第20讲　矩形、菱形、正方形（可编辑word）

1、.第20讲矩形、菱形、正方形A组根底题组一、选择题1.2019聊城如图,ABC中,DEBC,EFAB,要断定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是A.AB=ACB.AD=BDC.BEACD.BE平分ABC2.2019威海矩形ABCD与CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH,假设BC=EF=2,CD=CE=1,那么GH=A.1B.23C.22D.523.2019陕西如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.假设点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BFAE交AE于点F,那么BF的长为A.3102B.3105C.105D.3554.2019江西

2、如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手理论,探究出如下结论,其中错误··的是A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形B.当E,F,G,H是各边中点,且ACBD时,四边形EFGH为矩形C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形5.2019东营如图,在ABCD中,用直尺和圆规作BAD的平分线AG交BC于点E.假设BF=8,AB=5,那么AE的长为A.5B.6C.8D

3、.126.2019东营如图,在正方形ABCD中,BPC是等边三角形,BP,CP的延长线分别交AD于点E,F,连接BD,DP,BD与CF相交于点H,给出以下结论:BE=2AE;DFPBPH;PFDPDB;DP2=PH·PC.其中正确的选项是A.B.C.D.二、填空题7.如图,E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,那么四边形EFGH的面积是. 8.2019青岛正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,那么GH的长为. 9.2019兰州在平行四边形ABCD中,对角线A

4、C与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:ABAD,且AB=AD;AB=BD,且ABBD;OB=OC,且OBOC;AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是. 三、解答题10.2019潍坊如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DEAM于点E,BFAM于点F,连接BE.1求证:AE=BF;2AF=2,四边形ABED的面积为24,求EBF的正弦值.11.2019滨州如图,在ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于12BF的一样长度为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接

5、EF,那么所得四边形ABEF是菱形.1根据以上尺规作图的过程,求证:四边形ABEF是菱形;2假设菱形ABEF的周长为16,AE=43,求C的大小.B组提升题组一、选择题1.2019广东深圳如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,以下结论:AQDP;OA2=OE·OP;SAOD=S四边形OECF;当BP=1时,tanOAE=1316.其中正确结论的个数是A.1B.2C.3D.42.2019天津如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,那么以下线段的长等于AP+EP最小值的是

6、A.ABB.DEC.BDD.AF二、填空题3.2019湖北黄冈:如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,那么BED=度. 4.2019天津如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,那么PG的长为. 三、解答题5.2019枣庄正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA,EC.1如图1,假设点P为线段AB的延长线上,求证:EA=EC;2如图2,假设点P在线段AB的中点,连接AC,判断ACE的形状,并说明理由;3如图3,假设点P在线段AB上,

7、连接AC,当EP平分AEC时,设AB=a,BP=b,求ab及AEC的度数.6.2019山西综合与理论问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:图1证明:BE=AB,AE=2AB.AD=2AB,AD=AE.四边形ABCD是矩形,ADBC.EMDM=EBAB.根据1BE=AB,EMDM=1.EM=DM.即AM是ADE的DE边上的中线,又AD=A

8、E,AMDE.根据2AM垂直平分DE.反思交流:1上述证明过程中的“根据1“根据2分别是指什么?试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接答复,不必证明;2创新小组受到勤奋小组的启发,继续进展探究,如图2,连接CE,以CE为边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;探究发现:3如图3,连接CE,以CE为边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.图2图3与四边形有关的证明与计

9、算培优训练一、选择题1.2019宁波如图,ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.假设ABC=60°,BAC=80°,那么1的度数为A.50°B.40°C.30°D.20°2.2019凉州如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把ADE绕点A顺时针旋转90°到ABF的位置,假设四边形AECF的面积为25,DE=2,那么AE的长为A.5B.23C.7D.293.2019黔南如图,在ABCD中,AC=4 cm,假设ACD的周长为13 cm,那么ABCD的周长为A.26 cmB.24 cmC.20 c

