第三章 第13讲　二次函数综合题

1、.第13讲二次函数综合题12019·烟台如图1，抛物线yax22xc与x轴交于A4，0，B1，0两点，过点B的直线ykx分别与y轴及抛物线交于点C，D.1求直线和抛物线的表达式；2动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；3如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DMMN的值最小？假设存在，求出其最小值及点M，N的坐标；假设不存在，请说明理由图1 图2解：1把A4，0，B1，0

2、代入yax22xc，得解得抛物线的解析式为yx22x.直线ykx过点B，将B1，0代入ykx，得k，直线BD的解析式为yx.2t的值为或或.3存在由题意知，直线EF的解析式为yx，抛物线的对称轴为直线x.在抛物线上取点D的对称点D，过点D作DNEF于点N，交抛物线的对称轴于点M，图2过点N作NHDD于点H，此时，DMMNDN最小，此时，EOFNHD.设点N的坐标为a，a，即，解得a2，那么N点坐标为2，2由D2，4，N2，2可求得直线ND的解析式为yx1.当x时，y，M点坐标为，此时，DMMN的最小值为2.22019·衡阳如图，直线y2x4分别交x轴，y轴于点A，B，抛物线过A，B两

3、点，点P是线段AB上一动点，过点P作PCx轴于点C，交抛物线于点D.1假设抛物线的解析式为y2x22x4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.求点M，N的坐标；是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；2当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与AOB相似？假设存在，求出满足条件的抛物线的解析式；假设不存在，请说明理由解：1如解图1.图1y2x22x42x2，顶点M的坐标为，当x时，y2×43，那么点N的坐标为，3；不存在理由如下：MN3，设P点的坐标为m，2m4，那么Dm，2m22m4，PD2m22m42m42m24m.PDMN，当PDMN

4、时，四边形MNPD为平行四边形，即2m24m，解得m1舍去，m2，此时P点的坐标为，1PN，PNMN，平行四边形MNPD不为菱形，不存在点P，使四边形MNPD为菱形2存在如解图2，OB4，OA2，那么AB2，图2当x1时，y2x42，那么P1，2，PB.设抛物线的解析式为yax2bx4，把A2，0代入，得4a2b40，解得b2a2，抛物线的解析式为yax22a1x4.当x1时，yax22a1x4a2a242a，那么D1，2a，PD2a2a.DCOB，DPBOBA.当AOBBDP90°时，PDBBOA，即，解得a2，此时抛物线的解析式为y2x22x4；当AOBDBP90°时，

5、PDBBAO，即，解得a，此时抛物线的解析式为yx23x4.综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y2x22x4或yx23x4.32019·怀化如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc与x轴交于A1，0，B3，0两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点1求抛物线的解析式和直线AC的解析式；2请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；3试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？假设存在，恳求出符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由 备用图解：1设抛物线的解析式为yax1x3，即yax22ax3a，2a2，解得a1

6、，抛物线的解析式为yx22x3.当x0时，yx22x33，那么C0，3设直线AC的解析式为ypxq，把A1，0，C0，3代入，得解得直线AC的解析式为y3x3.2yx22x3x124，顶点D的坐标为1，4作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于点M，如解图1，那么B3，0图1 图2MBMB，MBMDMBMDDB，此时MBMD的值最小，而BD的值不变，此时BDM的周长最小由D1，4，B3，0易得直线DB的解析式为yx3.当x0时，yx33，点M的坐标为0，33存在过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如解图2.直线AC的解析式为y3x3，直线PC的解析式可设为yxb.把C0，3代入，得b3，直

7、线PC的解析式为yx3.联立解得或那么此时P点坐标为，过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为yxb，把A1，0代入，得b0，解得b，直线PC的解析式为yx.联立解得或那么此时P点坐标为，综上所述，符合条件的点P的坐标为，或，42019·扬州如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为3，0，点C的坐标为0，6点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停顿设运动时间为t秒图1 图21当t2时，线段PQ的中点坐标为_；2当CBQ与PAQ相似时，求t的值；3当t1时，抛物

8、线yx2bxc经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示那么该抛物线上是否存在点D，使MQDMKQ？假设存在，求出所有满足条件的点D的坐标；假设不存在，请说明理由解：1，22当点P与点A重合时运动停顿，且此时以点P，A，Q为顶点的图形不能构成三角形，0t3.四边形OABC是矩形，BPAQ90°.当CBQ与PAQ相似时，存在两种情况：当PAQQBC时，整理得4t215t90，解得t13舍去，t2.当PAQCBQ时，整理得t29t90，解得t.7，t不符合题意，舍去，t.综上所述，当CBQ与PAQ相似时，t的值是或.3当t1时，P1，0，Q3，2，把P1，0，Q3，代入抛物线yx2bxc中，得解得抛物线的解析式为yx23x2x2，顶点K，Q3，2，M0，2，MQx轴当点D在点M的上方时，作抛物线的对称轴，交MQ于点E，如解图1，KMKQ，KEMQ，MKEQKEMKQ，MQDMKQQKE.设DQ交y轴于点H，HMQQEK90°，KEQQMH，即，MH2，H0，4由H0，4，Q3，2，易得直线HQ的解析式为y