正弦定理和余弦定理-知识点与题型归纳

1、1高考明方向高考明方向掌握掌握正弦定理、余弦定理，正弦定理、余弦定理，并能并能解决一些简单的三角形度量问题解决一些简单的三角形度量问题备考知考情备考知考情1.1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考查的热点考查的热点2.2.常与三角恒等变换、平面向量相结合常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题出现在解答题中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问题判断等问题3.3.三种题型都有可能出现，属中低档题三种题型都有可能出现，属中低档题. .一、知识梳理一、知识梳理名师一号名师一号P62P

2、62知识点一知识点一正弦定理正弦定理2sinsinsinabcRABC( (其中其中R R为为ABCABC外接圆的半径外接圆的半径) )变形变形 1:1:2sin,2sin,2sin,aRA bRB cRC变形变形 2 2：sin,sin,sin,222abcABCRRR2变形变形 3 3：sinA sinB sinC=a b c 注意：注意：( (补充补充) )关于关于边的齐次式边的齐次式或关于或关于角的正弦的齐次式角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化。均可利用正弦定理进行边角互化。知识点二知识点二余弦定理余弦定理222222222222222222cos,22cos,2cos,co

3、s,22cos.cos.2bcaAbcabcbcAacbbacacBBaccababCabcCab注意：注意：( (补充补充) )（1 1）关于）关于边的二次式边的二次式或关于或关于角的余弦角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化。均可考虑利用余弦定理进行边角互化。（2 2）勾股定理是余弦定理的特例）勾股定理是余弦定理的特例（3 3）在）在ABC中，中，222090abcA22290abcA22290abcA用于用于判断三角形形状判断三角形形状名师一号名师一号P63P63 问题探究问题探究 问题问题 3 3判断三角形形状有什么办法？判断三角形形状有什么办法？判断三角形形状的两种途径：判断三角形

4、形状的两种途径：3一是化边为角；一是化边为角；二是化角为边，二是化角为边，并常用正弦并常用正弦( (余弦余弦) )定理实施边、角转换定理实施边、角转换知识点三知识点三三角形中常见的结论三角形中常见的结论ABCABC 的面积公式有：的面积公式有：S12ah(h 表示表示 a 边上的高边上的高)；S12absinC12acsinB12bcsinAabc4R；-知两边（或两边的积）及其夹角可求面积知两边（或两边的积）及其夹角可求面积S12r(abc)(r 为内切圆半径为内切圆半径)( (补充补充) )（1 1）ABC （2 2）在三角形中大边对大角，大角对大边在三角形中大边对大角，大角对大边（3 3

5、）任意两边之和大于第三边，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边任意两边之差小于第三边（4 4）有关三角形内角的常用三角函数关系式有关三角形内角的常用三角函数关系式sin()sin,cos()cos,tan()tansincos,cossin2222 BCABCABCABCABCA利用利用ABC 及诱导公式可得之及诱导公式可得之（5 5）在在ABCABC 中中的几个充要条件的几个充要条件: :名师一号名师一号P P6363 问题探究问题探究 问题问题 4 44sinAsinB a2Rb2R ab AB.( (补充补充) )coscosABABsinsinABABcoscosABAB若若

6、R、sinsin2k或或2k(kZ)coscos2k或或2k (kZ)45 套之套之 7-19,sinsincos.BCABCABCA 中求角 、 、 的大小。（6 6）锐角锐角ABCABC中的常用结论中的常用结论ABC为锐角三角形为锐角三角形02、 、ABC 2AB2ABsinsin()cos2ABB5coscos()2ABsin B4 4解斜三角形的类型解斜三角形的类型名师一号名师一号P63P63 问题探究问题探究 问题问题 1 1利用正、余弦定理可解决哪几类问题？利用正、余弦定理可解决哪几类问题？在解三角形时，在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：正弦定理可解决两类问题：(1)(1)已知

