微积分课件83正项级数

1、§8.3 正项级数的审敛法(掌握)May 4, 2015§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 20151 / 53啥叫正项级数?定义 1 若 un > 0, (n = 1, 2, . . .), 则称级数 P un 为正项级数.注, 正项级数的部分和序列单调不减, 即0 6 S1 6 S2 6 S3 6 S4 6 · · ·如果不把那些 0 项写出来, 那么部分和序列严格单调递增.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 20152 / 53正项级数都有哪些研究内容?敛散性, 求和.对于求和, 需要用到函数项

2、级数的知识, 受课时限制, 课堂上无法涉及.本节专讲正项级数的敛散性的判别.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 20153 / 53本录理论 础定理 8.1.原理性命题定理 8.2.定理 8.3.正项级数收敛的充分必要条件 (掌握?)比较判别法 (掌握?)比较判别法的极限形式 (掌握?)工具性命题 (适用范围依次递减, 使用方便程度依次递增)定理 8.3. 极限判别法 (掌握)定理 8.4.定理 8.5.比值判别法 (掌握)根值判别法 (掌握)§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 20154 / 53本节内容提炼本节中心思想: 正项级数的审敛法.P

3、正项级数u 收敛的唯一决定因素是:n其通项 un 趋于零的速度要足够快!正项级数是否收敛的基本方法是比较:(Th 8.2 & Th 8.3)欲证 P un 收敛: 找一收敛级数 P vn, 使得 un6vnPP欲证u 发散: 找一发散级数v , 使得 u >vnnnnPP我们称u 为 “待验级数”, 称v 为 “级数”nnP和 P qn1np(Th 8.3, Th 8.4 & Th8.5 ) 两个常用的级数:§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 20155 / 53正项级数收敛的决定因素是其通于零的速度要 “足够快”,因此,正项级数敛散性即其通于 0

4、 的速度.1 + 1 + 1 + 1 + 1 + · · · = +1 + 2 + 3 + 4 + · · · = +1 + · · · = +23452111111111111 + · · · =22324252611111 + · · · = 221222324§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 20156 / 53定理 8.1 (正项级数收敛的充分必要条件)正项级数收敛 其部分和序列有 (上) 界.P证设u为正项级数

5、, Sn 为其部分和序列.n0 为 Sn 的一个下界, 故对于 Sn , “有界” 与 “有上界” 同义.P()u 收敛即 Sn 收敛. 由 P40 的性质 2 知, Sn 有界.n() 因 Sn 单调不减, 由 P58 的单调有界准则知, 若 Sn 有上界,则 Sn 收敛, 即 P un 收敛.推论 正项级数 P un 发散, 当且仅当 P un = +.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 20157 / 53定理 8.2 (比较判别法) P un,P vn为正项级数, un 6 vn (n > 1).则,(1) P un 散则 P vn 散;(2) P vn

6、敛则 P un 敛.证明PP散, 即u = +(1)u.nn而 vn > un (n > 1),故 P vn > P un = +, 即 P vn 散.PP(2) 若v 敛, 则v < .nn而 un 6 vn (n > 1).则 P un 6 P vn < , 即P un 敛.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 20158 / 53定理 8.2 (比较判别法) P un,P vn为正项级数, un 6 vn (n > 1). 则,(1) P un 散则 P vn 散;(2) P vn 敛则 P un 敛.使用说明P级数) P

7、un,级数) P un,欲证v(待验级数) 发散, 需找一发散级数 (n使得 un 6 vnP欲证v (待验级数) 收敛, 需找一收敛级数 (n使得 un > vn做题步骤: 先敛散性, 再找级数§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 20159 / 53例 2 (重要!) 证明 p-级数 = 1 + 1 1+ · · ·p2p3p(1) 当 p 6 1 时, p 发散; (2) 当 p > 1 时, p 收敛.(1) 证法一 当 p 6 1 时,1111(待验级数)p= 1 + 2p + 3p + 4p + 5p + ·

