考研数学历年真题及解析

1、æ17033030( )ò|W =3900 -x= 117000 - 24500 = 91500 J2çèø300x2y2= 1 的上半部分，点 P ( x, y, z )Î S,p 为 S 在点 P 处的切平面，八、设 S 为椭球面+ z222r ( x, y, z ) 为点O (0, 0, 0) 到平面p 的距离，求 òòzdS.r ( x, y, z )S2令 F ( x, y, z ) = xy2+ z2 -1, 设( X ,Y , Z ) 为p 上任意一点，则p 的+【详解】为22F ' ( X

2、- x) + F ' (Y - y ) + F ' (Z - z ) = 0,xyzxXyY+ zZ = 1即22从而知12-æö÷22xyr ( x, y, z ) =+ z2ç44A2 + B2 + C 2èøxy这里A =, B =, C = z,22æ x2y2 öz = 1- ç+÷,由曲面知22èø于是¶z¶x-x, ¶z- y=,¶yæ x2y2 öæ x2y2 ö2

3、 1- ç+2 1- ç+÷÷2222èøèø因此æ ¶z ö2æ ¶z ö24 - x2 - y2dS = 1+ ç ¶x ÷+ ç ¶y ÷ds =dsèøèø1- æ x + y ö222ç÷22èø故有x2y2zòòSòòdS =z+ z dS2()r

4、 x, y, z44S1414()2 (4 - r 2 )rdr2pòòòò4 - x - y ds =q=22d00D= 3 p2Ax + By + Czpò九、设an =tan xdx,n40¥1nån=1()a + a的值；（1） 求nn+2¥anån=1（2） 试证：对任意的常数l > 0, 级数收敛ln【详解】 （1）因为pp1n1n4 tan x (1+ tan x d(a) =ò+ an2dxnn+2001 1n (n +1)1ò= tt dt =ntan x n0

5、又由部分和数列n= å1 (an) = åi=1 1= 1- 1 ,+ aSi (i +1)ii+2nn +1ii=1lim Sn = 1,有n®¥¥1nån=1()a + a= 1.因此nn+2（2）先估计an 的值，因为ptn1n +111òò2òan =tan xdxtan x n= tdt <t ndt =,40 1+ t00an nl1nl (n + 1)1<<,所以nl +1¥1ån=1由l +1 > 1知收敛l +1n¥anån

6、=1也收敛.从而ln-1b0éacù十、设矩阵 A = ê 53 ú ，其行列式= -1，又 A 的伴随矩阵 A* 有一个特征值lA，êêë1- cú-aúû0为a = (-1, -1,1)T ，求 a, b, c 和l属于l 的一个特征的值.00【详解】根据题设有A a = l a ,*0AA* =A E = -E, 于是AA a = Ala = l Aa ,*又00即-a = l0 Aa-1b0ù é-1ùé-1ùéacê

7、3 ú ê-1ú =- ê-1úl5也即0 êú êúêúêë1- c-aúû êë 1 úûêë 1 úû由此，可得ì l0 (a +1+ c) = 1ï l(-5 - b + 3) = 1í0ï()l-1+ c - a = -1î0l0 = 1, b = -3, a = c解此组，得= -1和 a = c ，有A又

8、由a-15-3a3-a= a - 3 = -11- a0a = c = 2,故a = 2, b = -3, c = 2, l0 = 1.因此十一、设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定， B 为m ´ n 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵，试证：BT AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r ( B) = n .【详解】 必要性. 设 BT AB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 n 维列x ¹ 0 ，有xT (BT AB) x > 0,( Bx)T BA( Bx) > 0,即r ( B) = n于是， Bx ¹ 0 .因此， Bx = 0 只有

9、零解，故有充分性. 因 (BT AB)T= BT AT B = BT AB, 故 BT AB 为实对称矩阵.若 r ( B) = n则线性组 Bx = 0 只有零解，从而对任意的实 n 维列矩阵，所以对于 Bx ¹ 0 有( Bx)T BA( Bx) > 0,x ¹ 0 ，有 Bx ¹ 0 .又 A 为正定于是当 x ¹ 0 ，有 xT (BT AB) x = ( Bx)TA( Bx) > 0 ，故 BT AB 为正定矩阵.量( X ,Y )十二、设随量 X 与Y 相互分布律及关于 X 和，下表列出了二维随关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试

