函数与导数MicrosoftWord文档

1、一. 定义域1.基本: 定义域通常实际背景和使式子有意义两部确定,I>分母0.II>偶次方根被开方数非负.III>定义式中的规定(a=1(a0).Iv>求交集.2.复合函数定义式:I>若f(x)定义式为a,b则fg(x)有ag(x)b,II> fg(x) 定义域指x的取值范围(如fg(x) 定义式为a,b则axb,III>已知fg(x)的解析式求f(t)定义域:先求f(t)的解析式,再求t范围.IV>.已知fg(x)的解析式,求fh(x)定义域: 先求f(t) 定义域为a,b再由ah(x)b求x范围.总之定义域是自变量x的取值范围.二.值域常用方

2、法L(1)配方法(形如y=ax+bx+c(a0)型)(2)分离常数法(形如y=(分子次数分母次数)化成y=k+形式,以(h,k)为中心的反比例函数)(3)判别式法(形如y=(能化为一元二次方程)(4)换元法(形如y=ax+b+或y=此类型用三角换元型,此类还可以用单调性或导数方法求解)(5)图像法(形如y=型)(6)单调性(7)反函数(形如y=)(8)均值不等式(9) 导数 常用均值不等式的应用L(1)x+2(x>0), x+-2(x<0)(2)x(1-2x)=.2x.(1-2x)(3)x+=x+(4)x(1-2x)=(5)(6)以上均注意“配式”及“等号”成立的条件三函数的单调性

3、(1) 定义:对于给定区间上的函数f(x).(i) 如果对于属于这个区间上的任意两个变量的值则就说f(x)在此区间上是增(或减)函数(ii)若y=f(x)在某区间上是增(或减) 函数,就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫f(x)的单调区间.(iii)对于些点不连续的函数,单调区间不包括不连续点,如y=在x=0不属于定义域,故它只能在单调减区间(2) 单调性判定方法:1>从图象上略观察2>用定义(步骤:I>设II>作差III>看号码3>转化为熟知函数4>导数5>复合函数单调性(若6>配式(适合于抽象函数)(构造法)(说明:

4、奇,偶函数只需判断原点左(或右)侧单调性,另一部份利用其性质判定)(3) 最值(1)I>定义:<1>(即M在值域内),则称f(x)在a,b上的最大(或最小)值为M.<2>从图像上看最高(或最低)点的纵坐标为最大(或最小)值.其中称为最大(或最小)值点。II>求最值方法与求值域方法类似.但注意二者区别,如f(x)在(a,b)有值域,不一定有最值(.4).重要结论I>反比例函数II>图像 (1) (2) (3) (4) y=x+ 用途:求最值III>.1.一次函数，二次函数:1.> 一次函数的解析式:y=kx+b(k0),b叫一次函数y在

5、轴上的截距。图像和性质。2>. 二次函数的三种表示形式:y=ax+bx+c=a(x+)+=a(x-) (x-x)(a0),图像和性质,及a,b,c的作用,例如a确定开口方向,形状,开口大小,a.2>二次函数是偶函数b=0.推广:多行式为偶函数奇次项系数为0; 多行式为奇函数偶次项系数为0(包括常数项). 2.二次函数最值问题: 二次函数在p,q上最值问题（分对称轴在区间左，中，右三种情况讨论）.3.恒成立问题 I> 1>注意的区别.例如 I>使f(x)取遍所有正数,定义域只需f(x)>0即可II>.定义域为Rf(x)>0恒成立其解集为R。说明:1

6、.a>f(x)(或<f(x)恒成立,而f(x)的最值不易求,可对a分类讨论求解,合适部分取,不合适部分举反例舍之(尤其与导数有关的题).23说明：若f(x)g(x)在区间D上恒成立，等价于在区间D上函数y=f(x)图象位于y=g(x)图象上方2>恒成立3>一元二次不等式(或方程)在p,q恒成立(或有解)求参数范围问题的处理策略:i>分离变量法.ii>数行结合iii>对“对称轴”在p,q左,中,右讨论找最值iiii>根的分布(实质是用函数的观点解决方程或不等式，一元二次不等式(或方程)对“,对称轴与端点关系, 端点与函数值符号” 讨论；一般情况根的

7、分布和零点问题解题方法：一元二次问题（见下面）；数形结合；分离常数法)(1)i>一元二次方程在R上有解ii>一元二次方程在上有解及韦达定理求解iii>一元二次方程在p,q 有解,据在p,q有无根,一根, 两根 讨论.(2)i>一元二次不等式在R上恒成立及二项式系数符号ii>一元二次不等式在p,q恒成立可用述 iiiii方法求解。说明：解题归纳:<1>与函数f(x) 相关:i>若f(x)定义域为A且f(x)在集合B上有意义,则BA.ii> f(x)的单调增(或减)区间为A且f(x)在区间B上单调增(或减), 则BA.i>.ii>关