10、mD.18 cm4.2019孝感如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=10,BD=24,那么菱形ABCD的周长为A.52B.48C.40D.205.2019宜昌如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EGAB,EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为G,I,H,J,那么图中阴影部分的面积等于A.1B.12C.13D.146.2019湘潭如图,点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点,那么四边形EFGH是A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形7.2019南通正方形ABCD的边长AB=2,E为AB的中点,F为BC的中点,AF分别与DE、BD相交于点M

11、、N,那么MN的长为A.556B.253-1C.4515D.33二、填空题8.2019连云港如图,E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,连接AC、HE、EC、GA、GF,AGGF,AC=6,那么AB的长为. 9.2019宁波如图,在菱形ABCD中,AB=2,B是锐角,AEBC于点E,M是AB中点,连接MD,ME.假设EMD=90°,那么cos B的值为. 10.2019菏泽假设正多边形的每一个内角为135°,那么这个正多边形的边数是. 11.2019四川成都如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心

12、,以大于12AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.假设DE=2,CE=3,那么矩形的对角线AC的长为. 12.2019兰州如图,M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连接AC交BN于点E,连接DE交AM于点F,连接CF,假设正方形的边长为6,那么线段CF的最小值是. 13.2019襄阳如图,将面积为322的矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.假设BE=2,那么AP的长为. 三、解答题14.2019济宁如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH

13、DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.1猜测DG与CF的数量关系,并证明你的结论;2过点H作MNCD,分别交AD,BC于点M,N.假设正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点,求PDC周长的最小值.15.2019北京如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE.1求证:四边形ABCD是菱形;2假设AB=5,BD=2,求OE的长.16.2019北京如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点不与点A,B重合,连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作E

14、HDE交DG的延长线于点H,连接BH.1求证:GF=GC;2用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.第20讲矩形、菱形、正方形A组根底题组一、选择题1.D当BE平分ABC时,四边形DBFE是菱形.理由:DEBC,DEB=EBC,EBC=EBD,EBD=DEB,BD=DE.DEBC,EFAB,四边形DBFE是平行四边形,BD=DE,四边形DBFE是菱形.其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形,应选D.2.C如图,延长GH交AD于点P,四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,ADC=ADG=CGF=90°,AD=BC=2,GF=CE=1,ADGF,GFH=PAH,又H是AF的中点,A

15、H=FH,在APH和FGH中,PAH=GFH,AH=FH,AHP=FHG.APHFGHASA,AP=GF=1,PH=GH=12PG,PD=AD-AP=1,CG=2,CD=1,DG=1,那么GH=12PG=12×PD2+DG2=22.应选C.3.B如图,连接BE.四边形ABCD是矩形,AB=CD=2,BC=AD=3,D=90°,E是边CD的中点,DE=1.在RtADE中,AE=AD2+DE2=32+12=10,SABE=12S矩形ABCD=3=12·AE·BF,BF=3105.4.D连接AC,BD.当E,F,G,H是各边中点时,由三角形中位线定理可得EFA

16、C且EF=12AC,GHAC且GH=12AC,EFGH且EF=GH,四边形EFGH为平行四边形.当AC=BD时,EF=12AC,EH=12BD,EF=EH,平行四边形EFGH为菱形,选项A正确;当ACBD时,EFAC,EHBD,EFEH,平行四边形EFGH为矩形,选项B正确;当E,F,G,H不是各边中点时,假设DHAD=DGDC=BEAB=BFBC,那么GHAC,EFAC,GHEF.DHAD=GHCA=BEBA=EFAC,EF=GH,四边形EFGH为平行四边形,选项C正确;当E,F,G,H不是各边中点,且DHAD=DGDC=BEAB=BFBC时,四边形EFGH为平行四边形,假设DHAD=23,

17、BD=2AC,那么BEAB=EFAC=23,AEAB=EHBD=13,即EFAC=2EHBD,EF2AC=EHBD,即EF=EH,四边形EFGH为菱形,选项D错误.应选D.5.B连接EF,AE与BF交于点O.四边形ABCD是平行四边形,AB=AF,四边形ABEF是菱形,AEBF,OB=12BF=4,OA=12AE.AB=5,在RtAOB中,AO=25-16=3,AE=2AO=6.应选B.6.CBPC是等边三角形,BP=PC=BC,PBC=PCB=BPC=60°.在正方形ABCD中,AB=BC=CD,A=ABC=BCD=90°,ABE=DCF=30°,BE=2AE,

