绵阳一诊数学试题及答案

1、绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分CBCBD BACCC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分111213a2147 15三、解答题：本大题共6小题，共75分 16解 ：（1） mn， m·n=(cos，1-sin)·(-cos，sin)=0，即-cos2+sin-sin2=0 3分由sin2+cos2=1，解得sin=1， ，kZ.6分（2） m-n=(2cos，1-2sin)， |m-n|=， 9分 5-4sin=3，即得， 12分17解：（1）由已知an+1=2an+1，可得a

2、n+1+1=2(an+1) （常数）3分此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列， ，于是an=2n-1 6分（2）.7分 ，两边同乘以，得两式相减得 ，12分18解：（1）设第n年的受捐贫困生的人数为an，捐资总额为bn则an=80+(n-1)a，bn=50+(n-1)×10=40+10n. 2分 当a=10时，an=10n+70， ，解得：n>8 5分即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元 6分（2）由题意：(n>1)，即 ，8分整理得 (5+n)80+(n-1)a-(4+n)(80+na)>0，即400+5na-5a+80n+n2a-n

3、a-320-4na-80n-n2a>0，化简得80-5a>0，解得a<16，11分 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人  12分19解：（1）在RtABC中，AC=ABcos60º=，. ， =9+2×3×cos120º=6. 4分（2）在ACD中，ADC=180º-A-DCA=120º-，由正弦定理可得，即. 5分在AEC中，ACE=+30º，AEC=180º-60º-(+30º)=90º-，由正弦定理可得：，即， 6

4、分 ，7分令f()=sin(120º-)cos，0º60º， f()=(sin120ºcos-cos120ºsin)cos，10分由0º60º，知60º2+60º180º， 0sin(2+60º)1， f()， ， ，即的最小值为12分20解：（1），由题意得3ax2+bx+c0的解集为x|-2x1， a<0，且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2，1于是，得b=3a，c=-6a2分 3ax2+bx+c<0的解集为x|x<-2或x>1， f(x)在(-，-2)

5、上是减函数，在-2，1上是增函数，在(1，+)上是减函数 当x=-2时f(x)取极小值，即-8a+2b-2c-1=-11，把b=3a，c=-6a，代入得-8a+6a+12a-1=-11，解得a=-1 5分（2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得，即 7分令， 列表如下：x(-，-2)-2(-2，1)1(1，+)+0-0+g(x)极大值极小值 g(x)在-3，-2是增函数，在-2，0上是减函数11分又，g(-2)=10，g(0)=0，由题意知直线y=m与曲线有两个交点，于是<m<10.13分21解：（1） ，x>0， 当a<0时，即f(x)在(0，+)上是增函数当a&

6、gt;0时， x(0，)时，f(x)在(0，)上是增函数；x(，+) 时，f(x)在(，+)上是减函数 综上所述，当a<0时f(x)的单调递增区间为(0，+)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，f(x)的单调递减区间为(，+)5分（2）当a=1时， ， .要证，即证，因，即证，令()，即证().令()，由(1)知，在(1，+)上单调递减， 即， 令()，则>0，在(1，+)上单调递增，=0，即() 综得()，即9分（3）由已知即为，x>1，即，x>1令，x>1，则当k0时，故在(1，+)上是增函数，由 g(1)=-1-k+2k=k-1>0，

7、则k>1，矛盾，舍去当k>0时，由>0解得x>ek，由<0解得1<x<ek，故在(1，ek)上是减函数，在(ek，+)上是增函数， min=g(ek)=2k-ek即讨论min=2k-ek>0(k>0)恒成立，求k的最小值令h(t)=2t-et，则，当>0，即t<ln2时，h(t)单调递增，当<0，即t>ln2时，h(t)单调递减， t=ln2时，h(t)max=h(ln2)=2ln2-2. 1<ln2<2， 0<2ln2-2<2又 h(1)=2-e<0，h(2)=4-e2<0， 不