8、 · ·1111 1 +>级数)+ · · ·(21314151= ,这表示, 当p 6 1 时, p发散.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201510 / 53例 2 (1) 当 p 6 1 时, = 1 + 1 1+ · · · 发散p2p3p 1 (1) 证法二 当 p 6 0 时, lim=lim np 6= 0, 此时 = . 发散pn npn1下设 0 < p 6 1.函数 f (x ) =.xp1f (x ) 在区间 n, n + 1 上的最大值为, 因此,np

9、Zn+1 dxxp 1 6 np ,n > 1.n所以, ZZ+1XXn+1 dxxp+ dxxp1p1npx>= +.p =1 pn1n=1n=1这表示, 当p 6 1 时, p 发散. 级数是§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201511 / 53y = 1/xy = 1/xp (0 < p 1)Z n+1Z + +x1pXX111dx =dx = +n=1 nn=1pxpxp1 p1n111 1 3p2p 1 1 14p5p6pO1234567§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201512 / 53例 2 (2) 当

10、p > 1 时, = 1 + 1 1+ · · · 收敛.p2p3p1(2) 证明函数 f (x ) =, p > 1.xp1f (x ) 在区间 n, n + 1 上的最小值为因此,(n + 1)p ,Zn+1 dxxp 1 (n + 1)p ,>n > 1.n所以,ZZ X+1n+1 dxxp+ dxxp1pp 6 1 += 1 += 1 +=.p 1(1 p)xp1n1n=1部分和序列有界, 因此 p 收敛. 级数是§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201513 / 53y = 1/xy = 1/xp (p

11、> 1)Z n+1Z +XX111pp 1 1 +dx = 1 +dx =n=1 npxpxp1nn=1112p 1 3p 1 1 14p5p6pO1234567§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201514 / 53例 2 总结 (牢记) 1 p 越大,趋于 0 的速度越快, 收敛的可能性越大np 1 p 越小,趋于 0 的速度越慢, 收敛的可能性越小npp = 1 是收敛与发散的 “分水岭”ZX+1np1与有完全相同的敛散性:xp dx1n=1§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201515 / 53p 6 1p > 1X 1

12、np发散收敛Z + 1 xp dx1发散收敛y = 1/xy = 1/xp (0 < p 1)Z n+1Z + +x1pXX111dx =dx = +n=1 nn=1pxpxp1 p1n111 1 3p2p 1 1 14p5p6pO1234567§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201516 / 53y = 1/xy = 1/xp (p > 1)Z n+1Z +XX111pp 1 1 +dx = 1 +dx =n=1 npxpxp1nn=1112p 1 3p 1 1 14p5p6pO1234567§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4,

13、201517 / 53注 基本上, 一切级数审敛法皆使用 p-级数, 或几何级数作为数, 因此这些级数都可看作 p-级数或几何级数的变体.级§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201518 / 53P 1例 1 讨论级数的敛散性.n(n+1)(n+2)P 1 1 , 1 分析而收敛, 故原级数收敛.级,n3n3n(n+1)(n+2)P 1 数应该取.n3解 (1) 初步级数收敛. (2) 使用比较判别法, 要找一收敛的级数, 且级数要比待验级数大.1(3) 由不等式1<,n3n(n + 1)(n + 2)收敛, 可得所给级数收敛.P 1 及n3§8.3

14、正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201519 / 532例 0.1 讨论级数 Pn n + 2的敛散性.(n n)(n + 1)(n + 2)(n2 + 4)Pn2n+2 1 , 1 分析级数为.(n n)(n+1)(n+2)(n2+4)n3n3解 由不等式n2 n + 2(n n)(n + 1)(n + 2)(n2 + 4)n2 + n2 + n2n(n 1)(n + 0)(n + 0)(n2 + 0)<3n23n2.5<n · n4=P 及3 收敛, 可得所给级数收敛.n2.5§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201520 / 53