10、将其余数值填入表中的空白处.【详解】十三、设总体 X 的概率密度为ì 6x < q其他f ( x) = ïqíïî0,Xn 是取自总体 X 的简单随机样本.（1） 求q 的矩估计量q ；æ ö（2） 求q 的方差 D çq ÷.è øq2q 6x+¥()( )()òòq - x dx =【详解】 (1) E X =xf x dx =q3-¥0q1n å记 X =Xi , 令 = X , 得q 的矩估计量q = 2 X ；n2i=1

11、（2）由于q 6x26x220E ( X=x)+¥f ( x)dx = ò0(q - x) dx =ò22q 3-¥y1y2y3PX = xi = pix11241811214x218381434PY = yi = pj1612131y1y2y3PX = xi = pix118x218PY = yi = pj161qq= q 2226æö()( )( )2D x = E x- éE x ù =-2ç 2 ÷ëû20èø20因此 q = 2 X 的方差为D

12、çq ÷ = D (2 X ) = 4D ( X )æ öè øq 25n= 4nD ( X ) =精华资料系列1998 年入学统一数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把填在题中横线上)1+ x + 1- x - 2(1) lim=.2xx®0¶2 z1(2)设 z =f (xy) + yj (x + y), f ,j 具有连续导数,则¶x¶y =.xx2y2ò(3)设l 为椭圆+= 1, 其周长记为 a, 则 (2xy + 3x + 4 y )

13、ds =.22 43L¹ 0, A* 为 A 的伴随矩阵, E 为 n 阶矩阵.若 A 有特征值 l, 则(A*)2 + E(4)设 A 为 n 阶矩阵, A必有特征值.(5)设平面区域 D 由曲线 y = 1 及直线 y = 0, x = 1, x = e2 所围成,二维随量( X ,Y ) 在区域 D 上服x从均匀分布,则( X ,Y ) 关于 X 的边缘概率密度在 x = 2 处的值为.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) d dxxòtf (x - t )dt

14、=22(1)设 f (x) 连续,则0(B) - xf (x2 )(A) xf (x2 )(C) 2xf (x2 )(D) -2xf (x2 )x - 2) x3 - x 不可导点的个数是(2)函数 f(A)3(C)1(3)已知函数 y = y(x) 在任意点 x 处的增量 Dy =(B)2(D)0yDx+ a , 且当 Dx ® 0 时,a 是 Dx 的高阶无穷1+ x2小, y(0) = p ,则 y(1) 等于(A) 2pp(C) e 4(4)设矩阵(B) pp(D) p e 4英语作文万能模板精华资料系列é a1c1 ù2 úc3 ú&

15、#251;b1 bêaúcê22b3êëa3x - a3y - b3z - c3x - a1y - b1z - c1=是的,则直线与直线a1 - a2b1 - b2c1 - c2a2 - a3b2 - b3c2 - c3(B)重合(D)异面(A)相交于一点(C)平行但不重合,且0 < P( A) < 1, P(B) > 0, P(B | A) = P(B | A), 则必有(5)设 A, B 是两个随机(A) P( A | B) = P( A | B)(B) P( A | B) ¹ P( A | B)(C) P( A

16、B) = P( A)P(B)(D) P( AB) ¹ P( A)P(B)三、(本题满分 5 分)x -1yz -1=1在平面p : x - y + 2z -1 = 0 上的投影直线l0 的,并求l0 绕 y 轴旋转一求直线l :-11曲面的.四、(本题满分 6 分)确定常数 l, 使在右半平面 x > 0 上的A(x, y) = 2xy(x4 + y2 )l i - x2 (x4 + y2 )l j 为某二元函数u(x, y) 的梯度,并求u(x, y).五、(本题满分 6 分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y( 从海平面算起)与下沉速度v之间

17、的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用. 设仪器的质量为 m, 体积为 B, 海水密度为 r, 仪器所受的阻力与下沉速度成正比, 比例系数为k (k > 0). 试建立 y 与v 所满足的微分,并求出函数关系式 y = y(v).六、(本题满分 7 分)axdydz + (z + a)2 dxdy计算 òòS, 其中S 为下半平面 z = - a2 - x2 - y2 的上侧, a 为大于零的常数.(x + y + z )222 1 2七、(本题满分 6 分)英语作文万能模板精华资料系列ésin psi

