第一节不定积分的概念及其计算法概述

1、第一节第一节 不定积分的概念及其不定积分的概念及其计算法概述计算法概述一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表三、不定积分的性质及简单计算三、不定积分的性质及简单计算四、小结四、小结例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间), 0( 内的原函数内的原函数.如果在区间如果在区间I内，内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，或或dxxf)(在在区区间

2、间 I内内的的一一个个原原函函数数. . 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 原函数原函数关于原函数有以下三个问题：关于原函数有以下三个问题：1) 满足什么条件满足什么条件 , 其原函数一定存在？其原函数一定存在？)(xf原函数存在定理：原函数存在定理： 若若 在区间在区间 I 内连续内连续 , 则在区间则在区间 I 内一定存在内一定存在 的原函数的原函数.)(xf)(xf简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.2) 若若f(x)有原函数有原函数 ,原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xsin是是xcos的的一一个个原原函函数数, xsi

3、n+C 也也是是xcos的的一一个个原原函函数数. 即即: 若若 f(x) 有原函数有原函数 ,则则 f(x) 的原函数有无的原函数有无穷多个穷多个.3) f(x)的全体原函数如何表示的全体原函数如何表示?（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C关于原函数的两个说明：关于原函数的两个说明： 若若 F(x) 是是f(x)的一个原函数的一个原函数 ,则则 f(x) 的全体的全体原函数可表示为原函数

4、可表示为F(x) +C. (C为任意常数）为任意常数）任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数 不定积分的定义：不定积分的定义：CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量 若若 F(x) 是是f(x)在区间在区间 I 内的一个原函数内的一个原函数 ,则则 f(x)在区间在区间 I 内的内的全体全体原函数称为原函数称为f(x)在区在区间间 I 内的内的不定积分不定积分, dxxf)(记为记为例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx函函数数)(xf的的原原

5、函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线. 不定积分的几何意义不定积分的几何意义 不定积分称为积分曲线族不定积分称为积分曲线族 , 且在横坐标且在横坐标相同的每条曲线上的切线斜率相等相同的每条曲线上的切线斜率相等.为平面上的为平面上的 一条曲线一条曲线.)(xFy 为平面上的为平面上的 一族曲线一族曲线.CxFy )(设设 F(x) 是是 f(x) 的一个原函数的一个原函数0 xy)(xFy CxFy)(相平行。作切线，则这些切线互处曲线上横坐标相同的点显然，若在每一条积分 ),(d)(xfxxf ,d)(d)( dxxfxxf 或或,)(d)( CxFxxF.)()(d Cx

6、FxF或或结论：结论：求不定积分的运算与微分运算是求不定积分的运算与微分运算是的的. 不定积分与微分不定积分与微分( (导数导数) )的关系的关系:,)(d)(则有则有的原函数的原函数是是xfxxf :,)()(则有则有的原函数的原函数是是xFxF 由此根据微分公式可得积分公式由此根据微分公式可得积分公式.实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 二、二、 基本积分表基本积分表基基本本积

7、积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx说明：说明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx简写为简写为.ln Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(

8、;Cex dxax)13(;lnCaax 例例3 3 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）Cxdxx 11 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、 不定积分的性质不定积分的性质及简单计算及简单计算 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k例例4 4 求积分求积分解解.)1213(22dxxx

9、dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 根据不定积分的运算性质和基本函数的根据不定积分的运算性质和基本函数的积分公式积分公式,可计算简单函数的不定积分可计算简单函数的不定积分.例例5 5 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112xxlnarctan C 例例6 6 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例7 求积分求积分解解.

10、)32(2dxxx dxxx 2)32(dxxxxx )33222(22dxxxx )9624(Cxxx 9ln96ln624ln4例例8 8 求积分求积分解解.)112(242dxxxx .)112(242dxxxx .11112242 dxxxdxx.1111arcsin2242 dxxxdxxx.31arctanarcsin23Cxxxx 例例9 9 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 例例1010 求积分求积分解解.sincos2cos dxxxx.sincos2cos dxxxx.sincossin

11、cos22 dxxxxx.)sin(cos dxxxCxx cossin例例1111 求积分求积分解解说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.2sin2 dxx dxx2sin2.2cos1 dxxsin.2xxC注意注意: 1) 导数是唯一的导数是唯一的 , 但不定积分不唯一但不定积分不唯一. 2) 任一初等函数都可求导数任一初等函数都可求导数 , 且导数一般且导数一般也为初等函数也为初等函数 , 但一些初等函数的不定积分就但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示不能用初等函数来表示 .这些不定积分的原函数存在这些不定积分的原函数存在 , 但不能用初等函但不能用初等函数来表示数来表