函数的值域与最值

1、(一)函数的定义域：它是正确求解一切函数问题的根底，一切函数问题必须认真考察函数的定义域，求函数定义域的根本类型和常用方法：(1) 自然型(使函数解析式有意义的自变量x的取值范围)；(2) 限制型(人为限制或命题条件隐含的变量的取值范围)；(3) 实际型(命题中变量的实际意义确定的范围)。2x - x2例1求函数 f(x) (3-2X)0的定义域:Ig(2x-1)分析：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，1 33解得函数定义域为(丄,1)(1,-)(-,2。2 22例2函数f x定义域为(0 , 2)，求以下函数的定义域："小丄"宀 2時)+ 1(1) f(x ) +

2、 23； (2)y =,log i(2 -x)2 2分析:自变量，v 2, 求x是2Ov xx的函数f(x )是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中u是中间变量。由于f(x) , f(u)是同一个函数，故(1)为Ov u v 2,即 x的取值范围。解：(1)由 Ovx2 v 2,得、_ m一二.所址X)的定义域为(电o)U(o,血).(2) 由(1)知- -.2 x ： 2,且x = 0,又由2-x : 1得x -1,故 1 ： x ：、2 , 所以所求的定义域为(1, Q).f(x)的解析式，由f(x)的定用好换元法,(2)是二种类型说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型

3、，即不给出 义域求函数fg(x)的定义域，关键在于理解复合函数的意义， 的综合。例 3函数 f(x) = (1-a2)x23(1-a)x 6 ,(1 )假设f (x)的定义域为R,求实数a的取值范围，(2)假设f (x)的定义域为2, 1，求实数a的值。解: (1)a的取值范围-勺,1。11(2), a =2。值域是函数的三要素之一，在近几年高考中多在解答题中出现，而且由于有了导数的 应用，可以求函数的最值，值域即是最大值与最小值为端点的区间，故在选择题、填空题中出现的情况极少，但必须掌握。此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、别离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等。无论用什

4、么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域。求函数值域最值的常见方法：1利用根本函数求值域：适用于当函数结构不复杂，可以通过根本函数的值域及 不等式的性质直接观察出函数的值域。2 反函数法：如所求值域的函数有反函数，用函数和它的反函数的定义域和值域 的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。但此种方法在理论上是有问题的， 因为求反函数同样要面临求原函数的值域，即反函数的定义域，此种方法有缺陷。3换元法：通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征 是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，运用换元法时，要特别要注意新元t的范围。217如 v=2sin2x3cosx1 的值域

5、为答：丨一4,一；8 y = 2x 1 x -1 的值域为 答: 3, 二令. x -1 = t, t - 0。 y =sin x - cosx - sin x|_Cosx 的值域为 答：-1,丄2-2 ， y = x 4 -X2 的值域为 答: 1,3、2 4；4配方法：二次函数或形如 y二af2 x bf x - c类的函数。二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间m, n上的最值；二是求区间定动，对称轴动定的最值问题。求 二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。5 不等式法：利用根本不等式 a_2jaba,bR 求函数的最值，

6、其题型特 征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧，要注意满足条件才能用，如利用根本不等式a 2 .aba,b R 求函数的最值需满足“一正二定三相等。6导数法：适用于在定义域上可导函数，作为高中数学而言这几乎是一种通过法 含有绝对值的函数一般不能用。7判别式法：对分式函数分子或分母中有一个是二次都可通用，但这类题型 有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过局部分式后，再利 用均值不等式：b 2型，可直接用不等式性质，如求y 社 的值域答：0,习2 x2k xbxx2 mx n叫丄；2求函数2x 2的值域答:x 3

7、10,1) y = x2 mx n 型，x + mx + n域为R，值域为0，2，求常数m, n的值答：x2 + m x + n 一 y =型，可用判别式法或均值不等式法,mx + n通常用判别式法;如函数y=logmx2 8x n3x2 1的定义x2x 1x 1的值域型，先化简，再用均值不等式，如1求y二匚匕 的值域答:答：_：,_3U1,=8单调性法：禾U用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性， 如函数在所给区间上是单调的，那么最值分别在两个端点处取到。19,如求 y =x 1 ： x ： 9， y =sin2 x， y = 2x_5 log3. x-1 的值域为x1+sin x答：(0,80)、耳,9、2,10)；929数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如1点Px, y在圆x2 y2 =1上，求 一及y-2x的取值范围答:x+2、-.5,、5； 2求函数 y 二.x-22 - x 82 的值域答: 10, ：；3求函数 yx2 -6x 1 x2 4x 5 及 yx 6x 1 x2 4x 5 的值域答：.43, ：、-26,、26注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两 定点在x轴的两侧，而求两点距离之差时，那么要使两定点在x轴的同侧。10函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函