15、2Pn n + 2例 0.2 讨论级数的敛散性.(n n)(n + 1)(n + 2)P2 1 ,n n+21分析级数为.n1n(n n)(n+1)(n+2)解 (1) 初步级数发散. (2) 使用比较判别法, 要找一发散的级数, 且级数要比待验级数小. (3) 由不等式n2 n + 2(n n)(n + 1)(n + 2)1 21 21 n2n + n (n 2) 2n322>>(n 0)(n + n)(n + n)12n=P 1 及发散, 可得所给级数发散.2n§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201521 / 53定理 8.3 (比较判别法的极限形式

16、)PP vun和都是正项级数, lim= k, 则unnn vnPP(1) 当 0 < k < + 时,u 和v 有相同的敛散性;nn(2) 当 k = 0 时, 若 P vn 敛, 则P un敛;(3) 当 k = + 时, 若 P vn 散, 则 P un 散.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201522 / 53定理 8.3 解读unlim= k (0, +): un 与 vn 是等阶无穷小1n vn它们趋于 0 的 “速度” 一样快, 故相应级数有相同的敛散性unvnlim= 0 或 lim= +:2n vnn unun 是 vn 的高阶无穷小,

17、 vn 是 un 的低阶无穷小un 趋于 0 的 “速度” 比 vn 快, vn 趋于 0 的 “速度” 比 un 慢.故:若 P un 散则 P vn 散;若 P vn 敛则u 敛.Pn若 P un 敛, 无法P vn的敛散性 (不知道 vn 比 un 慢多少);的敛散性 (不知道 un 比 vn 快多少).若 P vn 散, 无法P un§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201523 / 53定理 8.3 (1) lim= k (0, +), 则 P u 和 P v 有相同的敛散性;unnnn vnunk ,证明 因为 lim= k (0, +), 由数列极限的定

18、义知, 对于 =n vn2存在自然数 N, 当 n > N时,uk,n k < = v2n即,k3kvn < un <vn.22P vnP un3k vn若若若若敛, 由 un <散, 由 un >知敛;2P vn知 P un 散;k vn2P unPk vn敛, 由 un >知v 敛;n2P unP vn3k vn散, 由 un <知散.2§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201524 / 53定理 8.3 (2) lim= 0, 若 P v 敛, 则 P u 敛.unnnn vnun证明 因为 lim= 0, 由数列

19、极限的定义知, 对于 = 1, 存在自然n vn数 N, 当 n > N 时,un 0 < 1, vn即,un < vn.若 P vn 敛,P un则敛.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201525 / 53unP vP u定理 8.3 (3) lim= +, 若散, 则散.nnn vnun证明 因为 lim= +, 由数列极限的定义知, 对于 = 1, 存在自n vn然数 N, 当 n > N 时,unvn> 1,即vn < un,P vn散, 则 P un 散.故若§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 2

20、01526 / 53P 1例 1讨论级数的敛散性.n(n+1)(n+2)解由 1n(n+1)(n+2) 1 n3limn= lim= 1n n(n + 1)(n + 2)n3P 1 及收敛知, 所给级数收敛.n3§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201527 / 532例 0.1 讨论级数 Pn n + 2的敛散性.(n n)(n + 1)(n + 2)(n2 + 4)解由n2n+2 (n n)(n+1)(n+2)(n2+4)limn 1 n3(n2 n + 2) · n3=limn (n 2n)(n + 1)(n + 2)(n + 4)1 2 1 +nn2

21、=limn1124 (1 )(1 + )(1 + )(1 +)1n2nnn=P 1 及收敛知, 所给级数收敛.n3§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201528 / 53 2Pn n + 2例 0.2 讨论级数的敛散性.(n n)(n + 1)(n + 2)解由n2n+2 (n n)(n+1)(n+2)(n2+4)limn 1 n3(n2 n + 2) · n3=limn (n 2n)(n + 1)(n + 2)(n + 4)1 2 1 +nn2=limn1124 (1 )(1 + )(1 + )(1 +)1n2nnn=P 1 及发散知, 所给级数发散.2n