18、n 2pùên求lim+úpsin n + n 1+L+.x®¥ ê n +11 úêëún ûn +2八、（本题满分 5 分）¥¥1设正向数列an 单调减少,且å(-1) aånn发散,试问级数(n=1a +1)是否收敛?并说明理由.nn=1n九、（本题满分 6 分）设 y = f (x) 是区间0,1 上的任一非负连续函数.(1) 试证存在 x0 Î(0,1), 使得在区间0, x0 上以 f (x0 ) 为高的矩形面积, 等于在区

19、间x0 ,1 上以y =f (x) 为的梯形面积.(2)又设 f (x) 在区间(0,1) 内可导,且 f ¢(x) >- 2 f (x) , 证明(1)中的 x 是唯一的.0x十、（本题满分 6 分）é x ùéx ù已知二次曲面x2 + ay2 + z2 + 2bxy + 2xz + 2 yz = 4 可以经过正交变换ê yú = P êh ú 化为椭圆柱ê úê úêë z úûêëz 

20、0;ûh 2 + 4x 2 = 4, 求 a, b 的值和正交矩阵 P.面十一、（本题满分 4 分）设 A 是n 阶矩阵,若存在正整数 k, 使线性组 Ak x = 0 有, 且 Ak -1 ¹ 0.证明:组, A,L, Ak-1 是线性无关的.十二、（本题满分 5 分）已知组a11 x1 + a12 x2 +L+ a1,2n x2na21x1 + a22 x2 +L+ a2,2n x2nMan1 x1 + an 2 x2 +L+ an,2n x2n= 0= 0()= 0的一个基础为(b , b ,L, b)T , (bT)T . 试写出线性, b ,L, b) ,L,(b

21、 , b ,L, b组11 121,2n21222,2nn1n2n,2n英语作文万能模板精华资料系列b11 y1 + b12 y2 +L+ b1,2n y2nb21 y1 + b22 y2 +L+ b2,2n y2nMbn1 y1 + bn 2 y2 +L + bn,2n y2n= 0= 0()= 0的通说明理由.十三、（本题满分 6 分）设两个随量 X ,Y 相互1X - Y,且都服从均值为0、方差为 的正态分布,求随2的方差.量十四、（本题满分 4 分）从正态总体 N (3.4, 62 ) 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4) 内的概率不小于0.95,问样

22、本容量n 至少应取多大?附:标准正态分布表t2 1 e- 2zòF(x) =dt2p-¥十五、（本题满分 4 分）设某次的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次附: t 分布表P全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程.p (n) = p英语作文万能模板本人提供超强 学，本人今年考上的不出，但使用此套模板时间做其他的题目（英语万能大作文模板，极适合英语基础差或对英语作文头疼的同，英语基础非常差，要是写可以说一个完整没错的句子都写作文答的非常好（可使您轻松 16+(满分 2

23、0)），而且节约了大量时时间是非常紧的！），此套模板绝对是经实践检验的！大单科受限绝大多数都是出在英语上，英语难是出了名的，尤其对英语基础稍差的更是头疼，害怕总分考得很高却挂在英语上实在可惜，花费大量时间在英语上效果却不理想。本套模板的特点是量少，只有四篇，涵盖全部四个类型，同学们也清楚如果给你几十上百的模板或压题我感觉就跟没给一样，因为你根本就不可能把那么多文章都弄熟了，时间上也不英语作文万能模板0.950.975351.68962.0301361.68832.0281z1.281.6451.962.33F(x)0.9000.9500.9750.990精华资料系列，尤其对英语基础稍差的，记英

24、语的东西本来就很学很快掌握，熟练运用。而且本套模板功能十分强大！任何，而本套模板量很少就能方便同题目都能完美套用，您打高分，最后一个特点是模板内所需根据题目填写的词极少，可以说 95%的给出，大市面上我们见到的所谓模板往往就一个骨架，净是些连接性语句，大多数语句都还要写，这对英语基础稍差的无疑是的，而本模板就不同了，只要你将模板背熟写熟，上考场就可快速写出了！我也是今年考上的，本套模板是经本人和同学实践检验的，大作文打到 16+。英语作文模板，超强！本人已考上，现有英语超强作文万能模板，本套模板含四篇，含盖了四大类不同形式，本套模板句型复杂多变，需填文字极少！而且不论考什么题目都能用！保证大作

