第八章的有限字长效应VIP

1、第八章第八章数字滤波器数字滤波器的有限字长效应的有限字长效应第一节第一节引言引言一、有限字长效应一、有限字长效应前置预前置预滤波器滤波器A/D变换器变换器数字信号数字信号处理器处理器D/A变换器变换器模拟模拟滤波器滤波器模拟模拟Xa(t)PrFADCDSPDACPoF模拟模拟Ya(t) 完成完成DF设计后，接下来要实现设计后，接下来要实现DSP（数字信号（数字信号处理）。具体实现时，处理）。具体实现时，字长总是有限的字长总是有限的，因为存，因为存储器是有限字长的，储器是有限字长的，所以所实现的系统为有限精所以所实现的系统为有限精度的系统，与原设计的系统存在差异，产生有限度的系统，与原设计的系统

2、存在差异，产生有限字长效应。字长效应。1.有限字长效应有限字长效应有限字长意味着：有限字长意味着：有限运算精度有限运算精度有限动态范围有限动态范围2.有限字长引起误差有限字长引起误差 表现在以下几个方面：表现在以下几个方面：（a)A/D变换器的量化误差变换器的量化误差 即即A/D变换器将模拟输入信号变为一组离散电平时变换器将模拟输入信号变为一组离散电平时产生的量化误差。产生的量化误差。（b)系数的量化误差系数的量化误差 即把系统系数用有限二进制数表示时产生的量化误即把系统系数用有限二进制数表示时产生的量化误差。差。（c)算术运算的运算误差算术运算的运算误差 数字运算运程中，为限制位数而进行尾数

3、处理，以数字运算运程中，为限制位数而进行尾数处理，以及为防止溢出而压缩信号电平的有效字长效应。及为防止溢出而压缩信号电平的有效字长效应。二、研究有限字长效应目的二、研究有限字长效应目的1.若字长（通用计算机）固定，进行误差分析，可知结果的若字长（通用计算机）固定，进行误差分析，可知结果的可信度，否则若置信度差，要采取改进措施。可信度，否则若置信度差，要采取改进措施。一般情况下，一般情况下，由于计算机字长较长，所以可以不考虑字长的影响。由于计算机字长较长，所以可以不考虑字长的影响。2.用专用用专用DSP芯片实现数字信号处理时，芯片实现数字信号处理时，定点与硬件采用字定点与硬件采用字长有关：长有关

4、：(1)一般采用一般采用定点实现定点实现，涉及硬件涉及硬件采用的字长。采用的字长。(2)精度确定字长精度确定字长。因此，必须知道为达到设计要求所需精度。因此，必须知道为达到设计要求所需精度下必须选用的最小字长。下必须选用的最小字长。(3)由由最小字长选用专用最小字长选用专用DSP芯片类型芯片类型由于选用不同由于选用不同DSP芯片，价格差很大。目前芯片，价格差很大。目前TMS320C1X,C2X,C5X,C54X,C62X,C67x等价格差异很大等价格差异很大第二节第二节数的定点制表示数的定点制表示及及A/D变换器的量变换器的量化误差化误差一、数字信号中数的定点表示一、数字信号中数的定点表示 用

5、专用用专用DSP芯片实现数字信号处理时，芯片实现数字信号处理时，一般一般采用定点二进制数补码表示方法和舍入采用定点二进制数补码表示方法和舍入量化方式量化方式。因此。因此定点、补码、舍入定点、补码、舍入重点分析。重点分析。1.定点数表示三种形式定点数表示三种形式（1）原码）原码（2）补码）补码（3）反码）反码二进制符号位：二进制符号位：0-表示正号表示正号，1-表示负号表示负号；例子：（例子：（1）原码）原码 从从x10=0.75和和x10=-0.75看看看看原码、补码、反码原码、补码、反码的表示方法。的表示方法。（3位二进制）位二进制） 解解:（1）原码为）原码为 x10=0.75=(x2)原

