单粒子轨道理论

1、单粒子轨道理论单粒子轨道理论是指将等离子体中的带电粒子独立的处理，忽略它们之间的相互作用, 只考虑电磁场对单个带电粒子的作用，不考虑带电粒子运动引起的电磁场变化。1.均匀磁场中的带电粒子的盘旋运动在处于恒定磁场的空间中，带电粒子的运动方程是dvm qv B(1.1)dt取B为z方向，写成分量形式：VxT Vy(1.2)Vy - -门 Vx(1.3)这里Bqm(1.4)(1.5)称为盘旋频率。记 v =vx ivy，将(1.3)式乘以i与(1.2)式相加，得到其解为V -'Vv = ce"(1.6)(1.7)(1.8)(1.9)其中，积分常数C=V_e_L是复数，可写为模V_和

2、辐角的形式。对(1.7)式分别取实部和虚 部，得到Vx =V_COSt 匕)"C均为积分常数，因此，带电粒子的运动是围绕磁场作以 为Larmor盘旋运动。其角速度为：Q -G盘旋的半径(也称为 Larmor半径)为：V而在平行于磁场的方向，从 (1.4)解得：门为角频率的盘旋运动，也称(1.10)(1.11)vy 二-v_sin(H 工)积分常数V .为平行方向速度的初值，带电粒子速度保持不变。值得注意的是，盘旋频率只与磁场的大小有关，而与盘旋粒子的垂直速度或盘旋半径无关。但如果相对论效应不能忽略，那么带电粒子的质量会发生变化，盘旋频率会随着垂直方向的速度改变。此时，带电粒子的运动方

3、程为mdt=qv B(1.13)其中相对论因子(1.14)它只与带电粒子速度的大小有关，与速度的方向无关。而事实上，只要用V点乘1.13式即可看出：dv 1 dvv0dt 2 dt(1.15)即带电粒子速度的大小是常数。因此在解带电粒子的运动方程时，可以将视为常数。解的结果与非相对论情况的不同点仅仅在于盘旋频率的差异：(1.16)带电粒子在磁场中的运动可以看作是垂直于磁场的盘旋运动和盘旋引导中心的运动即平行于磁场的运动加上漂移运动组成。2.盘旋引导中心的运动首先，我们考虑带电粒子在稳恒、但空间上不一定均匀的磁场中的运动过程。从上一节的讨论可知，如果磁场不随空间和时间变化，或者在带电粒子所在的区

4、域内可以将磁场近似的看成是不变的，带电粒子将沿着磁力线作盘旋运动。为了更好理解和处理在空间不均匀磁场中的带电粒子的运动， 我们将其分解为围绕引导中心 的盘旋运动和引导中心自身运动两局部。对于角频率为 Q的盘旋运动，其速度 v为:v = QXp(1.17)这里pt是盘旋的矢量半径，它与v_, Q构成相互垂直的右手体系。因而(1.18)在磁场中带电粒子盘旋运动角频率矢量Q为:Q - -q - - b(1.19)(1.19)B这里b是磁场方向的单位向量。 带电粒子除了沿着磁场方向运动外，在垂直于磁场的方向上， 带电粒子做盘旋运动及漂移运动。由于漂移运动速度一般远小于盘旋运动速度，带电粒子运动速度V的

5、垂直分量可以用盘旋运动速度V g替代，在这种近似下，(1.18)式可以改写为b vp(1.20)Q实际应用中，却是先用此式定义盘旋半径p,因为假设还用(1.18)式，将会与(1.17)式一并陷入循环定义。我们也可以理解(1.20)式定义的盘旋半径p为带电粒子运动的瞬时的盘旋半径，在盘旋一周的过程中，假设同时有漂移运动，带电粒子的盘旋速度和半径是随时改变的。了解引导中心的运动比了解带电粒子的具体的运动更有意义。引导中心的位置R(t)可以简单求得：R=r(t)_ p(t)(1.21)这里r(t)是带电粒子的瞬时位置。这实际上也可以看作是引导中心的定义。引导中心的运动 速度vc可以求得:(1.22)