25、文 16（满分 20）不但能使您做文拿个高分，而且节约了大量时间做别的题目！此万能模板决对不同于辅导班的作文，本人也上过辅导班，而且当时同学也上了很多，基本大的辅导班都上了，相信已经上过英语辅导班的也都清楚了，那些老师就是能吹，时不时的说我跟命题的有什么什么关系，再就是讲些笑话说点轶闻什么的，根本就没什么收获，百块钱还不说，还浪费了我们大量宝贵时光！那些辅导班冲刺班提供的作文资料不是一大本很厚的书就是只有一些连接词的所谓的作文模板，也可问一下学长什么的就知道辅导班的真实情况了！有需要的加，绝对超值了！比百上个辅导班却没什么效果不知强多少倍！简单的说使用此模板需要你写的只有两句话加一个短语：一句

26、描写图画内容，一句点明图画的思想，还有一个词就是中心词，使用很方便买模板一并赠送详细使用方法说明。大家关心的关于作文的一些问题：1英语跟英语四六级的差异？根据我当时考的经验，确实英语四六级考得很好的最后英语成绩却不如差得，我感觉这是因为他们准备不充分导致的，英语好的往往认为英语好，四六级很好，就一步步扎实复习了，而学的差的往往作文都会准备模板去套，结果考得挺好，实际英语好的是没认清作文跟四六级的巨大区别，还是按四六级的来导致成绩很不理想，大作文要求是很高的，不光要写得出，而且要求句式复杂多变，并使用高级词汇，而且字数要求也多，否则即使写出也得不了高分，而且没来得及答或直接蒙了.时间还紧，很多人

27、因为作文耗费了大量时间导致别的2英语为什么要使用模板？英语难，而作文大分值又很大，并且大作文要求高（话题难、字数要时间又紧，不使用模板是很难的作文写一下，看要用多长时间，求多、句式要求复杂多变、词汇要求用高级的等），而且得到一个理想分数的，写出的质量怎么样。也可以先拿一个英语3英语为什么能使用作文模板？英语作文虽然非常难，但长期以来却形式很八股，不像四六级那样灵活多变，这也就决定我们可以使用模板，而且英语的作文模板。毕竟更注重语言而非思想，所以我们完全可以做出好4 网上也能找到很多作文模板，此模板有什么特别之处？是的，网上也能找到很多作文模板，但都不能令人满意，要不我们也不用一遍又一遍的搜寻作

28、文模板，下了一个又一个，虽然有些相对较好，但都不能满意，主要有这英语作文万能模板精华资料系列些：网上的模板大多只提供了个纲或骨架，很多句子还需要你去写，这对于英语基础较差写英语句子很文的配合性不好，将的人来说无疑是个艰难的任务，另上的模板通用性不好，与作作文带进去后比较牵强别扭等等，这都是网上模板的不足。而本模板就很好的解决了这些问题，所需写的极少，通用性极强，且经本人用！实践，相当实另外关键的问题是网上的模板就个，在各大、资料用了到处都是，被，使用那些模所使用，而且那些模板从几年前就有，不知被板效果可想而知，浏览一下就心中有数，根本不用详读，分数就出来了，难以达到使用模板的高分的目的。英语作

29、文万能模板1998 年入学统一理工数学一试题详解及评析一、填空题1+ x + 1- x - 2=.（1） lim2xx®01【答】 -.4【详解 1】 用四则运算将化简，再用等价无穷小因子代换，(1- x )2 - 4x + 2)1+ x + 原式= limx®02 (1- x2 -1)12= lim1- x2 -1 -x2因4x2x®0- 1 x2= lim 2= - 1 .2x24x®0【详解 2】 采用洛必达法则，110原式 ¾0¾ lim2 121- x - 1+ x x2= lim4xx®0 -1-1012 1-

30、x2 1+ x4¾0¾® lim= -.4x®0® 1( x ® 0) 可求出注：1- x2采用(1+ u )l 的较简单.当u ® 0 时【详解 3】展开式，此时用= 1+ lu + l (l -1) u2 + o (u2 ),(1+ u )l2!所以 x ® 0 时1 ö x2 + o (x2 ),è8 ø1 ö x2 + o (x2 ),è8 ø于是+ 11 x - 1 x2 + o (x2 ) - 2原式= lim228x2x®0o (x