22、§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201529 / 53例 0.3. 不等阶的无穷小 与 级数敛散性的关系PP 11 1 1 与皆收敛:是的高阶无穷小n2n3n3n2PP 11 1 1 与皆发散:是的高阶无穷小n0.1n0.2n0.2n0.1PP 1 n21n1 1n散,敛:是的高阶无穷小n2§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201530 / 53定理 8.3 (将定理 8.3 与 p-级数相结合) 极限判别法PP 1 对于级数u(待验级数), 如果存在 p, k 满足 (级数)nnp= k (0, +), 则 P u 与P lim npu1

23、 有相同的敛散性.nnnpnlim npun = 0, 则n如果Pp > 1, 则un 收敛P un如果 p 6 1, 无法的敛散性lim npun = +, 则n如果Pp 6 1, 则un 发散P un如果 p > 1, 无法的敛散性§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201531 / 53 P与 Pnln n+1例 3 判别级数的敛散性.n2+n1n分析 1 Pnn故敛.(1),n2+n1n1.5n2+n1P(2) ln n+1 = ln(1 + ) 故ln散.11 ,n+1nnnn解(1) 由 limn(2) 由 limnn n2+n1 11 1 n1

24、.5 ·= 1 知所给级数收敛.= limn1+ nn2n1 ln n+11= lim n ·= 1 知所给级数发散.nnn§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201532 / 53 P例 4 判别级数1 cos的敛散性.n212分析 1 cos n = 2 sin· n2 , 故收敛.2n22 2222解由 lim n1 cos= lim 2n sin=知所给级数收敛.n2nnn§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201533 / 53定理 8.4 (比值判别法) P un 为正项级数, limun+1 un= k

25、, 则nP(1) 当 0 6 k < 1 时, 级数u收敛;n(2) 当 k > 1 时, 级数 P un 发散;(3) 当 k = 1 时, 不能判定敛散性.P级数为k (|k| > 1 时发散, |k| < 1注 1n时收敛)注 2 该判别法需要用到级数中相邻的两项.注 3 k = 1 时, 判别法失效. §8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201534 / 53= k 0, 1) 时, P un 收敛.un+1 un定理 8.4 (1) 当 limnun+1 un1k ,证明 因为 lim= k 0, 1), 故对于 =存在自然数 N, 当

26、2nn > N 时,u1 k ,n+1 k< = un 21+k un,1+k < 1,于是记 q =un+1 <22q 是一个与 n 无关且严格小于 1 的常数, 这是此性质成立的关键则 un+1 < qun (n > N). 于是,2i< quN+i1 < q uN+i2 < · · · < q uN,uN+i§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201535 / 53= k 0, 1) 时, P un 收敛.un+1 un定理 8.4 (1) 当 limn所以,P(u1 + u

27、2 + · · · + uN ) + (uN+1 + uN+2 + · · · )SN + (quN + q2uN + q3uN + q4uN + · · · )un=n=1<=SN + uN (q + q2 + q3 + q4 + · · · )qSN + uN · 1 qP un所以收敛.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201536 / 53= k > 1 时, P un 发散.un+1 un定理 8.4 (2) 当 li

28、mnun+1 unk1 ,证明 因为 lim= k > 1, 故对于 =存在自然数 N, 当2nn > N 时,uk 1 ,n+1 k< = un2 1+k 21+k un.于是,记 q =un+1 >> 1,2q 是一个与 n 无关且严格大于 1 的常数, 这是此性质成立的关键则 un+1 > qun (n > N). 于是,2i> quN+i1 > q uN+i2 > · · · > q uN,uN+i§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201537 / 53= k &g

29、t; 1 时, P un 发散.un+1 un定理 8.4 (2) 当 limn所以,P(u1 + u2 + · · · + uN ) + (uN+1 + uN+2 + · · · )SN + (quN + q2uN + q3uN + q4uN + · · · )SN + uN (q + q2 + q3 + q4 + · · · )un=n=1>=发散.+(q > 1)P un所以§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201538 / 53u