6、b v d / b、()v Q dt Q(1.22)式中出现的带电粒子加速度可分为两局部，其一是由磁场引起的旋转，另一局部由其 他外力的总和f引起的加速度f+ qv汇Bf 丄(1.23)vv：; bm m在稳恒近似的条件下，没有快速变化的电场和磁场，对时间的偏导数可以忽略，只保存空间 位置改变引起的变化。因而(1.22)式中对时间t的随体导数近似为(1.24)- v v dt 抚用(1.23)和(1.24)，化简(1.22)式，得到引导中心运动速度的三局部：(1.25)vc = v | v f v m其中v沪vb= (v b)b是带电粒子沿平行磁场方向的运动速度。平行速度是引导中心运动速度的主

7、要局部。另外，(1.25)式中的第二项f b v fm Q是外力引起的垂直磁场方向的漂移，如电场漂移、重力漂移等。而vm 二 v (v 人)严它与磁场的大小(Qh B )和方向(b )在空间上的变化有关，是由空间磁场的不均匀性 引起的漂移，如磁场梯度漂移、曲率漂移等。现在，我们得到的带电粒子运动大致图像：首先，它主要是沿着磁力线运动，同时还绕着磁力线旋转。其次，引导中心会在外力作用下漂移偏离磁力线，其漂移方向与磁力线垂直，也与力的方向垂直。此外，磁场的不均匀性也能引起漂移运动。(1.25)式的第三项(1.26)(1.27)F面我们详细分析一下带电粒子的各种漂移运动。1) 电场力对于恒定的电场，

8、带电粒子受力f二qE，电场引起的漂移速度EEx Bv e b 2(1.28)BB值得注意的是，电场漂移速度与带电粒子的电荷的正负符号无关，也与带电粒子的质量无关。在等离子体中，离子和电子以相同的方向和速度漂移，不会造成的电荷别离。 事实上，我们如果取一个以相对速度 vE运动的新参考系(称为 deHoffman-Teller参考系)，通过洛仑 兹变换可以发现，在新的参考系中电场为0，带电粒子只是简单地围绕磁力线旋转。而在我们原先的参考系中观察，所有的电子和离子除了盘旋之外，均以一个相同的速度vE做漂移运动。2)重力或其他恒定外力普通情况下，力总是引起与其方向一致的加速度。而在有磁场的情况下，力引

9、起的是个垂直方向的漂移速度，与日常经验有很大的不同。漂移速度的表达式为：qB2(1.29)这个速度与带电粒子的质量也没有关系，但与其电荷有关。尤其对于电荷符号相反的带电粒子，其漂移方向也相反。在等离子体中，电子和离子漂移方向不同，会引起电荷别离，从而 产生一些特殊的物理现象(如等离子体-磁场分界面上产生的瑞利-泰勒不稳定性)。在讨论磁场空间不均匀性引起的漂移问题之前，有必要先处理一下公式(1.26)的第三项，我们用vm代表这项磁场引起的漂移。相比其他两项来说，这一项相对复杂。由于其中含有 运动速度v，因而有盘旋运动引起的随时间快速变化的项。这些快速变化的项不是我们想要的，通过在一个盘旋周期中做

10、平均的方法可以消除掉。我们简化v为只有平行运动和盘旋运动两项，忽略所有的漂移运动：(tjvb+v丄(1.30)盘旋运动速度可以表示为：v_(t) : v_Xcos(*t) y?sin(-氏)(1.31)这里X, ?是两个垂直于磁场的方向上的单位矢量，与b方向构成右手系。由(1.30)，(1.31)，将公式(1.27)经过一个盘旋周期的平均之后，磁场不均匀性引起的漂移平均速度为(vmUvfZ (b '灯)丄(1.32)其中、 =x yx 鋼二 b (b '、)='、 b( b )(1.33)是在垂直方向上的空间微分算符。在公式 磁力线方向b的变化，另一个是磁场强度 可计算