31、2 ) öæ1= limç -+÷x®0 ç÷4x2èø=- 14¶2 z1xf ( xy ) + yj ( x + y ), f ,j 具有（2）设 z =.连续导数，则¶x¶y【答】yf '' ( xy ) + j ' ( x + y ) + yj '' ( x + y ) .【详解】¶z=- 1y() +f ' ( xy ) + yj ' ( x + y ),¶x¶2 z=- 11(

32、xy ) +( xy ) + yf ( xy ) + j ( x + y ) + yj ( x + y ) x'''''''ff¶x¶yx= yf '' ( xy ) + j ' ( x + y ) + yj '' ( x + y )x2y2（3）设l 为椭圆+= 1, 其周长记为 a, 则 vò (2xy + 3x + 4 y )ds =.2243l【答】 12a.x2y2+= 1, 即3x + 4 y = 12 代入，得22【详解】以l 为43vò (2x

33、y + 3x2 + 4 y2 )ds = vò (2xy +12)ds = 2vò xyds +12a = 12a,lll其中第一个，由于l 关于 x 轴对称，而 xy 关于 y 为奇函数，于是 vò xyds 0.l¹ 0, A* 为 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶矩阵.若 A 有特征值l, 则（4）设 A 是 n 阶矩阵，A( A* )2 + E 必有特征值 .ö2æ+1 .【答】ç l ÷èø(¹ 0), 则【详解】设 AA-1x = 1 x Þ( ¹ 0)

34、A AllA22æö( Ax = ç lx,)即A x =x, 从而*÷lèøéù2()é2A+*x ¹ 0,êëêèúøëû2æö可见 ( A+ E 必有特征值)2+1*ç l ÷èø（5）设平面区域 D 由曲线 y = 1 及直线 y = 0, x = 1, x = e2 所围成，二维随量( X ,Y ) 在x区域 D 上服从均匀分布，则( X ,Y )

35、 关于 X 的边缘概率密度在 x = 2 处的值为.14.【答】【详解】区域 D 的面积为1e2 1e2SD = ò dxdy =dx = 2.òòxx111( X ,Y ) 的于是概率密度为ì 1 , ( x, y )Î Df ( x, y ) = ï 2íïî 0,其他其关于 x 的边缘概率密度为ì1 11òdy =,1 £ x £ e2ïx+¥( )f X ( x) dy = íïîòfx =22x0

36、X-¥0,其他14f X (2)=故.二、选择题 d dx()x( )òtf x - t dt 等于22（1）设 f x 连续，则（A） xf (x2 )0(B) -xf (x2 )（C） 2xf (x2 )（D） -2xf (x2 )【 】（A）.【答】【详解】作变量代换u = x2 - t 2 ，则AAA0 é- 1)ùddxddx= 1 dtf xt )dt =(x2x(f (u )duòòò2 - 2f u úduê2ë2û2 dx0x0= 1f (x2 )× 2x2

37、= xf (x2 )x - 2) x3 - x（B）2.（2）函数 f不可导点的个数是（A）3.（C）1.（D）0.【 】【答】【详解】（B）. 因为f)(-1)( x +1) ,-x -f ( x) 在 x = 0,1 处不可导，而在 x = -1 处是可导的，f ( x) 的不可导点的个数为 2.可见故y+x（3）已知函数 y = y ( x) 在任意点 x 处的增量+ y =1+ x2阶无穷小， y (0) = p ，则 y (1) 等于+ a , 且当+x ® 0 时，a 是+x 的高p（C） e 4 .p（D） p e 4（A） 2p .（B） p .【】【答】（D）.y+

38、x1+ x2+ a , ，有【详解】由+ y =y+ a+ y =.+xy令+x ® 0 ，得 y' =，1+ x2并利用初始条件由 y (0) = p , 得 y = p earctan xp解此微分y (1) = p earctan x= p e 4 .故é a1c1 ù2 úb1 bx - a3y - b3z - c3（4）设矩阵êaú 是=c的，则直线与直线ê22a - ab - bc - cêaú121212bcë 33 û3x - a1y - b1z - c1 c2

