第七章复数章小结

1、第七章第七章 复数复数 章小结章小结问题问题1 数系是怎样逐步扩充的？ 请对“自然数整数有理数实数复数”的数系扩充过程进行整理.数系扩充的规则是什么？ 一、复数的概念一、复数的概念自然数负整数整数无理数有理数分数实数虚数 复数 追问追问1 数系扩充的规则是什么？你能说说数学史上数系扩充的历程吗？ 数系扩充规则：数系扩充规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律理性思维在数系扩充过程中发挥了强大作用一、复数的概念一、复数的概念 实部实部(real part)z= a + b i(a，bR

2、) 虚部虚部(imaginary part)一、复数的概念一、复数的概念追问追问2 复数是怎么规定的？实数、虚数、纯虚数、复数之间有什么区别和联系？ 我们把形如a+bi(a，bR)的数叫做复数复数（complex number），其中i叫做虚数单位虚数单位（imaginary unit）虚数集虚数集纯虚数集纯虚数集实数集实数集复复数数集集一、复数的概念一、复数的概念追问追问2 复数是怎么规定的？实数、虚数、纯虚数、复数之间有什么区别和联系？ 000000babbab实数()纯虚数(，)虚数()非纯虚数(，)复数z=a+bii=iacabcdbd，=+=(a，b，c，dR)iizababz-=+

3、=-如果, 那么.一、复数的概念一、复数的概念追问追问3 复数相等是怎么规定的？什么是共轭复数？ 22izabab一、复数的概念一、复数的概念问题问题2 复数的几何意义是什么？复数和实数几何意义的区别是什么？复数的模是什么？ 例例1 实数k为何值时，复数是：（1）实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0 一、复数的概念一、复数的概念22(34)(56)izkkkk解：解：答案：答案：以原点O为圆心，以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的边界一、复数的概念一、复数的概念练习练习1 设zC，在复平面内z对应的点为Z，则满足条件2|z|3 的点Z的集合是什么？加法和减法运算法则：加法和减法运算

4、法则：(a+bi)(c+di)= (a+c) (b +d ) i加法运算律：加法运算律：对任意z1 ，z2 ，z3C ， z1 + z2 = z2 + z1, (z1 + z2)+ z3 = z1 +(z2 + z3) 两个复数相加减，类似于两个多项式相加减二、复数的四则运算二、复数的四则运算问题问题3 复数代数形式的四则运算法则是怎么规定的？运算律是什么？ xyOZ2(c，d)ZxyOZ1(a，b)Z2(c，d)几何意义：几何意义：复数代数形式的加减运算可以按照向量的加减运算来 进行Z1(a， b)12(,)=OZOZac bdOZ 1221(,)=OZOZac bdZ Z 二、复数的四则运

5、算二、复数的四则运算问题问题4 复数代数形式加减运算的几何意义是什么？例例2 i是虚数单位，则 的值为 5i1 i13二、复数的四则运算二、复数的四则运算练习：练习：BD-1-9i例例3 设O是原点，向量 ， 对应的复数分别为2-3i，-3+2i ，那么向量 对应的复数是（ ）（A）-5+5i （B）-5-5i （C）5+5i （D）5-5iD二、复数的四则运算二、复数的四则运算OA OB BA 例例4 设在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A，B对应的复数分别为1+i，2-3i 求另外两个顶点C，D对应的复数三、复数的三角表示三、复数的三角表示问题问题5 什么是复数的三角形式？它与复数的几何

6、意义之间有什么联系？复数的代数形式与三角形式之间有什么关系？z = a + bi = r( + i )cossinxyOabZ： a + bir复数的三角形式复数的三角形式 两个复数相乘两个复数相乘，积的模等于各复数的积的模等于各复数的模的模的积积, ,积的辐角等积的辐角等于各复数的辐角的和于各复数的辐角的和三、复数的三角表示三、复数的三角表示问题问题6 复数三角表示乘法和除法运算的运算法则是什么，用文字语言如何描述？ 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差的商，商的辐角等于被除数

7、的辐角减去除数的辐角所得的差三、复数的三角表示三、复数的三角表示问题问题6 复数三角表示乘法和除法运算的运算法则是什么，用文字语言如何描述？ 三、复数的三角表示三、复数的三角表示问题问题7 复数乘除运算的三角表示及其几何意义分别是什么？利用复数的乘除运算的几何意义能够解决什么问题？复数复数乘法运算乘法运算的三角表示的几何意义：的三角表示的几何意义：1112221 21212cos+isincos+isin=cos( +isin( +rrrr（）（）g三、复数的三角表示三、复数的三角表示问题问题7 复数乘除运算的三角表示及其几何意义分别是什么？利用复数的乘除运算的几何意义能够解决什么问题？复数复数除法运算除法运算的三角表示的几何意义：的三角表示的几何意义：111112122222cos+isin=cos(isin(.cos+isinrrrr（） +）（）21r12rr三、复数的三角表示三、复数的三角表示例例5 把复数z1和z2对应的向量 ， 分别绕点O按逆时针方向旋转 和 后， 这两个向量完全重合，已知 ，求复数 z1的代数表示式OA OB 453213iz 练习：练习：D2