18、故正确;PC=CD,PCD=30°,PDC=75°,FDP=15°.DBA=45°,PBD=15°,FDP=PBD,DFP=BPC=60°,DFPBPH,故正确;FDP=PBD=15°,ADB=45°,PDB=30°,而DFP=60°,PFDPDB,PFD与PDB不会相似,故错误;PDH=PCD=30°,DPH=DPC,DPHCPD,DPPC=PHDP,DP2=PH·PC,故正确.应选C.二、填空题7.答案24解析E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8

19、,AH=DH=BF=CF=4,AE=BE=DG=CG=3.在AEH与DGH中,AE=DG,A=D,AH=DH,AEHDGHSAS.同理可得AEHDGHCGFBEF,S四边形EFGH=S矩形ABCD-4SAEH=6×8-4×12×3×4=48-24=24.故答案为24.8.答案342解析四边形ABCD是正方形,BAD=D=90°,AB=AD.又AE=DF,ABEDAF,ABE=DAF.ABE+AEB=180°-BAE=180°-90°=90°,DAF+AEB=90°,AGE=BGF=90°

20、;.在RtBGF中,点H为BF的中点,GH=12BF.在RtBFC中,BC=5,CF=CD-DF=5-2=3,根据勾股定理得BF=52+32=34,GH=342.9.答案解析四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,四边形ABCD是菱形,又ABAD,四边形ABCD是正方形,正确;四边形ABCD是平行四边形,AB=BD,ABBD,平行四边形ABCD不可能是正方形,错误;四边形ABCD是平行四边形,OB=OC,AC=BD,四边形ABCD是矩形,又OBOC,即对角线互相垂直,平行四边形ABCD是正方形,正确;四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,四边形ABCD是菱形,又AC=BD,四边形ABCD是矩

21、形,平行四边形ABCD是正方形,正确;故答案为.三、解答题10.解析1证明:BAF+DAE=90°,ADE+DAE=90°,BAF=ADE,在RtDEA和RtAFB中,ADE=BAF,DEA=AFB,DA=AB,RtDEARtAFB,AE=BF.2设AE=xx>0,那么BF=x,四边形ABED的面积为24,DE=AF=2,S四边形ABED=SABE+SAED=12x2+12×2x=24,解得x1=6,x2=-8舍,EF=AE-AF=6-2=4,在RtEFB中,BE=62+42=213,sinEBF=EFBE=4213=21313.11.解析1证明:在AEB和

22、AEF中,AB=AF,BE=FE,AE=AE,AEBAEF,EAB=EAF,ADBC,EAF=AEB=EAB,BE=AB=AF.AFBE,四边形ABEF是平行四边形,AB=BE,四边形ABEF是菱形.2如图,连接BF,交AE于点G.菱形ABEF的周长为16,AE=43,AB=BE=EF=AF=4,AG=12AE=23,BAF=2BAE,AEBF.在RtABG中,AGB=90°,cosBAG=AGAB=234=32,BAG=30°,BAF=2BAE=60°.四边形ABCD是平行四边形,C=BAF=60°.B组提升题组一、选择题1.C四边形ABCD是正方形,

23、AD=BC,DAB=ABC=90°,BP=CQ,AP=BQ,在DAP与ABQ中,AD=BA,DAP=ABQ,AP=BQ,DAPABQ,P=Q,Q+QAB=90°,P+QAB=90°,AOP=90°,AQDP,故正确;DOA=AOP=90°,ADO+P=ADO+DAO=90°,DAO=P,DAOAPO,AOOD=OPOA,AO2=OD·OP.AE>AB,AE>AD,ODOE,OA2OE·OP,故错误;在CQF与BPE中,FCQ=EBP,Q=P,CQ=BP,CQFBPE,CF=BE,DF=CE.在ADF与D

