信号与系统 郑君里版

1、.2002.36.5 能量信号与功率信号能量信号与功率信号相关系数与相关函数相关系数与相关函数相关与卷积的比较相关与卷积的比较& 6.6.E = =p(t)dt = = R1TT0Ri (t)dt1 1T0 Rp(t) = = i2(t)R在一个周期内，在一个周期内，R消耗的能量消耗的能量T02T02T02T0202 v 2(t)dtR 2E = =i 2(t)dt 或或平均功率可表示为平均功率可表示为2T02T021T0P = =T02T02v2(t)dt或或 P = =Ri(t)+ +v(t)瞬时功率为瞬时功率为一能量信号和功率信号设设i(t)为流过电阻为流过电阻R的电流，的电流，

2、v(t)为为R 上的电压上的电压.能量能量 E = =lim平均功率平均功率P = =lim讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：满足满足式的称为能量信号，满足式的称为能量信号，满足式称功率信号式称功率信号。X 0 E ( (有限值有限值) ) 0 P ( (有限值有限值) )P = = 0E = = 定义定义：定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比比。令令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号，则在整个时间域内，实信号f(t)的的T02T02f 2(t)dt1T0 T0T02T0T0 2f 2(t)dt.

3、一般规律一般周期信号为功率信号；一般周期信号为功率信号；非周期信号，在有限区间有值，为能量信号；非周期信号，在有限区间有值，为能量信号；还有一些非周期信号，也是非能量信号，还有一些非周期信号，也是非能量信号，如如u(t)是功率信号；是功率信号；而而tu(t)为非功率非能量信号为非功率非能量信号; ;(t)是无定义的非功率非能量信号。是无定义的非功率非能量信号。X. 1 2f1(t), f2(t)f1(t), f1(t) f2(t), f2(t)f1(t), f2(t)f1(t) 2 f2(t)212 = = =二相关系数与相关函数数学本质数学本质: 相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的相关系

4、数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现具体表现.物理本质物理本质: 相关与信号能量特征有着密切联系。相关与信号能量特征有着密切联系。1相关系数12由两个信号的内积所决定：由两个信号的内积所决定：.f1( (t) )f2( (t) )dt f1 ( (t) )dtf2 ( (t) )dt第第6页页由柯西施瓦尔茨不等式，得由柯西施瓦尔茨不等式，得2122 所以所以12 1若若f1( (t) )与与f2( (t) )完全一样完全一样,12 = = 1,此时此时 2等于零等于零若若f1( (t) )与与f2( (t) )为正交函数为正交函数,12 = = 0,此时此时 2最大最大相关系数相关系数12

5、从信号能量误差的角度从信号能量误差的角度 描述了信号描述了信号f1( (t) )与与f2( (t) )的相关特性的相关特性,利用矢量空间的的内积利用矢量空间的的内积 运算给出了定量说明运算给出了定量说明 .X.2相关函数分如下几种情况讨论：分如下几种情况讨论：f1(t)与与f2(t)是能量有限信号是能量有限信号f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数f1(t)与与f2(t)是功率有限信号是功率有限信号f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数X.R12() = =f1(t) f2(t )dt = =R21() = =

6、(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数:相关函数定义相关函数定义:f1(t + +) f2(t)dtf1(t ) f2(t)dt = =f1(t) f2(t + +)dt可以证明：可以证明：R12() = = R21()当当f1(t) = = f2(t) = = f (t)时，自相关函数为时，自相关函数为 R( ) = = R()的偶函数的偶函数.R12() = =f1(t) f (t )dt = =R21() = =f (t ) f2(t)dt = =R() = =f (t) f (t )dt = =*2*1f1(t + +)f2 *(t)dtf

7、1*(t) f2(t + +)dt*f (t + +) f (t)*dt同时具有性质：同时具有性质：*R() = = R*()(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号 f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数:相关函数：相关函数：.R12() = = limf1(t) f2(t )dtR21() = = limf2(t) f1(t )dtR() = = limf (t) f (t )dt自相关函数：自相关函数：T2T2T2T2T2T21T T1T T1T T(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号 f1(t)与与f2(t)为实函数为实函数:相关函数：相关函数：.R12() = = limf

8、1(t) f2 (t )dtR21() = = limf2(t) f 1(t )dtR() = = limf (t) f (t )dt自相关函数：自相关函数：* * * T2T2T2T2T2T21T T1T T1T T(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号 f1(t)与与f2(t)为复函数为复函数:相关函数：相关函数：.f1(t)* f2(t) = =R12(t) = =两者的关系两者的关系R12(t) = = f1(t)* f2(t)即即: f2(t)反褶与反褶与f1(t)之卷积即得之卷积即得f1(t) 与与f2(t)的相关函数的相关函数R12(t) f1(t)与与 f2(t)为实偶函数

9、，则其卷积与相关完全相同。为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。X三相关与卷积的比较f1(t) 与与f2(t)卷积表达式：卷积表达式：f1()f2(t )df1(t)与与 f2(t)相关函数表达式：相关函数表达式：f1(t) f2(t )dt.说明(1) 自相关在自相关在t = = 0时时,相关性最强相关性最强,R( (0) )最大最大;(2)若若f1( (t) )与与f2( (t) )为实偶函数为实偶函数,则卷积与相关完全相同则卷积与相关完全相同 ;(3)相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶X.四相关定理若已知：若已知： F f1(t) = = F1()F f2(t) = = F2()则：则：F R12() = = F1() F2 *()若若:f1(t) = = f2(t) = = f(t),F f (t) = = F()则自相关函数为则自相关函数为:2F()F R( ) = =.说明1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第