7、两角及任一边，求其它边或角；已知两角及任一边，求其它边或角；(2)(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角已知两边及一边的对角，求其它边或角情况情况(2)(2)中结果可能有一解、二解、无解，中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分应注意区分余弦定理可解决两类问题：余弦定理可解决两类问题：(1)(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)(2)已知三边问题已知三边问题( (补充补充) )已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角（如（如, ,a b A）用正弦定理或余弦定理均可用正弦定理或余弦定理均可名师一号名师一号P63P63 问题探究问题探究

8、 问题问题 2 2选用正、余弦定理的原则是什么？选用正、余弦定理的原则是什么？若式子中含有角的余弦或边的二次式，若式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；要考虑用余弦定理；若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到6补充补充: :一、正弦定理推导一、正弦定理推导必修必修 5 5证明思路：证明思路：转化到特殊情形转化到特殊情形-直角三角形中直角三角形中二、余弦定理推导二、余弦定理推导必修必修 5 52011 年陕西

9、高考考查余弦定理的证明年陕西高考考查余弦定理的证明18.18.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）叙述并证明余弦定理。叙述并证明余弦定理。2222cosabcbcA，2222cosbcacaB，2222coscababC.证明：（证法一） 如图，2cBC ACABACAB 222ACACABAB 222cosACACABAAB 222cosbbcAc7即2222cosabcbcA同理可证2222cosbcacaB，2222coscababC（证法二） 已知ABC中，, ,A B C所对边分别为, , ,a b c， 以A为 原 点 ，AB所 在 直 线 为x轴 建 立 直 角 坐 标

10、系 ， 则( cos , sin), ( ,0)C bA bA B c，222222222|( cos)( sin)cos2cossinaBCbAcbAbAbcAcbA222cosbcbcA，即2222cosabcbcA同理可证2222cosbcacaB，2222coscababC二、例题分析：二、例题分析：（一）（一）利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形例例 1 1 （1 1） 名师一号名师一号P62P62 对点自测对点自测 1 1在在ABC 中，中，A60，B75，a10，则，则 c 等于等于()A5 2B10 2C.10 63D5 6解析解析由由 ABC180，知，知 C45

11、，由正弦定理得：由正弦定理得：asinAcsinC.8即即1032c22.c10 63.注意注意：已知两角及任一边，求其它边或角已知两角及任一边，求其它边或角-正弦定理正弦定理, ,解唯一解唯一例例 1 1 （2 2） 名师一号名师一号P62P62 对点自测对点自测 2 2在在ABC 中，若中，若 a3，b 3，A3，则则 C 的大小为的大小为_解析解析由正弦定理可知由正弦定理可知sinBbsinAa3sin3312，所以所以 B6或或56(舍去舍去)，(因为因为 ab 即即 A3 B 所以所以 B6)所以所以 CAB362.一解一解! !9变式变式 1 1: : 在在ABC 中，若中，若 b

12、3，a 3，A3，则则 C 的大小为的大小为_答案答案: : sinB1无解无解! !变式变式 2:2:在在ABC中，已知中，已知3,2,45abB，解解ABC. .答案：答案：6260 ,75 ,2ACc或或62120 ,15 ,2ACc两解两解! !变式变式 3:3:求边求边c？注意：注意：知道两边和其中一边的对角（如知道两边和其中一边的对角（如， ，abA）解三角形）解三角形10可用可用正弦定理先求出角正弦定理先求出角B也可用也可用余弦定理先求出边余弦定理先求出边c再求解。两种方法均再求解。两种方法均须注意解的个数！须注意解的个数！可能有一解、二解、无解，应注意区分可能有一解、二解、无解

13、，应注意区分练习练习: :( (补充补充) )（20092009 山东文山东文 17 17）已知函数已知函数xxxxfsinsincos2cossin2)(2x在)0(处取最小值。处取最小值。（I）求）求的值；的值；（）在在ABC中中，cba,分别是角分别是角 A，B，C 的对边的对边，已知已知,23)(,2, 1Afba求角求角 C。【解析】【解析】（）f(x)2sinx1 coscos sinsin2xxxxxxsinsincoscossinsinsin(x+).因为因为f(x)在在 x时取最小值，时取最小值，所以所以sin(+)=-1,故故sin=1.11又又0，所以，所以2，（）由由（

