第九章 第4节

1、.第4节直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步理解用代数方法处理几何问题的思想知 识 梳 理1直线与圆的位置关系设圆C：xa2yb2r2，直线l：AxByC0，圆心Ca，b到直线l的间隔 为d，由消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，其判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d<r>0相切dr0相离d>r<02.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，那么两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切

2、内含几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210常用结论与微点提醒1关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距圆心到直线的间隔 、弦长的一半及半径构成一个直角三角形2两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，假设两圆相交，那么有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：D1D2xE1E2yF1F20.诊 断 自 测1考虑辨析在括号内打“或“×1“k1是“直线xyk0与圆x2y21相交的必要不充分条件2假如两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切

3、3假如两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交4从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程5过圆O：x2y2r2上一点Px0，y0的圆的切线方程是x0xy0yr2.解析1“k1是“直线xyk0与圆x2y21相交的充分不必要条件2除外切外，还有可能内切3两圆还可能内切或内含答案1×2×3×452假设直线xy10与圆xa2y22有公共点，那么实数a的取值范围是A3，1 B1，3C3，1 D，31，解析由题意可得，圆的圆心为a，0，半径为，即|a1|2，解得3a1.答案C3直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，那么b的值是A2

4、或12 B2或12C2或12 D2或12解析圆的标准方程为x12y121，圆心1，1到直线3x4yb的间隔 为1，解得b2或b12，应选D.答案D42019·嘉兴月考在坐标平面内，与点A1，2间隔 为1，且与点B3，1的间隔 为2的直线共有_条解析分别以A，B为圆心，以1，2为半径作圆，两圆的公切线有两条答案25假设直线3x4y50与圆x2y2r2r>0相交于A，B两点，且AOB120°O为坐标原点，那么r_解析如图，过O点作ODAB于D点，在RtDOB中，DOB60°，DBO30°，又|OD|1，r2|OD|2.答案26必修2P133A9改编圆x

5、2y240与圆x2y24x4y120的公共弦所在直线的方程为_；公共弦长为_解析由相减得xy20，即为两圆公共弦所在的直线方程又圆x2y24的圆心到直线xy20的间隔 为.由勾股定理得弦长的一半为，所以，所求弦长为2.答案xy202考点一直线与圆的位置关系【例1】 1点Ma，b在圆O：x2y21外，那么直线axby1与圆O的位置关系是A相切 B相交C相离 D不确定2一题多解圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是_解析1因为Ma，b在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的间隔 d1，故直线与圆O相交. 2法一将直线方程代入圆方程，得k21x24kx30，直线与圆

6、没有公共点的充要条件是16k212k210，解得k.法二圆心0，0到直线ykx2的间隔 d，直线与圆没有公共点的充要条件是d1，即1，解得k.答案1B2k规律方法判断直线与圆的位置关系的常见方法1几何法：利用d与r的关系2代数法：联立方程之后利用判断3点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题【训练1】 1“a3是“直线yx4与圆xa2y328相切的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2直线yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，那么m的取值范围是A，2 B，3C.

7、 D.解析1假设直线yx4与圆xa2y328相切，那么有2，即|a1|4，所以a3或5.但当a3时，直线yx4与圆xa2y328一定相切，故“a3是“直线yx4与圆xa2y328相切的充分不必要条件2当直线经过点0，1时，直线与圆有两个不同的交点，此时m1；当直线与圆相切时有圆心到直线的间隔 d1，解得m切点在第一象限，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，那么1m.答案1A2D考点二圆的切线、弦长问题【例2】 1过点3，1作圆x22y224的弦，其中最短弦的长为_2过点P2，4引圆x12y121的切线，那么切线方程为_解析1设P3，1，圆心C2，2，那么|PC|，半径r2，由题意知最

8、短的弦过P3，1且与PC垂直，所以最短弦长为22.2当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的间隔 等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y4kx2，即kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的间隔 等于半径，即d1，解得k，所求切线方程为xy42×0，即4x3y40.综上，切线方程为x2或4x3y40.答案122x2或4x3y40规律方法1弦长的两种求法代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长几何方法：假设弦心距为d，圆的半径长为r，那么弦长l2.2圆的切线方