8、键字是“在”. 例如：集合与恒成立关系：集合A在B上恒成立BA；f(x)在a,b上单调递增 0在a,b上恒成立；其中恒成立问题解题方法：（1）分离常数法（2）数形结合（3）根的分布（函数观点）。(iii>若f(x)值域为A且f(x)取值范围为B,则AB.四函数奇偶性L(1)定义: 定义域关于原点对称且f(-x)=±f(x)称偶(或奇) 函数(2)性质1>奇函数关于原点对称;偶函数关于y轴对称且f(x)=f(x)反只亦然.2>两奇(或偶) 函数之积(或商)为偶函数;一奇一偶 函数之积(或商)为奇函数3>I>f(x)为奇函数且x=0处有定义f(0)=0II&

9、gt;f(x)为奇函数:若0,+则f(x)在R;若(0,+则f(x)只能说在(3) 复合函数的奇偶性:I>f(x)为偶函数则f-(x+1)=f(-x-1)=f(x+1);f(x+1)为偶函数,设g(x)=f(x+1)则g(-x)=g(x)即f(-x+1)=f(x+1)II>f(x)为奇函数,则f-(x+1)=-f(x+1);f(x+1)为奇函数则f(-x+1)=-f(x+1)(4)判定方法:1>定义域关于原点对称且f(-x)=±f(x)(或变行式).2>图象法3>性质五函数周期性(1) 定义:当x在定义域每一个值都有f(x+T)=f(x)则T为f(x)的

10、一个周期(x+T必须在定义域)(2)性质:I>若T为f(x)的一个周期则nT亦为f(x)周期;无数个周期中,其中最小正的周期叫最小正周期(不是所有周期函数都有最小正周期).没有特殊说明一般指最小正周期II>由定义f(x+T)=f(x)知x系数相同可考虑周期如f(x+a)=-f(x)或或等可由f(x+2a)=-f(x+a)=f(x)T=2aIII>y=f(x)既是奇函数又是偶函数则f(x)恒为0,这样的函数有无数个(定义域不定)（3）周期的求法:I>定义II>性质:据f(x)与同周期III>图像法六、图像变换 1.平移变换(只与x,y有关,即向负轴方向移为“+

11、”,向正轴方向移为“-”) y=f(x)y=f(x)+k(或y=f(x)-k) 2.伸缩变换(只与x,y系数即x,y前面系数变化值与伸缩变化倍数互为倒数)3对称变换：一、特殊对称及轴对称变换1>关于原点,x轴,y轴,y=x,y=-x对称特征2>作图：I>y=f(x)图象可将y=f(x)图象x轴下方图沿x轴翻折到x轴上方,其余部分不变.II>y=f(x)作y=f(x)的x0的图象,再作关于y轴的对称图象 III>y=;均关于直线kx+b=0对称。3>.轴对称(1)特例:y=f(x)关于x=a对称(2)一般情况f(a+x)=f(b-x)y=f(a+x)与y=f(

12、b-x)两图象关于x+a=b-x即x=对称4>复合函数对称问题:y=f(2x)关于x=1对称,则y=f(x)关于x=2×1=2对称;y=f(x)关于x=1对称则y=f(2x)关于2x=1即x=.5>.一般对称I）轴对称为PP为中垂线二、.中心对称问题:（1）关于点(a,b)成中心对称,证明方法I>即证;II>(常用于抽象函数) 在y=f(x)上成中心对称,即证y=f(x)上任两点关于(a,b)对称（2）若f(a+x)=-f(b-x),则y=f(x)关于(,0)对称;y=f(x)关于M(a,b)对称f(a+x)+f(a-x)=2b;归纳：I）中心对称问题:f(x

13、)+f(2a-x)=2b的对称中心II）中心对称:点O为的中点4作图方法I描点法II变换作图（平移，对称，伸缩） 图 (1) 图 (2)5解题归纳：(1)对称与周期的综合:y=f(x)关于(a,0)和(b,0)对称,则y=f(x)以2(b-a)为周期；y=f(x) 关于(a,c)及x=b对称,则y=f(x)以T=4(b-a)(b>a)为周期;f(x)为奇，偶函数且关于x=a对称;则y=f(x)分别以T=4a,2a为周期。y=f(x)关于x=m和x=n对称,则y=f(x)以T=2m-n周期.归纳：对称与周期关系：有两对称，则必为周期函数，可利用三角图象记忆。（2）x系数互为相反数可考虑对称