6、原=0.110原码原码 x10=-0.75=(x2)原原=1.110原码原码 通用公式：通用公式： 其中其中B0:符号位符号位，B0=1代表负数；代表负数； Bi：i=1.b,其中其中b代表字长位数，代表字长位数，B1Bb代代表表b位字长的尾数位字长的尾数0. 1 1 0 01. 1 1 0 00101( 1)2bBiiixB 0. 2-1.2-b1. 2-1.2-b正数：正数：负数：负数：（2）补码和反码）补码和反码补码通用公式：补码通用公式：10012biiixBB 补码：补码：x10=0.75=(x2)补补=0.110=原码原码x10=-0.75=(x2)补补=1.010=反码反码+1（

7、末位）（末位）反码：反码：x10=0.75=(x2)反反=0.110=原码原码x10=-0.75=(x2)反反=1.001=除符号位外原码各位取反除符号位外原码各位取反2、定点表示产生误差、定点表示产生误差（1）加法：任何加法运算不会增加字长，但）加法：任何加法运算不会增加字长，但可能产生溢出可能产生溢出 xB1 0.110-0 110 + xB2 0.011-0 011 xB1+xB2=9/8 1.001,其真值为其真值为-7/8，（2）乘法：不会溢出，但字长加倍）乘法：不会溢出，但字长加倍 溢出，使其变为负数溢出，使其变为负数例：例：b=3=0.101 0.011 101 101 0.00

8、1111 成为六位数，截尾变成成为六位数，截尾变成0.001。产生误差。产生误差。二、数的量化误差范围二、数的量化误差范围 量化对尾数处理产生的误差，其量化对尾数处理产生的误差，其量化方式量化方式可分为可分为1.截尾量化截尾量化：即把尾数全部截断不要。：即把尾数全部截断不要。2.舍入量化舍入量化：即把小于：即把小于q/2的尾数的尾数“舍舍”去，把大去，把大于于q/2的的尾数尾数“入入”上来。上来。其中其中q=2-b,称为称为量化步阶量化步阶，b为字长的位数。为字长的位数。1.截尾量化截尾量化 截尾量化可分为：截尾量化可分为：（1）对于）对于正数正数的截尾量化误差的截尾量化误差（2）对于对于负数

9、负数的截尾量化误差的截尾量化误差（1）对于正数的截尾量化误差）对于正数的截尾量化误差一个信号一个信号x(n)：还没截尾112)(biiiBXnx由于有限字长：由于有限字长：截尾biiiTBX12看出看出:b1b所以，所以，原码和补码的截尾误差为原码和补码的截尾误差为：112bbiiiTTBXXe11 0 2TbiTiibeeBq 最最小小误误差差最最大大误误差差截截尾尾量量化化误误差差范范围围为为：发生在被截去发生在被截去的位数上的数的位数上的数都为都为1情况。情况。发生在被截去发生在被截去的位数上的数的位数上的数都为都为0情况。情况。0. 2-1 .2-b 0 0 .0b1-bb最小误差最小

10、误差0. 2-1 .2-b 1 1 1最大误差最大误差（2）对于负数的截尾量化误差）对于负数的截尾量化误差截尾量化误差与负数表示方式有关。截尾量化误差与负数表示方式有关。还没截尾112)(biiiBXnx负数原码表示负数原码表示，其截尾量化误差：，其截尾量化误差：)0(211TcbbiiiTceqBe发生在被截去发生在被截去的位数上的数的位数上的数都为都为1情况。情况。发生在被截去发生在被截去的位数上的数的位数上的数都为都为0情况。情况。0. 2-1 .2-b 0 0 .0b1-bb最小误差最小误差0. 2-1 .2-b 1 1 1最大误差最大误差负数补码表示负数补码表示，其截尾量化误差：，其