9、程的两种求法代数法：设切线方程为yy0kxx0，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.几何法：设切线方程为yy0kxx0，利用点到直线的间隔 公式表示出圆心到切线的间隔 d，然后令dr，进而求出k.【训练2】 12019·全国卷设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，假设|AB|2，那么圆C的面积为_2过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P，Q，那么线段PQ的长为_解析1圆C：x2y22ay20，即C：x2ya2a22，圆心为C0，a，半径r，C到直线yx2a的间隔 为d.又由|AB|2，得a22，解得a2

10、2，所以圆的面积为a224.2将圆的方程化为标准方程为x32y425，那么圆心为3，4，半径长为.由题意可设切线的方程为ykx，那么圆心3，4到直线ykx的间隔 等于半径长，即，解得k或k，那么切线的方程为yx或yx.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为4，2，此即为P，Q的坐标，由两点间的间隔 公式得|PQ|4.答案1424考点三圆与圆的位置关系【例3】 2019·浙江五校联考两圆x2y22x6y10，x2y210x12ym0.1m取何值时两圆外切？2m取何值时两圆内切？3当m45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解因为两圆的标准方程分别为x12y3211，x52

11、y6261m，所以两圆的圆心分别为1，3，5，6，半径分别为，1当两圆外切时，由，得m2510.2当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的间隔 5，所以5，解得m2510.3由x2y22x6y1x2y210x12y450，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230.故两圆的公共弦的长为22.规律方法1判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的间隔 与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法2假设两圆相交，那么两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到【训练3】 12019·山东卷圆M：x2y22ay0a0截直线xy0所得线段的长度是2，那么圆M与圆N：

12、x12y121的位置关系是A内切 B相交C外切 D相离22019·宁波调研圆C1：xa2y224与圆C2：xb2y221 相外切，那么ab的最大值为A. B. C. D2解析1圆M：x2ya2a2，圆心坐标为M0，a，半径r1为a，圆心M到直线xy0的间隔 d，由几何知识得2a2，解得a2.M0，2，r12.又圆N的圆心坐标N1，1，半径r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，应选B.2由圆C1与圆C2相外切，可得213，即ab29，根据根本不等式可知ab，当且仅当ab时等号成立答案1B2C根底稳固题组一、选择题12019·温州模拟假设

13、直线yxb与圆x2y21有公共点，那么实数b的取值范围是A1，1 B0，1C0， D，解析由题意可知圆的圆心坐标为0，0，半径为1，因为直线yxb与圆x2y21有公共点，所以1，解得b.答案D2圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，那么实数a的值是A2 B4 C6 D8解析将圆的方程化为标准方程为x12y122a，所以圆心为1，1，半径r，圆心到直线xy20的间隔 d，故r2d24，即2a24，所以a4，应选B.答案B32019·金华调研过点3，1作圆x12y2r2的切线有且只有一条，那么该切线的方程为A2xy50 B2xy70Cx2y50 Dx2y70解析过点3，1

14、作圆x12y2r2的切线有且只有一条，点3，1在圆x12y2r2上，圆心与切点连线的斜率k，切线的斜率为2，那么圆的切线方程为y12x3，即2xy70.应选B.答案B4圆x22xy24y30上到直线xy10的间隔 为的点共有A1个 B2个 C3个 D4个解析圆的方程化为x12y228，圆心1，2到直线间隔 d，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点答案C52019·温州调研过点P1，2作圆C：x12y21的两条切线，切点分别为A，B，那么AB所在直线的方程为Ay ByCy Dy解析圆x12y21的圆心为1，0，半径为1，以|PC|2为直径的圆的方程为x12y121，将两圆的方程相减