39、 - c3=a2 - a3b2 - b3（A）相交于一点.（C）平行但不重合.（B） 重合.（C） 异面.【 】【答】（A）.é a1c1 ùb1设矩阵êaú 是bc【详解】的，所以通过行初等变换后得矩阵ê22 ú2êëa3b3c3 úûéa1 - a2b1 - b2c1 - c2 ùêac - c ú 仍是- ab - b的，于是两直线的方向êêë23 ú23a323b3úûc3S1 = a1

40、- a2 , b1 - b2 , c1 - c2 S2 = a2 - a3, a2 - a3, c2 - c3线性无关，可见此两直线既不平行，又不重合.又(a1, b1, c1 ) 、(a3, b3, c3 ) 分别为两直线上的点，为: S1 = a3 - a1, b3 - b1, c3 - c1 ,满足 S3 = S1 + S2 .可见三S1, S2 , S3 共面，因此其连线S1, S2 必相交，即两直线肯定相交.，且0 < P ( A) < 1, P ( B) > 0, P ( B | A) = P (B | A) ,则必有(B) P ( A | B) ¹ P

41、 ( A | B)(D) P ( AB) ¹ P ( A) P ( B) .【（5）设 A、B 是两个随机（A） P ( A | B) = P ( A | B)(C) P ( AB) = P ( A) P ( B) .】（C）.由条件概率公式及条件 P ( B | A) = P (B | A) ，知【答】【详解】P ( AB)P ( AB)=P ( A)P ( A)于是有P ( AB) éë1- P ( A)ùû = P ( A) P ( AB) = P ( A) éëP ( B) - P ( AB)ùû

42、P ( AB) = P ( A) P ( B)可见故选（C）.x -1yz -1在平面p : x - y + 2z -1 = 0 上投影直线l0 的=1三、求直线l :，并求l0 绕 y-1.1轴旋转一【详解 1】曲面的s = 1,1, -1 ，又垂直于p过直线l 作一垂直于p 的平面p1 ，其法既垂直于l 的方向n = 1, -1, 2，可用的法积求得ij1-1kn1 = s ´ n 11-1 = i - 3 j - 2k.2又(1, 0,1) 为直线l 上的点，所以该点也在平面p1 上，由点法式得p1 的为( x -1) - 3y - 2 ( z -1) = 0, 即x - 3y

43、 - 2z +1 = 0 .从而l0 的为: ì x - y + 2z -1 = 0líx - 3y - 2z +1 = 00îx = 2 yìï将l0 写成参数 y 的íz =- 1 ( y -1)：ïî2于是直线绕 y 轴旋转所得旋转曲面为：ù2é12x2 + z2 = (2 y )( y -1)ú2+ ê-ëû4x2 -17 y2 + 4z2 + 2 y -1 = 0.即【详解 2】ìx - y -1 = 0x -1yz -1=1用平面束方

44、法，直线l :í y + z -1 = 0的可写为-11î于是过l 的平面可写成x - y -1+ l ( y + z -1) = 0,x + (l -1) y + l z - l -1 = 0.即在其中求出平面p1 ，使它与p 垂直，得1- (l -1) = 2 - l = 0,l = -2, 于是p1 的为( x -1) - 3y - 2 ( z -1) = 0,以下同解法一.即 x - 3y - 2z +1 = 0四、确定常数l, 使在右半平面 x > 0 上的A( x, y ) = 2xy (x4 + y2 )l i - x2 (x4 + y2 )l j 为某

45、二元函数u ( x, y ) 的梯度，并求u ( x, y ) .【详解】 令 P ( x, y ) = 2xy (x4 + y2 )l , Q ( x, y ) = -x2 (x4 + y2 )l ,由题设，有¶Q = ¶P¶x¶y4x (x4 + y2 )l (l +1) = 0.即场时梯度场，在 x > 0 在半平面内一点，比如点(1, 0)与路径无关，有可见，当且仅当l = -1 时，所给作为路径的起点，则根据x 2x × 0 dx -x2u ( x, y ) =yò1ò+ Cx4 + 0x4 + y20y=

46、- arctan+ C.x2其中C 为任意常数.五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y （从海平面算起）与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m, 体积为 B, 海水比重为 r, 仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k (k > 0) .试建立 y 与v 所满足的微分数关系式 y = y (v).，并求出函【详解】取沉放点为原点O, Oy 轴正向铅直向下，则由第二定律得d 2 ym= mg - Br - kv,dt 2dy这是可降阶的微分，其中v =.dtd