24、CE中,AD=DC,ADC=DCE,DF=CE,ADFDCE,SADF-SDOF=SDCE-SDOF,即SAOD=S四边形OECF,故正确;BP=1,AB=3,AP=4.EBPDAP,PBEB=PADA=43,BE=34,QE=134.QOEPAD,QOPA=OEAD=QEPD=1345,QO=135,OE=3920.AQ=AB2+BQ2=5,AO=AQ-QO=5-QO=125,tanOAE=OEOA=1316,故正确,应选C.2.D在正方形ABCD中,连接CE、PC.点A与点C关于直线BD对称,AP=CP,AP+EP的最小值为EC.E,F分别为AD,BC的中点,DE=BF=12AD.AB=C

25、D,ABF=ADC=90°,ABFCDE.AF=CE.应选D.二、填空题3.答案45解析四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAD=90°.ADE是等边三角形,AD=AE,DAE=AED=60°.BAE=BAD+DAE=90°+60°=150°,AB=AE,AEB=ABE=180°-BAE÷2=15°,BED=AED-AEB=60°-15°=45°.4.答案5解析延长GE交AB于点O,作PHOE于点H.那么PHAB.P是AE的中点,PH是AOE的中位线,PH=12OA=12&

26、#215;3-1=1.在RtAOE中,OAE=45°,AOE是等腰直角三角形,即OA=OE=2,同理PHE中,HE=PH=1.HG=HE+EG=1+1=2.在RtPHG中,PG=PH2+HG2=12+22=5.二、解答题5.证明1四边形ABCD和四边形BPEF是正方形,AB=BC,BP=BF,AP=CF,在APE和CFE中,AP=CF,P=F,PE=FE,APECFE,EA=EC.2ACE是直角三角形,理由如下:如题图2,P为AB的中点,PA=PB,PB=PE,PA=PE,PAE=45°,又BAC=45°,CAE=90°,即ACE是直角三角形.3设CE交

27、AB于点G,EP平分AEC,EPAG,AP=PG=a-b,BG=a-2a-2b=2b-a,PECF,PEBC=PGGB,即ba=a-b2b-a,解得a=2b,ab=21.作GHAC于点H,CAB=45°,HG=22AG=2222b-2b=2-2b,又BG=2b-a=2-2b,GH=GB,又GHAC,GBBC,HCG=BCG,PECF,PEG=BCG,AEC=ACB=45°.6.解析1根据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例或平行线分线段成比例.根据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合或等腰三角形的“三线合一.点A在线段GF的垂直平分线上

28、.2证明:过点G作GHBC于点H.四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=GHC=90°.1+2=90°.四边形CEFG为正方形,CG=CE,GCE=90°.1+3=90°,2=3.GHCCBE.HC=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,BC=2BE=2HC,HC=BH.GH垂直平分BC.点G在BC的垂直平分线上.3点F在BC边的垂直平分线上或点F在AD边的垂直平分线上.证法一:过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N.BMN=ENM=ENF=90°.四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长

29、线上,CBE=ABC=90°.四边形BENM为矩形.BM=EN,BEN=90°.1+2=90°.四边形CEFG为正方形,EF=EC,CEF=90°.2+3=90°.1=3.CBE=ENF=90°,ENFEBC.NE=BE.BM=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,AB=BE,BC=2BM.BM=MC.FM垂直平分BC,点F在BC边的垂直平分线上.证法二:过F作FNBE交BE的延长线于点N,连接FB,FC.四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=N=90°.1+3=90°.四边形

30、CEFG为正方形,EC=EF,CEF=90°.1+2=90°,2=3.ENFCBE.NF=BE,NE=BC.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,设BE=a,那么BC=EN=2a,NF=a.BF=BN2+FN2=(3a)2+a2=10a,CE=BC2+BE2=(2a)2+a2=5a,CF=CE2+EF2=2CE=10a.BF=CF.点F在BC边的垂直平分线上.与四边形有关的证明与计算培优训练一、选择题1.BABC=60°,BAC=80°,ACB=40°,又四边形ABCD是平行四边形,且E为DC的中点,ADBCOE,1=AC