11、截尾量化误差：)0(211qeBeTcbbiiiTc同样，同样，负数截尾量化误差，最大误差负数截尾量化误差，最大误差=q,最小最小误差误差=0.2、舍入量化、舍入量化0. 1 0 1 0 1 0 1 0 0bb1舍去：舍去：0.1010-信号比原来小信号比原来小;舍入：舍入：0.1011-信号比原来大信号比原来大;所以，所以，最大误差为最大误差为q/2,最小误差为最小误差为-q/2舍入量化误差范围为舍入量化误差范围为|en|舍入误差舍入误差。e(n)量化误差是随机变量，所以要用统计量化误差是随机变量，所以要用统计方法，统计公式去分析。方法，统计公式去分析。应用比舍入少些应用比舍入少些三、量化误

12、差的统计方法三、量化误差的统计方法 上面我们分析了量化误差的范围，但上面我们分析了量化误差的范围，但要精确地知道误差究竟是多大，几乎是要精确地知道误差究竟是多大，几乎是不可能的。视信号具体情况而定。不可能的。视信号具体情况而定。 所以我们只要知道所以我们只要知道量化误差的平均效量化误差的平均效应应即可。它可以即可。它可以作为设计的依据作为设计的依据。例如：。例如：A/D变换器量化误差变换器量化误差-决定决定A/D所需字长。所需字长。1、量化误差信号、量化误差信号e(n)四个假设四个假设 为了进行统计分析，对为了进行统计分析，对e(n)的统计特性作以下假设：的统计特性作以下假设：（1）e(n)是

13、平稳随机序列是平稳随机序列即它的统计特性不随时间变化。即即它的统计特性不随时间变化。即 , 均与均与n无关。无关。（2）e(n)与取样序列与取样序列x(n)是不相关的是不相关的。即。即Ee(n)*x(n)=0(互互相关函数相关函数=0）e(n)与输入信号是统计独立的。与输入信号是统计独立的。（3）e(n)序列本身的任意两个值之间不相关序列本身的任意两个值之间不相关。即即e(n)本身是白噪声序列本身是白噪声序列 Ee(n)*e(n)=0(自相关函数自相关函数=0）（4）e(n)在误差范围内均匀分布在误差范围内均匀分布（等概率分布的随机变量）（等概率分布的随机变量）即即P(e)（概率密度）下的面积

14、（概率密度）下的面积=1)(ne2n2、截尾误差与舍入误差的概率密度、截尾误差与舍入误差的概率密度截尾误差：截尾误差：正数与负数补码截尾误差：正数与负数补码截尾误差：截尾误差：截尾误差：负数原码与负数反码截尾误差：负数原码与负数反码截尾误差：舍入误差：舍入误差：P（e)e-2-b2bP（e)e2-b2b00P（e)e-2-b/22b2-b/203、量化误差的定义量化误差的定义 根据以上假设可知：根据以上假设可知： 量化误差是：量化误差是：一个与信号序列完全不相关一个与信号序列完全不相关的白噪声序列，即称量化噪声。的白噪声序列，即称量化噪声。它与信号它与信号的关系是相加性的。的关系是相加性的。4

15、、量化噪声的统计模型、量化噪声的统计模型理想理想A/D采样器采样器xa(t)x(n)=xa(nT)e(n)()()( nenxnx5、量化误差信号、量化误差信号e(n)的均值的均值me和方差和方差222 ( )( ) ( ( )( )( )( ( ) ()( ) :( )eeeeeE e ne n p e n de nep e deE e nmemp e deEmnpmee 数数学学期期望望，与与 无无关关：误误差差 的的概概率率密密度度 e2 下面，分别对舍入误差及截尾误差的均值下面，分别对舍入误差及截尾误差的均值和方差进行分析。和方差进行分析。(1)对于舍入误差对于舍入误差22222332

16、2222201/2( )/2( )01( ) ( ( )( )1()( )12012( )() 322qqqqqqeeeeeqqe nqP ee n p e n de nedeqqqemp e deqmqmq 均均值值：其其方方差差：余余P（e)e2b0-2-b/22-b/2(2)对于正数及负数补码截尾误差对于正数及负数补码截尾误差02 0200222221/( )0( )01( )221(2)( )2122()1eeeqqeeqqqqe nP eqmep e deeqqqemp e dqmeeqqed 其其余余均均值值：方方差差：P（e)e2b0-2-b(3)对于负数原码及反码的截尾误差对于