30、n+1 un定理 8.4 (3) 当 limn= 1 时, 不能判定敛散性.例证PP1n1 ,un+1 un发散, u =lim= 1nnn 1,1un+1 un收敛, u =limn= 1nn2n2§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201539 / 53P为正项级数, lim n un = k.定理 8.5 (根值判别法)u则nn0 6 k < 1 时, 级数收敛;(1) 当(2) 当 k > 1 时, 级数发散;(3) 当 k = 1 时, 不能判定级数的敛散性.P级数为k (|k| > 1 时发散, |k| < 1 时收敛)注 1n注 2

31、 该判别法只使用级数一行.(与比值判别法相比, 使用更方便, 但适用范围相对较小.)注 3 k = 1 时, 判别法失效.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201540 / 53定理 8.5 (1) 当 lim n un = k 0, 1) 时, P un 收敛.n证明 因为 lim n un = k 0, 1), 故对于 =12 k ,存在自然数 N, 当nn > N 时,|n u k| < =1 k ,n2于是 n un <1+k < 1.1+k , q是严格小于 1 的常数 则 un < qn记 q =22(n > N). 所

32、以,P(u1 + u2 + · · · + uN ) + (uN+1 + uN+2 + · · · )SN + (qN+1 + qN+2 + qN+3 + · · · )+,un=n=1<<所以 P un 收敛.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201541 / 53定理 8.5 (2) 当 lim n un = k > 1 时, P un 发散.n证明 因为 lim n un = k > 1, 故对于 =k2 1 ,存在自然数 N, 当nn > N

33、 时,|n u k| < =k 1 ,n2于是 n un >1+k > 1.1+k , q是严格大于 1 的常数 则 un > qn记 q =22(n > N). 所以,P(u1 + u2 + · · · + uN ) + (uN+1 + uN+2 + · · · )SN + (qN+1 + qN+2 + qN+3 + · · · )+,un=n=1>>所以 P un 发散.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201542 / 53定理 8

34、.5 (3) 当 lim n un = 1 时, 不能判定敛散性.n例证PP1n1 ,n u发散, u =lim= 1nnnn 1,1n u收敛, u =limn= 1nnn2n2§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201543 / 53anP 例 5 敛散性:, a > 0.pn分析因此可先为等比数列, 分母为多项式, 故趋于 0 的速度由决定.P级数a , a > 0,nPnaa > 1 时,a < 1 时,a = 1 时,发散收敛化为npPnanpPPn a1 npnpp > 1 时, 收敛p < 1 时, 发散p = 1 时,

35、 发散§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201544 / 53anP 例 5 敛散性:, a > 0.pnan解法一 根值判别法 记 un = np , 则naalimun = limn= lim= a.ppn (n)n 1n讨论:a > 1 时, 所给级数发散;0 < a < 1 时, 所给级数收敛;P 1 a = 1 时, 所给级数化为:npp > 1 时, 所给级数收敛;p < 1 时, 所给级数发散;p = 1 时, 所给级数发散.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201545 / 53anP 例

36、5 敛散性:, a > 0.pnan解法二 比值判别法 记 un = np , 则an+1npun+1a·limn= lim= lim= a.pn1unn (n + 1)apn (1 + n )讨论:a > 1 时, 所给级数发散;0 < a < 1 时, 所给级数收敛;P 1 a = 1 时, 所给级数化为:npp > 1 时, 所给级数收敛;p < 1 时, 所给级数发散;p = 1 时, 所给级数发散.§8.3 正项级数的审敛法 (掌握)May 4, 201546 / 53ann!P 例 6 敛散性:, a > 0.nn分析公式 (Stirlings Approximation): nnn! 2n1en! limn= 12n2n(n/e) enn!lim=23n+0.5n n ann! nnannnan代入原级数通项公式,·2n=2n,nnee讨论:a > e 时, 发散, a < e 时, 收敛,