47、 2 ydydtdv dydv= v, 则=×= v, 于是原令可化为dt 2dy dtdymv dv = mg - Br - kv,dy分离变量得mvmg - Br - kvdy =dv,得m (mg - Br )mln (mg - Br - kv) + Cy =-v -k再根据初始条件v|= 0, 得y=0k 2m (mg - Br )k 2ln (mg - Br - kv),C =故所求函数关系为mm (mg - Br )mg - Br - kv mg - Bry =-v -kln.k 2axdydz + ( z + a)2 dxdy六、计算 òòå

48、;, 其中å 为下半球面 z = - a2 - x2 - y2 的上侧， a 为大12()x + y + z222于零的常数.【详解 1】添加一平面区域后用公式进行计算axdydz + ( z + a)2 dxdy1axdydz + ( z + a)2 dxdy.òòåa òòI =12()x + y + z222åìx2 + y2 £ a2补一块有向平面å1 : íî，其侧与 z 轴负向一致，于是有z = 0I = 1axdydz + ( z + a)2 dxdy - 1

49、òò axdydz + ( z + a)2 dxdywòòa å+ åa å11= 1 æ -ö÷ø(3a + 2z ) dV +òòòòò2a ça dxdyèWD= 1 æ -2p a4 - 2zdV + p aö÷øòòò4a çèW(2)zdz12pa0òòòp a - 2dqrdr=-24

50、a- a -r200p=-a .23【详解 2】直接分块计算：axdydz + ( z + a)2 dxdy1axdydz + ( z + a)2 dxdyòòåa òòI =12()x + y + z222å=xdydz + 1( z + a )2 dxdy = Iòòåa òò+ I .12å其中I1 = òò xdydz = -2 òòa2 - x2 - y2 dydz,åDyzDyz 为 yOz 平面上的半圆： y +

51、 z £ a , z £ 0. 利用极坐标，得222I = -2dqa2 - r 2 rdr = - 2 p a3.2paòò13p0= 1( z + a )2 dxdya òòI2å= 1 òò (a -a2 - x2 - y2 )2 dxdy,a DxyDxy 为 xOy 平面上的圆域： x + y £ a 。利用极坐标，得22(a2 - r 2 - r2 )rdr = p a3,1a2paòòI =q-2d2a2a2600pI = I1 + I2 = - 2 a .3故

52、ésin psin 2pùên nsin p ú七、求lim+" +.n®¥ ê n +11 ú12êún +n +ë【详解】 由于n ûsin ipsin ipsin ip n < n < n , i = 1, 2, 3,", n.n +1n + innsin ipipipn1nn1nnåi=1sin< ån iåi=1×<sin.n于是n +1 nnn +i=1n而lim n ×

53、 1 åsin ipn 21ò= 1×sin p x =.pn®¥ n +1 nn0i=1lim 1 åsin ipn 21ò=sin p x =.pn®¥ nn0i=12故根据定理知，原式 p .ön楥1å(1 a 发散，试问级数åç)n八、设正项数列 a单调减少，且-÷是否收敛？并说nna +1n=1 èøn=1n明理由.【详解 1】由正项数列an 单调减少，知极限lim an 存在，记为 a, 则

54、 an ³ a 且a ³ 0 .n®¥¥¥又å(-1)naå()n级数交错判别法知，必有 a > 0（否则级数-1 a 收敛）.发散，根据nnn=1n=1önönönææ¥æ111a +11a +1åça +1 ÷ £ ç a +1 ÷< 1, 级数又正项级数 a单调减少，有, 而ç÷收敛，根据nèøn=1 èø&#

55、232; nøönæ1¥åç比较判别法，知级数a +1 ÷也收敛.n=1 ènø【详解 2】önæ1同方法一，可证明lim an = a > 0. 令bn = ç, 则÷è an +1 øn®¥11lim b = lim=< 1,n+1a + 1n®¥ an®¥nönæ¥1åç根据根值判别法，知级数a +1 ÷也收敛.n=1 ènø九、设 y = f ( x) 是区间0,1上的任一非负连续函数.（1）试证存在 x0 Î(0,1), 使得再区间0, x0 上以 f ( x0 ) 为高的矩形面积，等于再区间x0 ,1f ( x) 为上以