17、负数原码及反码的截尾误差200222220021/0( )( )01( )221()( )()212212qqeqqeeeeqe nqP eqmep e deeqqqemp e dqqeedemq 其其余余均均值值：方方差差：P（e)e2b0-2-b(4)结论结论 从上看出：从上看出：量化噪声方差与字长量化噪声方差与字长直接直接有关。有关。 字长越长，字长越长，q越小，量化噪声越小。越小，量化噪声越小。 字长越短，字长越短，q越大，量化噪声越大。越大，量化噪声越大。（5）信噪比）信噪比 对于舍入处理：对于舍入处理：222222222221210lg1220 lg210lg1121210lg10

18、lg1210lg(2xxebxxxxqSNSNqqqqb 信信号号平平均均功功率率（量量化化噪噪声声）噪噪声声平平均均功功率率信信号号方方差差量量化化噪噪声声表表示示成成分分贝贝形形式式（求求对对数数）：将将代代入入）信信噪噪比比：看出：（看出：（1）信号功率信号功率 越大，信噪比越高越大，信噪比越高（但受（但受A/D变换器动变换器动态范围的限制。（态范围的限制。（2）随着字长随着字长b增加，信噪比增大增加，信噪比增大，字长每增加，字长每增加1位，则位，则信噪比增加约信噪比增加约6dB.(3)最小信噪比：最小信噪比：S/N=10.79+6.02bx2例子例子 在在Modem中，语音和音乐可视为

19、一随机过程，因中，语音和音乐可视为一随机过程，因此可用概率分布来表示这些信号。它们幅值在零附近，此可用概率分布来表示这些信号。它们幅值在零附近，概率分布有一峰值，且随幅度加大分布曲线急剧下降。概率分布有一峰值，且随幅度加大分布曲线急剧下降。当抽样信号幅度当抽样信号幅度信号均方根值的信号均方根值的34倍时，倍时，P(e)-0,则如对信号进行压缩为则如对信号进行压缩为Ax(n),并令并令 , 则一般不会则一般不会出现限幅失真。若需要信噪比出现限幅失真。若需要信噪比70dB,至少需要多少位至少需要多少位modem.P(e)exA412222110lg()10lg()61.25()1670,12xee

20、ASbdBNdBbbit 解解：可可知知：若若需需要要信信噪噪比比至至少少需需要要 6.量化噪声通过线性系统量化噪声通过线性系统h(n)或或H(z)( nx)()()( nefnyny)(ne)(nx求：量化噪声通过线性系统后：求：量化噪声通过线性系统后：1.系统输出系统输出 2.输出噪声输出噪声3.输出噪声均值输出噪声均值 4.输出噪声方差输出噪声方差（1）对于舍入噪声）对于舍入噪声02222( )( ( )( )* ( )( )( )( )() ()0( )()2fmefjweeffy nx ne nh nene nh nh m e nmmE enH edw 系系统统输输出出输输出出噪噪声

21、声输输出出噪噪声声均均值值输输出出噪噪声声方方差差 分析前题：分析前题：（1）系统完全理想，无限精度的线性系统。）系统完全理想，无限精度的线性系统。（2）e(n)舍入噪声，均值舍入噪声，均值=0（3）线性相加（加性噪声）线性相加（加性噪声）-到输出端到输出端输出噪声方差求解输出噪声方差求解22000022022220( )() ()( ) ()() ( ) () ()()( )()21()()2effmlmlemjwejwmE enEh m e nmh l e nlh m h l E e nm e nlhmmle nH edwhmH edw 输输出出噪噪声声方方差差时时，不不相相关关）（根根据