14、,x系数相同可考虑周期.(3)已知y=f(x)在某区间上解析式求另一区间上解析式方法:方法1:利用周期将自变量转化到已知解析式内;方法2:图象法(尤其是一次,二次函数)七、零点个数的判断方法:求根；存在性定理；数形结合八.由导数图像可得原函数(1)单调性(2)极值(3)凹凸性，如,如九.三次函数与四次函数相关结论1>有唯一对称中心, 对称中心的横坐标与其导数顶点的横坐标相同.2>.以对称中心为切点的切线有且仅有一条.如y=,对称中心为(0,0),中心为切点的切线仅有x轴.3>.设f(x)的对称中心为（P在f(x)的图象上）是图象上关于P的两对称点，则由对称性可知，f(x)在A

15、,B两点处斜率相等，即；从而求点的坐标。说明:I >之根为三次多项式对称中心的横坐标; 为四次多项式对称轴.II>对圆或圆锥曲线求导可利用隐函数求导方法进行.(与大学有关知识还有中值定理（零点存在性定理）,两边夹法则,洛比达法则,二阶求导).十有关切线问题I>（）为切线上另一点。PII>P在y=f(x)外,设切点为III>切线斜率k不存在时,利用数形结合求解IV>.注意在点与过点P切线区别.十一.单调性I>(充分性)设y=f(x)在(a,b)内可导,若则f(x)为增(或减)函数(适合于求已知函数f(x)单调区间)II>(必要性)已知函数f(x)

16、在(a,b)内单调递增(或减),则.III>(充要性) 已知函数f(x) 在(a,b)内单调递增(或减),则且不恒为0(适合于求参数范围)极值点处特征I>代数特征: =0或不存在.II>几何特征:=0或不存在.(4)I>可导函数f(x)在处存在极值=0且在两侧异号.II>函数f(x) 在处存在极值=0且在两侧异号或不存在,如右图.5. =0既不是函数f(x)在处取极值的充分条件,也不是必要条件.6解题小结:I> (0,1)恒成立,则 a0 若在 0,1 恒成立则 a<0。II>端点处连续,则加“”.III>两单调区间一般不能用“”, 应单独

17、写用“和”字连接.IV>若f(x) 存在极值且=>0而不是0.V>区间端点不能为极值点,但可以为最值点十二.导函应用:1>单调性.2>极值和最值.3>在物理上应用 (如；).4>近似计算().5>不等式:I>证不等式(函数不等式证明方法1>.单调性.2>导数:步骤:构造函数F(x),利用导数求最值,据F(x)或F（x）进行证明.II>求参数a的范围:如a>f(x)恒成立(利用导数画草图求f(x)最值或当f(x)最值不易求时,有时进行分类讨论或.7>判断方程的根的情况I>可利用中值定理.II>求参数a

18、的范围:如利用导数画草图(当x或开区间时,有时利用极限找其变化情况):据数形结合a=f(x)(即a可分离出来)或构造函数F(x)=0(即a不易分离出来)利用极值符号求解(包括两曲线有交点的题型).十三.定积分的简单应用:1、求曲边梯形的面积;S=2、 物理上的应用;路程：s=vt=v(t)位移s=;路程S=.功;W=FSF(x) W=(力与位移同向，F（x）0)典型例题 1、（2013年重庆（理）若,则函数的两个零点分别位于区间( )A.和内 B.和内 C.和内 D.和内2、2013年高考四川卷（理）设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (

19、D)3、（2013年大纲版（理）已知函数的定义域为,则函数的定义域为(A) (B) (C) (D)4、（2013年高考四川卷（理）函数的图象大致是( )5、（2013年辽宁（理）已知函设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最小值为,则 (A) (B) (C) (D)6、（2013年安徽（理）若函数有极值点,且,则关于的方程的不同实根个数是(A)3 (B)4 (C) 5 (D)67、（2013年高考新课标1（理）若函数=的图像关于直线对称,则的最大值是_.8、（2013年高考湖南卷（理）设函数(1)记集合,则所对应的的零点的取值集合为_.(2)若_.(写出所有正确结论的序号)若9、（2013年安徽（理）设函数,其中,区间()求的长度(注:区间的长度定义为);()给定常数,当时,求长度的最小值.10、（2013年高考湖北卷（理）已知为常数,函数有两个极值点,则（）AB CD11、（2013年辽宁（理）设（）A有极大值,无极小值B有极小值,无极大值 C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值12、（2013