11、磁力线的曲率(1.32)中，磁场在空间的变化包括两个局部，一是 B的变化。沿着磁力线方向看磁场方向的变化，(1.34)k-(b i)b(1.32)式可写为2mv i2q -BB2(1.35)注意到(1.33)式，进一步化简 B -B2BB2b(Z) 丁j BB2 B3(1.36)利用矢量微分公式 (p q) = p Cq)q C p)(p '、)q(q ' )p(1.37)及b是单位向量的特性，曲率也可以表达为(1.38)1k = (b I)b-(b b) = -b Cb)2在垂直方向上磁场强度的梯度为(1.39)' _B 二 b (b i B)二b CB)-Bb Cb

12、)二 b %j Bk利用(1.33), (1.34)及(1.39)式，化简(1.35)式：mv%(j)b_j 丄)2qB2(1.40)(1.41)在空间没有电流时，由(1.39)可知由磁场引起的漂移速度为/、b 灼 BVm'(23 巧丁(1.42)其中，w.,w_分别是带电粒子在平行方向和垂直方向的动能。磁场的空间不均匀性引起的漂 移运动又可以分为两局部，其中一局部漂移速度是离心力引起的，为mvpe BRqB2(1.43)尺方向相反。另一局部漂移速度是式中R为曲率半径，eR是曲率半径的方向单位矢量，与磁场梯度引起的，为BVgrad -'N- B2qB(1.44)这里(1.45)

13、是粒子的磁矩。而 _ B表达了磁场的梯度对带电粒子所施加的等效作用力。在考虑空间有电流的情况下，引导中心的运动速度为f BB %(1.46)vc =vb -qB -(2ww_)b看(如_ wa假设把漂移速度写为与磁场相关的量，那么(1.35)为2土 b2亠b2bb K m I -b(b I) bk - b B bb k2"B2K丄(1.47)2b(b Cb)-£ b注意到(1.38)式，代换k,得K b (b Cb) -空 b2B(1.48)最后(1.49)2心 b V b) b +f x B * 喷 h 可 B * v|b 汇 k qB221B门3.带电粒子在变化电场中的

14、漂移讨论在有恒定磁场 B = B0ez和垂直于磁场的变化电场E = E°cos( t)ex(1.50)情况下带电粒子的漂移运动。可解运动方程v 二亚 ex 1、ez m(1.51)得到:V = _j'v qEo cos tm(1.52)qEo Je"Ccos(<ot)dt m可得其中,qE。2 (i0cost) 们 sin (cot) )+v ©山。姒 m( )-、q dE 1Vx =v cos(t ： )22m dtq "E -v sin(t覚)22m Q -©Vyx方向的漂移为极化漂移,而在y方向的漂移类似于普通的电场漂移。(

15、1.53)(1.54)(1.55)(1.56)两者漂移速度之比为上的量级。Q在-J '1的缓变电场情况下，极化漂移速度远小于普通的电场漂移速度，相比之下可 以忽略。在- J 1的高频变化的电场情况下，极化漂移速度比普通的电场漂移速度更大, 显得非常重要。4.守恒量和绝热不变量对于在没有电场和重力场等力场区域运动的带电粒子，其动能守恒。带电粒子的运动方程(1.1)两端同时点乘速度 V,可以得到(1.15)式，从而证明了在这种情况下，带电粒子动能 守恒。一般来说，对于广义坐标q , p是q对应的广义动量。如果运动对于 q是周期的，那么对 于积分：I 八 pdq(1.57)是绝热不变量，也即在系统变化的特征时间远远长于运动的周期的条件下,该物理量保持不变。这里积分在一个运动周期上进行，积分过程中保持系统的能量不变。假设系统是随参量缓慢变化的，为简化起见，假设系统只有一对广义坐标和广义动量，即:H(p,q,(t)HE(t)(1.58)这里H是系统的Hamilton函数。对于(1.57)的积分，被积函数p可以从(1.58)式反解为p =p(q