22、据帕帕塞塞伐伐定定理理：） （2）对于截尾噪声）对于截尾噪声02222000( )( ( )( )* ( )( )( )( )() ()( )()2( )() ()()()fmjweefffjffeemmy nx ne nh nene nh nh m e nmE enH edwmmE enEh m e nmmh mm H e 系系统统输输出出输输出出噪噪声声输输出出噪噪声声均均值值输输出出噪噪声声方方差差输输出出噪噪声声除除以以上上方方差差外外，还还有有一一直直流流分分量量 分析前题：分析前题：（1）系统完全理想，无限精度的线性系统。）系统完全理想，无限精度的线性系统。（2）e(n)截尾噪声，

23、截尾噪声，（3）线性相加（加性噪声）线性相加（加性噪声）-到输出端到输出端20qmmee ，第三节第三节数字滤波器的系数字滤波器的系数量化误差数量化误差一、系数量化误差一、系数量化误差 DF的系统函数：的系统函数： 理想设计理想设计ak,bk 是无限精度是无限精度 实际实现时，实际实现时，ak,bk放在存贮单元内，放在存贮单元内，必须要必须要对对ak,bk进行量化（截尾或舍入），造成进行量化（截尾或舍入），造成DF（零点、极点）位置偏移，影响（零点、极点）位置偏移，影响DF性能，使性能，使实际设计出实际设计出DF与原设计有所不同。与原设计有所不同。严重时，严重时，极点跑到单位园外，导致系统不稳

24、定，滤波极点跑到单位园外，导致系统不稳定，滤波器不能从使用，这就是系数量化效应。器不能从使用，这就是系数量化效应。二、研究滤波器系数量化误差二、研究滤波器系数量化误差目的目的 选择选择合适的字长合适的字长，以，以满足满足频率响应频率响应指标的指标的要求要求，保持保持DF的的稳定性稳定性及及系统的灵敏度。系统的灵敏度。三、三、IIR DF系数量化的统计分系数量化的统计分析析 系数无限精度系数无限精度： 系数量化后系数量化后：11( )( )( )1NiiiNiiib zB zH zA za z 11( )( )( )1NiiiNiiib zB zH zA za z 为量化误差。，其中iiiiii

25、iiaabb 系数量化误差系数量化误差: 系数量化后，系数量化后，偏差偏差DF的输出：的输出：之间偏差与研究)()(. 1zHzH)()( )(nynyne000( )( )( )( )( )( ), ( ),( )ENNNiiiiiiiiizz H zHzA zzzzzE ze z， )()()(zXzHzEE看出系数量化后，实际：看出系数量化后，实际：( )( )( )EH zDFH zDFHz无无限限精精度度的的偏偏差差的的。H(z)HE(z)()()(nenyny)(ne)(ny)(nx2.系数量化造成频响偏差（舍入）系数量化造成频响偏差（舍入）)()jwjwjwEeHeHeH（）（z

26、dzzHzHjdweHEcEjwE)()(21)21122（由均方偏差四、四、FIR DF 系数量化统计分析系数量化统计分析 由于线性相位由于线性相位FIR DF，有四种滤波器（有四种滤波器（h(n)=奇、偶；奇、偶；N=奇、偶）奇、偶）210)()()()(Nnnenhnhnh为系数量化后单位冲激响应为系数量化后单位冲激响应22(,)2 2)()()()wq qE wH wH wE E w 对对于于舍舍入入误误差差，它它在在内内均均匀匀分分布布（频频响响误误差差函函数数） ( )(101()2e ne NFIRnnNDFNE wq 对对于于第第一一性性）类类线线相相位位第四节第四节DF定点运

27、算中的定点运算中的有限字长效应有限字长效应一、分析前题一、分析前题 设设DF：在定点运算，舍入运算情况下分析相关误差。在定点运算，舍入运算情况下分析相关误差。 即：即：IIR DF中：中：（1）反馈环，由舍入处理在一定条件下引起非线性反馈环，由舍入处理在一定条件下引起非线性振荡。振荡。（2）分析舍入噪声（用统计方法）分析舍入噪声（用统计方法） FIR DF中中（1）不存在非线性振荡（除频率采样型结构）。）不存在非线性振荡（除频率采样型结构）。（因为无反馈）（因为无反馈）（2）直接用统计方法分析）直接用统计方法分析二、二、IIR DF中的零输入极限环振荡中的零输入极限环振荡 什么是什么是零输入极

