因x(n)的峰值是"x的±3倍，而乘以比例因子A后，A/D变换器的输入信号峰值达到1时有最大 的宣化噪声信噪比，所以有_ 1 2_ 1O' = ,(7 =x 39乙ASNR = 101gf = 101g（-22h） = 6.02（/? +1） - 4.771 = 6.02/? +1.249叭3令SNR=80,求得b= （80-1.249） /6. 02=13. 08 （取整）=14注：字长的理解有两种，一是指有

50、效字长，去掉符号位后还有b位，量化宽度（或量化阶）为q=2=书 上的例题和上题题解均按此计算。另一种为总字长，包括符号共b位，这时量化宽度变为q=2_”。 今后统一用q=2沧。5-10 一个二阶IIR滤波器的传递函数为H(z) =0.5 - 0.3z"(1 一 0.9厂)(1一0&_)现用b位字长定点制实现它，尾数作舍入处理。（D 试计算直接11型结构的输出舍入噪声方差；（2）如果用一阶网络的级联结构来实现H （z）,则共有六种网络流图，试画出有运算舍入垛声时的每 种网络的流图井计算输出舍入噪声方差；（3）用并联结构实现，计算输出舍入噪声方差；几种结构相比较，哪种量高，哪种量

51、低。解：解：直接型0.5-0.3厂1一17厂+0.72 厂 $0.5-0对B(z)33#直接型结构流图如图0. 5 eo (n) +ei (n) +et (n) +e3 (n)eo (n) +ei (n)0. 5 e2 (n) +ej (n)1.72才!®3|4).72直接II型直接I型#图IIR直接型的舍入噪声分析图中e0（n）.弓（）、幺2（）、乞）分别为系数0.5、7 3、17、-0. 72相乘后引入的舍入噪声。采 用线性迭加的方法，从图上可看出，对于直接I型，输出噪声訂(n)是这4个舍入噪声通过网络WO(Z)=形成的，因此Bef(n) = eQ (n) + e (n) + e

52、2 (n) + e3(n) * hn)h0(n)是Ho(z)的单位脉冲响应。1 dz输出噪声的方差为：o =4cr2 - f./2可人BB(') z将云=% 和B(z)代入，利用留数定理得:Z-0.9J = 9 (1 一 0.9z-' )(1- 0.8z-' )(1- 09z)(l 0.8z)z二=0.9z-0.8+ (1 0.9z" )(1 0.8z)(1 一 0.9z)(l 08z)z=等爲為-馬扁=T0.90.8c=0.835#+ 2云=0.80.15x0.230.1x0.19x0.280X0.260.1 x 0.36x0.28+ 1 = 0.8176/

53、对于玄接II型，输出噪声ef(n)是2个舍入噪声通过整个网络H(Z)与2个舍入噪声直接相加形成的, 因此ef(n) = e0(n) + e (n) * h(n) + e2(n) + e3(n)h (“)是H(z)的单位脉冲响应。愉出噪声的方差为：<7； ：= 2分亠£ H丹(z)生+ 2云 2刃z(0.5 - 0.3Z'1 )(0.5 - 0.3z)(z - 0.9)(1 -0.9z_,)(l -0.8z-')(l -0.9z)(l -0.8z)z(0.5 二 0.3z" )(0.5 二 0.3z)(z 二 0$)(1 一 0.9z" )(1 - 0.8z" )(1 - 0.9z)(l - 0.8z)z级联型 将H(z)分解H(z) = 0.5 0.3?“八门-1 U.9Z胡比比1-0&T结构流图为0二5 eo (n) +ei (n)