15、得AB所在直线的方程为2y10，即y. 应选B.答案B62019·浙东北教联一模设直线l：3x4ya0，圆C：x22y22，假设在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得PMQ90°，那么a的取值范围是A18，6B65，65C16，4D65，65解析设直线l：3x4ya0上任意一点M1.当M1Q，M1P分别与圆相切时，PM1Q最大，随着M1的运动，当CM1与直线l垂直时，PM1Q取到最大值，此时四边形CPM1Q为正方形，CM12.利用点到直线的间隔 公式得2，解得a16或a4，只需PM1Q90°，即CM12，即可存在点M满足题意，所以a的取值范围是16，4

16、答案C二、填空题72019·全国卷 已知直线l：xy60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，那么|CD|_解析设Ax1，y1，Bx2，y2，由得y23y60，解得y1，y22，A3，B0，2过A，B作l的垂线方程分别为yx3，y2x，令y0，得xC2，xD2，|CD|224.答案482019·宁波调研点P在圆C1：x2y28x4y110上，点Q在圆C2：x2y24x2y10上，那么|PQ|的最小值是_；|PQ|的最大值是_解析把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得x42y229，x22y124.圆C1的圆心坐标是4，2，半径长是3；

17、圆C2的圆心坐标是2，1，半径长是2.圆心距d3.所以，|PQ|的最小值是35，|PQ|的最大值为35.答案35359由直线yx1上的一点向圆x32y21引切线，那么切线长的最小值为_. 解析设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，那么|PQ|即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|.要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线yx1上的点到圆心M的最小间隔 设圆心到直线yx1的间隔 为d，那么d2.所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|.答案102019·浙江三市联考圆C：xa2yb22，圆心C在曲线yx1，2上，那么ab_，直线l：x2y0被圆C所截得的弦长的取值

18、范围是_解析由题意得b，且a1，2，所以ab1.圆心C到直线l的间隔 d，所以直线l被圆C所截得的弦长t22，当a1，2时，a2，3，所以t.答案1三、解答题11一题多解直线l：ykx1，圆C：x12y1212.1试证明：不管k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；2求直线l被圆C截得的最短弦长法一1证明由消去y得k21x224kx70，因为24k228k21>0，所以不管k为何实数，直线l和圆C总有两个交点2解设直线与圆交于Ax1，y1，Bx2，y2两点，那么直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22 ，令t，那么tk24kt30，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164tt30，

19、解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2.法二1证明因为不管k为何实数，直线l总过点P0，1，而|PC|<2R，所以点P0，1在圆C的内部，即不管k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不管k为何实数，直线l和圆C总有两个交点2解由平面几何知识知过圆内定点P0，1的弦，只有与PCC为圆心垂直时才最短，而此时点P0，1为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.12过点A0，1且斜率为k的直线l与圆C：x22y321交于M，N两点1求k的取值范围；2假设·12，其中O为坐标原点，求|MN|.解1易知圆心坐标为2，3，半径r

20、1，由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.2设Mx1，y1，Nx2，y2将ykx1代入方程x22y321，整理得1k2x241kx70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y21k2x1x2kx1x218.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.才能提升题组13一条光线从点2，3射出，经y轴反射后与圆x32y221相切，那么反射光线所在直线的斜率为A或 B或C或 D或解析由，得点2，3关于y轴的对称点为2，3，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点2，3

21、设反射光线所在直线的斜率为k，那么反射光线所在直线的方程为y3kx2，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，那么有d1，解得k或k，应选D.答案D14两圆x2y22axa240 和x2y24by14b20恰有三条公切线，假设aR，bR且ab0，那么的最小值为A1 B3 C. D.解析x2y22axa240，即xa2y24，x2y24by14b20，即x2y2b21.依题意可得，两圆外切，那么两圆圆心间隔 等于两圆的半径之和，那么123，即a24b29，所以1，当且仅当，即a±b时取等号答案A152019·绍兴检测在平面直角坐标系xOy中，点A0，3，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上，假设圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，那么圆心C的横坐标的取值范围是_解析设点Mx，y，因为|MA|2|MO|，所以2，整理得x2y124，所以点M的轨迹是以P0，1为圆心，半径为2的圆设圆C的圆心Ct，2t4由题意可得圆C与圆P至少有一个公共点，所以13，解得t.所以圆心C的横坐标的取值范围是.答案162