14、）知知 f(x)=sin(x+2)=cosx.因为因为 f(A)=cosA=32,且且 A 为为ABC 的角的角，所以所以 A6.由正弦定理得由正弦定理得sinBsinbAa=22,又又 ba，当当4B时，时，,12746BAC当当43B时，时，.12436BAC综上所述，综上所述，12127CC或来来例例 2 2 ( (补充补充) )若满足条件若满足条件060C，aBCAB, 3的的ABC有两个，求有两个，求a的取值范围的取值范围. .12答案：答案：32a注意：注意：判断三角形解的个数常用方法：判断三角形解的个数常用方法：(1)(1)在在ABC中，已知中，已知, ,A a b。构造直角三角

15、形判断。构造直角三角形判断(2)(2)利用余弦定理判断（一元二次方程正根个数）利用余弦定理判断（一元二次方程正根个数）勿忘大边对大角判断勿忘大边对大角判断已知两边及其中一边对角，已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方法：判断三角形解的个数的方法：应用应用三角形中三角形中大边对大角大边对大角的性质的性质以以及正弦函数的值域及正弦函数的值域判断解的个数判断解的个数在在ABC 中，已知中，已知 a、b 和和 A，以点以点 C 为圆心，以边长为圆心，以边长 a 为半径画弧，为半径画弧，此弧与除去顶点此弧与除去顶点 A 的射线的射线 AB 的公共点的个数的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见

16、下表：即为三角形的个数，解的个数见下表：13图示已知图示已知 a、b、A，ABC 解的情况解的情况()A 为钝角或直角时解的情况如下：为钝角或直角时解的情况如下：()A 为锐角时，解的情况如下：为锐角时，解的情况如下：运用余弦定理转化为关于一元二次方程运用余弦定理转化为关于一元二次方程正根个数问题正根个数问题练习练习: :已知已知ABC中，若中，若22, 2ba，且三角形有两解，求角且三角形有两解，求角A的取值范围。的取值范围。14答案：答案：由条件知由条件知 bsinAa，即，即 2 2sinA2，sinA22，ab，AB，A 为锐角，为锐角，0A4.例例 3 3 （1 1） 名师一号名师一

17、号P62P62 对点自测对点自测 3 3在在ABC 中，中，a 3，b1，c2，则，则 A 等于等于()A30B45C60D75解析解析由余弦定理得：由余弦定理得：cosAb2c2a22bc14321212，0A，A60.注意注意：已知已知三三边，求其它边或角边，求其它边或角-余余弦定理弦定理例例 3 3 （2 2） 名师一号名师一号P63P63 高频考点高频考点例例 1(2)1(2)(2014新课标全国卷新课标全国卷)钝角三角形钝角三角形 ABC 的面积是的面积是12，AB1，BC 2，则，则 AC()A5B. 5C2D115解解:由题意知由题意知 SABC12ABBCsinB，即即1212

18、1 2sinB，解得，解得 sinB22，B45或或 B135.当当 B45时，时，AC2AB2BC22ABBCcosB12( 2)221 2221.此时此时 AC2AB2BC2，ABC 为直角三角形，为直角三角形，不符合题意；不符合题意；当当 B135时，时，AC2AB2BC22ABBCcosB12( 2)221 222 5，解得，解得 AC 5.符合题意故选符合题意故选 B.注意注意：已知已知两两边边夹角夹角，求其它边或角，求其它边或角-余余弦定理弦定理小结小结: :已知与待求已知与待求涉及三边和一角涉及三边和一角的关系的关系-余弦定理余弦定理例例 4 4 （1 1） 名师一号名师一号P6