8、存在整数k使2k-ek>0成立综上所述，不存在满足条件的整数k14分绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分CDADD BACBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分111213a2142 15三、解答题：本大题共6小题，共75分 16解 ：（1） mn， m·n=(cos，1-sin)·(-cos，sin)=0，即-cos2+sin-sin2=0 3分由sin2+cos2=1，解得sin=1， ，kZ.6分（2） m-n=(2cos，1-2sin)， |m-n|=， 9分 5-4

9、sin=3，即得， 12分17解：（1）由已知an+1=2an+，可得an+1+=2(an+) a1=1，当a1+=0，即=-1时，an+=0，此时an+不是等比等列 3分当a1+0，即-1时，（常数）此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列， ，于是 6分（2）当=1时，an=2n-1， . 7分 ，两边同乘以，得两式相减得 ，12分18解：（1）设第n年的受捐贫困生的人数为an，捐资总额为bn则an =80+(n-1)a，bn=50+(n-1)×10=40+10n. 2分 当a=10时，an=10n+70， ，解得：n>8 5分即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过

10、0.8万元 6分（2）由题意：，即 ，8分整理得 (5+n)80+(n-1)a-(4+n)(80+na)>0，即400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0，化简得80-5a>0，解得a<16，11分 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人12分19解：（1）在RtABC中，AC=ABcos60º=，. ， =9+2×3×cos120º=6.4分（2）在ACD中，ADC=180º-A-DCA=120º-，由正弦定理可得，即. 5分在AEC中，ACE=+3

11、0º，AEC=180º-60º-(+30º)=90º-，由正弦定理可得：，即， 6分 ， 7分令f()=sin(120º-)cos，0º60º， f()=(sin120ºcos-cos120ºsin)cos，10分由0º60º，知60º2+60º180º， 0sin(2+60º)1， f()， ， 12分20解：（1），由题意得3ax2+bx+c0的解集为x|-2x1， a<0，且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2，1于是，得

12、b=3a，c=-6a. 2分 3ax2+bx+c<0的解集为x|x<-2或x>1， f(x)在(-，-2)上是减函数，在-2，1上是增函数，在(1，+)上是减函数 当x=-2时f(x)取极小值，即-8a+2b-2c-1=-11，把b=3a，c=-6a代入得-8a+6a+12a-1=-11，解得a=-1.5分（2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得，即 7分令， 列表如下：x(-，-2)-2(-2，1)1(1，+)+0-0+g(x)极大值极小值 g(x)在-3，-2是增函数，在-2，0上是减函数11分又，g(-2)=10，g(0)=0，由题意，知直线y=m与曲线仅有一个交点

13、，于是m=10或0<m<. 13分21解：（1），当x(-1，0)时，即f(x)在(-1，0)上是增函数，当x(0，+)时，即f(x)在(0，+)上是减函数 f(x)的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+)3分（2）由f(x-1)+x>k变形得，整理得xlnx+x-kx+3k>0，令g(x)=xlnx+x-kx+3k，则 x>1， lnx>0若k2时，恒成立，即g(x)在(1，+)上递增， 由g(1)>0即1+2k>0解得， 又 kZ， k的最大值为2若k>2时，由lnx+2-k>0解得x>，由lnx+2-k&

14、lt;0，解得1<x<.即g(x)在(1，)上单调递减，在(，+)上单调递增 g(x)在(1，+)上有最小值g()=3k-，于是转化为3k->0(k>2)恒成立，求k的最大值令h(x)=3x-，于是 当x>2+ln3时，h(x)单调递减，当x<2+ln3时，h(x)单调递增 h(x)在x=2+ln3处取得最大值 1<ln3<2， 3<2+ln3<4， ，h(2+ln3)=3+3ln3>0，h(4)=12-e2>0，h(5)=15-e3<0， k4 k的最大取值为4 综上所述，k的最大值为4.9分（3）假设存在这样的x0满足题意，则由等价于（*）要找一个x0>0，使(*)式成立，只需找到当x>0时，函数h(x)= 的最