28、限环振荡零输入极限环振荡？ 因为因为IIR DF有一反馈，在一定条件下就有一反馈，在一定条件下就可能发生振荡。当将输入信号去掉后，可能发生振荡。当将输入信号去掉后，由于舍入引入的非线性作用，输出端会由于舍入引入的非线性作用，输出端会停留在某一数值上，或在一数值间振荡，停留在某一数值上，或在一数值间振荡，这种现象称为这种现象称为“零输入极限环振荡零输入极限环振荡”。例子例子 输入输入x(n)=0.87(n),系统差分方程：系统差分方程：y(n)=0.5y(n-1)+x(n) 起始条件：起始条件：n,limy(n)=0. 当做系数舍入量化：当做系数舍入量化： 起始条件起始条件n0,)()1()(n

29、xnynyR0)(ny31( ), ( )32280, (0)0.100 ( 1)( )0.100*00.1110.1111, (1)0.100*0.111(1)0.01110.1002, (2)0.100* (1)(2)0.100*0.1000.0103, (3)0.001bRRRRRRy nx nqnyyx nnyxnyyxny 和和系系数数 均均为为 位位字字长长，当当当当当当当当当当14, (4)0.0013( )(1)1( )10.51nyny ny nH zzzz可可以以证证明明时时，处处于于振振荡荡此此时时看看出出极极点点由由移移至至处处，系系统统失失去去稳稳定定出出现现振振荡荡

30、。 2.极限环现象的利弊极限环现象的利弊 在许多实际问题中，要尽量克服极限环现象。在许多实际问题中，要尽量克服极限环现象。 例：在通讯中，极限环现象会在空截线路中例：在通讯中，极限环现象会在空截线路中产生不需要的信号。产生不需要的信号。 但有趣的是：可以利用极限环现象，设计周但有趣的是：可以利用极限环现象，设计周期性信号发生器，产生各种序列振荡器。期性信号发生器，产生各种序列振荡器。三、三、IIR DF定点运算中有限字定点运算中有限字长效应的统计分析长效应的统计分析（1）分析前题）分析前题 对对e(n)进行进行四个假设四个假设：（1）所有噪声（量化误差）都是平衡随机序列。）所有噪声（量化误差）

31、都是平衡随机序列。（2）量化噪声与信号不相关，且各噪声之间也不相关。）量化噪声与信号不相关，且各噪声之间也不相关。（3）噪声是白色的，噪声是白色的，Ee(n)*e(n)=0（4）每个噪声都均匀等概率分布。每个噪声都均匀等概率分布。2.例子例子 一个二阶一个二阶IIR DF 低通，采用定点算法尾数低通，采用定点算法尾数舍入处理，分别计算：直接型，级联型，并舍入处理，分别计算：直接型，级联型，并联型三种结构的舍入误差。其系统函数：联型三种结构的舍入误差。其系统函数：2172.07.1104.0)(zzzH(1)直接型直接型1.7-0.72x(n)e1(n)e2(n)Z-1Z-1y(n)+ef(n)

32、e0(n) 其中，其中，e0(n),e1(n),e2(n)分分别为系数别为系数0.04，1.7，-0.72相乘相乘后的舍入噪声。后的舍入噪声。输出噪声输出噪声ef(n)是由这三个噪声通过是由这三个噪声通过H(z)=1/B(z)网络形成的。网络形成的。ef(n)=(e0(n)+e1(n)+e2(n)*h0(n)221221132( )10.9,22.8420.efcfeedzjB z B zzzqz 输输出出噪噪声声方方差差（将将极极点点：代代入入（利利用用留留数数定定理理） 0.04(2)级联型级联型0.90.04x(n)e1(n)e2(n)Z-1Z-1y(n)+ef(n)e0(n)0112222201222221111212221121( ),( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )111122( )( )()()2( )()( )1 0.9,( )1ffeecce n e nH zH zB z B ze nHzHzB zene ne nh ne nh ndzdzjB z B