19、3P63 高频考点高频考点例例 1(1)1(1)16(2014江西卷江西卷)在在ABC 中中，内角内角 A，B，C 所对的边所对的边分别是分别是 a， b， c， 若若 3a2b， 则则2sin2Bsin2Asin2A的值为的值为()A19B.13C1D.72解解: :3a2b，由正弦定理得由正弦定理得absinAsinB23.sin2Asin2B49，2sin2Bsin2Asin2A2sin2Bsin2A1294192172.例例 4 4 （2 2） 名师一号名师一号P62P62对点自测对点自测已知已知ABC 三边满足三边满足 a2b2c2 3ab，则此三角形的最大内角为则此三角形的最大内角

20、为_解析解析a2b2c2 3ab，17cosCa2b2c22ab32，故故 C150为三角形的最大内角为三角形的最大内角注意：注意：（1 1）关于关于边的齐次式边的齐次式或关于或关于角的正弦的齐次式角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化。均可利用正弦定理进行边角互化。（2）关于关于边的二次式边的二次式或关于或关于角的余弦角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化均可考虑利用余弦定理进行边角互化. .注意等价转换注意等价转换!练习练习: :(2010天津理天津理)在在ABC 中中，内角内角 A，B，C 的对边分的对边分别是别是 a，b，c，若若 a2b2 3bc，sinC2 3sinB，则则

21、 A()A30B60C120D150解解:由余弦定理得：由余弦定理得：cosAb2c2a22bc，由题知由题知 b2a2 3bc，c22 3bc，则，则 cosA32，又又 A(0，180)，A30，故选，故选 A.注意：注意：18已知三边比例关系已知三边比例关系-余弦定理余弦定理（二）三角形的面积（二）三角形的面积例例 1 1 （1 1） 名师一号名师一号P62P62 对点自测对点自测 6 6(2014福建卷福建卷)在在ABC 中，中，A60，AC4，BC2 3，则，则ABC 的面积等于的面积等于_解析解析由题意及余弦定理得由题意及余弦定理得cosAb2c2a22bcc2161224c12，

22、解得，解得 c2.所以所以 S12bcsinA1242sin602 3.故答案为故答案为 2 3.注意：注意：知道两边和其中一边的对角（如知道两边和其中一边的对角（如， ，abA）解三角形可）解三角形可用用正弦定理先求出角正弦定理先求出角B也可用也可用余弦定理先求出边余弦定理先求出边c再求再求解。两种方法均解。两种方法均须注意解的个数！须注意解的个数！本例用余弦求边更快捷本例用余弦求边更快捷. .例例 1 1 （2 2） 名师一号名师一号P63P63 高频考点高频考点例例 3 3(2014浙江卷浙江卷)在在ABC 中中，内角内角 A，B，C 所对的边分别所对的边分别为为 a，b，c.已知已知

23、ab，c 3，cos2Acos2B 3sinAcosA19 3sinBcosB.(1)求角求角 C 的大小；的大小；(2)若若 sinA45，求，求ABC 的面积的面积解解:(1)由题意得由题意得1cos2A21cos2B232sin2A32sin2B，即即32sin2A12cos2A32sin2B12cos2B，sin2A6 sin2B6 .由由 ab，得得 AB，又又 AB(0，)得得 2A62B6，即即 AB23，所以所以 C3.(2)由由 c 3，sinA45，asinAcsinC，得得 a85.由由 ac，得得 AC，从而从而 cosA35，故故 sinBsin(AC)sinAcos

24、CcosAsinC43 310.20所以所以ABC 的面积为的面积为 S12acsinB8 31825.【规律方法】【规律方法】三角形面积公式的应用原则三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式对于面积公式 S12absinC12acsinB12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化（三）三角形形状的判定（三）三角形形状的判定例例 1 1 （1 1） 名师一号名师一号P63P63 高频考点高频考点例例 2 2在在ABC 中

