方差为什么要除以n-1

1、?我的爱与不爱样本方差为什么是除以n - 1不要bs话说这个问题从中学开始就困扰着我，可是课本上通常都是语焉不 详一笔带过，似乎是很显然的样子，搞得我一度无限怀疑自己的智商。最近仔 细看了看书，整理了一下思路，终于把它推倒了。赶紧记下来，请各位过路的 大牛指教。下面的推倒过程需要两个结论，在这里不加证明了，基本上概率书上都有。(1)对于任意两个随机变量X,Y都有E(X+Y) = E(X) + E(Y)，和的期望等于期望的和(2) V(X) = E(XA2)- E(X)A2，方差等于平方的期望减去期望的平方。(3)若X,Y 独立，有 V(X+Y) = V(X) + V(Y)。另外还有 E(aX+

2、b) = aE(X) + b, V(aX+b) = aA2*V(X)从头来说，有这么个随机变量X，我们不知道它的分布，但是我们可以获得很 多个满足同样分布的样本Xi，现在我们要从这些样本里估计这个随机分布的一 些信息，比如它的均值(所谓总体均值)和方差(所谓总体方差)。当然我们 想让我们的估计尽可能地准确，判断准确与否的一个标准(不是唯一标准)就 是看它是不是“无偏估计(unbiased estimation)，所谓无偏估计就是说这个估计的期望值(每个样本都是一个随机变量，估计值是由这样样本算出来 的，所以也是个随机变量，也有期望方差等等概念)就是真实值。比如最简单的，样本均值:.=就是一个无

3、偏估计，因为我们可以证明:匚U -:;:Eg = E(皿倍)=謬(央兀)=*出兀)=P这里第三个等号用到了结论(1)。这个样本均值比较自然而符合直观，加起来一除自然是平均值。但下面不太符 合直观的来了，样本方差的无偏估计是疣=占必兀-凡)这里的就是上面那个样本均值。这里就比较别扭了，因为感觉上应该是除以n才对，怎么会冒出一个n-1来？但是下面我们可以证明 . ：.:. 一：推倒前还需要一个东西， 的方差：卜X)= v(i兀)=占=呼下面可以开始了：这里后面那个E分成了三部分，第一部分出4胛U 龍凶U 叩的+ E邓=如+ P3)这里第二个等号利用结论(2)关于第二部分和第三部分，实际上有曰二兀耳

4、2曰刀二乂勺=诃凡勺这个只要把代入展开就可以发现，所以后面两项就只剩下了f：m，而= T(凡十曰兀护三弓十护代入起来就有 -。故得证。最后说一句，“无偏”不是必须的，比如我们就除以n了： S = (X1+X2+ +Xn)/n，可以发现当n趋于无穷时，这个S 和前面的样本方差是无限趋近 的，这样的结果实际上也是不错的。标签：样本方差，统计代入起来就有J -故得。最后说一句，“无偏”不是必须的，比如我们就除以n了： S = (X1+X2+ +Xn)/n，可以发现当n趋于无穷时，这个S 和前面的样本方差是无限趋近 的，这样的结果实际上也是不错的。标签：样本方差，统计这篇文章发布于 2009年10月1

5、0日，星期六，00:14，归类于 所谓学术。您可以跟 踪这篇文章的评论通过RSS 2.0 feed。 您可以留下评论，或者从您的站点trackback 。6条评论发表在“样本方差为什么是除以n - 1上spri ng 说：2009-10-10 于 10:20思路很清晰，赞。看出一个小错误：“推倒”应为“推导”，容易曲解。RoBa 说：2009-10-10 于 11:58其实我是故意的nimda 说：2009-10-10 于 12:15偶原来也对这个有疑问后来不知道看啥搞清楚了-crazyc ony说：2009-10-12 于 08:41您上概率课的时候没有好好听讲=,=，我记得美女老师给我们解释了为 啥是n-1 了，嘻嘻嘻madon gfly说：2009-10-13 于 14:45呵呵，如果不是故意把“推导”说成“推倒”，我也不会看完的了darks un 说：2009-10-14 于 11:21我们误差分析课