31、B=40°,故答案为B.2.DABF是由ADE旋转得到的,SABF=SADE,S正方形ABCD=S四边形AECF=25,AD=5.DE=2,且ADE为直角三角形.AE=52+22=29,应选D.3.DAC=4 cm,ADC的周长为13 cm,AD+DC=13-4=9cm.又四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,AD=BC,平行四边形的周长为2AB+BC=18 cm.应选D.4.A四边形ABCD为菱形,BD与AC互相垂直且平分,且AB=BC=CD=AD.AC=10,BD=24,AO=5,BO=12,AB=52+122=13.菱形ABCD的周长为13×4=52,应选A.5.B

32、四边形ABCD是正方形,直线AC是正方形ABCD的对称轴,EGAB,EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为G,I,H,J,由对称性可知:四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,S阴=12S正方形ABCD=12,应选B.6.B连接AC、BD.AC交FG于L.四边形ABCD是菱形,ACBD,DH=HA,DG=GC,GHAC,且GH=12AC,同理可得EFAC,且EF=12AC,GH􀱀EF,四边形EFGH是平行四边形,同理可证GFBDEH,OLF=AOB=90°,ACGH,HGL=OLF=90°,四边形EFGH是矩形.应选B.7.C四边形ABCD是正方

33、形,边长为2,AB=BC=CD=AD=2,DAB=ABC=90°.E为AB的中点,F为BC的中点,AE=BF=1,AEDBFASAS,AF=5BAF=ADE,BAF+FAD=90°,ADE+FAD=90°,AMD=90°=ABF,AMDFBA,AMBF=ADAF,AM1=25,AM=25=255.ADBC,ANDFNB,ANNF=ADBF,AN5-AN=21,AN=253,MN=AN-AM=253-255=4155,应选C.二、填空题8.答案2解析在矩形ABCD中,设AB=CD=2x,那么AE=BE=CG=DG=x,AD2=BC2=AC2-CD2=6-4

34、x2,AGGF,AGD+CGF=90°,又AGD+DAG=90°,CGF=DAG,ADGGCF,DGCF=ADGC,即DG·GC=AD·CF,DG=GC=x,CF=12AD,x2=12AD2=126-4x2,解得x1=1,x2=-1舍去,那么AB=2x=2.9.答案3-12解析延长DM交CB的延长线于H,四边形ABCD为菱形,AB=AD=BC=2,ADBC,ADM=H,又M是AB的中点,AM=BM=1,在ADM和BHM中,ADM=H,AMD=BMH,AM=BM,ADMBHMAAS,DM=HM,AD=BH=2,EMDM,EH=ED.设BE=x,EH=ED=

35、2+x,AEBC,AEB=EAD=90°,AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,即22-x2=2+x2-22,化简得x2+2x-2=0,解得x=3-1或x=-1-3舍去.在RtABE中,cos B=BEAB=3-12.10.答案8解析多边形每一个内角都是135°,每一个外角的度数是180°-135°=45°,多边形的外角和为360°,360°÷45°=8,即这个多边形是八边形.11.答案30解析如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3.在RtADE中,AD=AE2-DE2=32-22

36、=5.在RtADC中,AC=AD2+DC2=(5)2+52=30.12.答案35-3解析在正方形ABCD中,AD=BC=CD,ADC=BCD,DCE=BCE,在RtADM和RtBCN中,AD=BC,AM=BN,RtADMRtBCNHL,1=2,在DCE和BCE中,CD=CB,DCE=BCE,CE=CE,DCEBCESAS,2=3,1=3,ADF+3=ADC=90°,1+ADF=90°,AFD=180°-90°=90°,取AD的中点O,连接OF、OC,那么OF=DO=12AD=3,在RtODC中,OC=DO2+DC2=32+62=35,根据三角形的三边关系:OF+CF>OC,当O、F、C三点共线时,CF的长度最