25、中 a，b，c 分别为内角分别为内角 A，B，C 的对边的对边，且且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求求 A 的大小；的大小；(2)若若 sinBsinC1，试判断，试判断ABC 的形状的形状解解:(1)由已知，根据正弦定理得由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即，即 a2b2c2bc.由余弦定理得由余弦定理得 a2b2c22bccosA，故故 cosA12，0A180，A120.(2)由由(1)得得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC34.21又又 sinBsinC1，解得，解得 sinBsinC12.0B60，0C0 且 sinCAD0

26、，则由正余弦的关系可得sinBAD 1cos2BAD3 2114，且 sinCAD 1cos2CAD217，由正弦的和差角公式可得sinBACsin(BADCAD)sinBADcosCADsinCADcosBAD3 21142 77217714 3 3731432，再由ABC 的正弦定理可得ACsinCBABCsinBACBC7216323.312、 45 套之套之 7-19（2）-方程的思想方程的思想课后作业课后作业一、一、计时双基练计时双基练 P251P251 基础基础 1-61-6；课本课本 P63P63 变式思考变式思考 1 1、3 3补充练习补充练习 1 1、2 2、3 3二、二、计

27、时双基练计时双基练 P251P251 基础基础 7-117-11；培优；培优 1-41-4课本课本 P63P63 变式思考变式思考 2 2三、课本三、课本 P64P64 典例、典例、对应训练对应训练补充练习补充练习 4 4、5 5预习预习第七节第七节补充练习补充练习: :1 1、 （20092009 山东文山东文 17 17）已知函数已知函数xxxxfsinsincos2cossin2)(2x在)0(处取最小值。处取最小值。（I）求）求的值；的值；（）在在ABC中中，cba,分别是角分别是角 A，B，C 的对边的对边，32已知已知,23)(,2, 1Afba求角求角 C。【解析】【解析】（）f

28、(x)2sinx1 coscos sinsin2xxxxxxsinsincoscossinsinsin(x+).因为因为f(x)在在 x时取最小值，时取最小值，所以所以sin(+)=-1,故故sin=1.又又0，所以，所以2，（）由由（）知知 f(x)=sin(x+2)=cosx.因为因为 f(A)=cosA=32,且且 A 为为ABC 的角的角，所以所以 A6.由正弦定理得由正弦定理得sinBsinbAa=22,又又 ba，当当4B时，时，,12746BAC33当当43B时，时，.12436BAC综上所述，综上所述，12127CC或2 2、 已知已知ABC中，若中，若22, 2ba，且三角形

29、有两解，求角且三角形有两解，求角A的取值范围。的取值范围。答案：答案：由条件知由条件知 bsinAa，即，即 2 2sinA2，sinA22，ab，AB，A 为锐角，为锐角，0A4.3、已知已知ABC 中，中，A60，BC=2 3，则则其其外接圆外接圆面积面积为为_答案：答案：4注意注意：勿忘勿忘正弦定理中正弦定理中三角形三角形各边与对角正弦的比为各边与对角正弦的比为外接圆外接圆直直径径sinsinin2sabcABRC（R为三角形外接圆半径为三角形外接圆半径）4 4、在四边形在四边形 ABCD 中，中，BD90，A60，34AB4，AD5，则，则 AC 的长为的长为()A. 61B2 7C.

30、 53D.5 22解析解析如图，连结如图，连结 AC，设，设BAC，则，则 ACcos4，ACcos(60)5，两式相除得，两式相除得，cos60cos54，展开解得，展开解得，tan32为锐角，为锐角，cos27AC4cos2 7解法二解法二： （补充）（补充）ABD 中中，由余弦定理得，由余弦定理得21BD 由由BD90知知 AC 为为ABD 的外接圆直径的外接圆直径由正弦定理得由正弦定理得212 7sinsin620BDACRA5 5、已知向量已知向量(sin, 1)2Am ，2,cos()nBC，, ,A B C为为锐角锐角ABC的内角，其对应边为的内角，其对应边为a，b，c. .（）当）当m n 取得最大值时，求角取得最大值时，求角A的大小；的大小；35（）在）在（）成立的条