数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学

1、数列专题复习一、等差数列的有关概念：1、 等差数列的判断方法：定义法an1_an=d(d为常数)或an _an二an _an(n_ 2)。a + a + a如设an是等差数列，求证：以bn= -2n nN*为通项公式的数列bn为n等差数列。2、 等差数列的通项：an =a1 (n - 1)d 或 an =am (n-m)d。如 等差数列an中，a。=30, a?。=50，则通项a(答：2n 10)；(2)首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 (答：8 :：d 乞3)33、等差数列的前n和：Sn=门佝an)，Sn二na,n(1)d。2 21 *315如(1)数列an

2、中，an = and(n 2,n N )，a.，前 n 项和 Sn ：2 2 2则 a-i = _, n =_ (答：a<)= 3 , n =10 )；2(2)已知数列an的前n项和Sn=12n-n，求数列|an |的前n项和Tn(答： 2*12n -n (n <6,n N )Tn =2* ) .n2 -12n 72(n 6,n N )a + b4、 等差中项：若a, A, b成等差数列，则 A叫做a与b的等差中项，且 A二。2提醒：(1)等差数列的通项公式及 前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及 Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可

3、求出其余2个，即知3求2。( 2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，a-2d,a-d,a,a，d,a，2d(公差为d );偶数个数成等差，可设为，a -3d,a -d,a d,a 3d，(公差为 2d )5、等差数列的性质：(1)当公差d =0时，等差数列的通项公式 aa1 (n -1)d =dn - a1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d ；前n和Sn二nd 购 d = d n2 (印- d)n是关于n的二次2 2 2函数且常数项为0.2 / 13（2）若公差d . 0 ,则为递增等差数列，若公差 d : 0，则为递减等差数列，若公差 d = 0，则为常数列。（3）

4、 当m n = p q时,则有am - an二ap - aq，特别地，当 m n = 2 p时，则有 am ' an = 2a p .如（1）等差数列an中，Sn =18,an +and +an/ =3,S3 =1，则 n =（答：27）；（4）若an、bn是等差数列，则kan、kan pbn （ k、p是非零常数）、*a ap nq（ P，q * N ）、Sn, S2n - Sn , S3n - S2n ,也成等差数列，而a 成等比数列；若 an 是等比数列，且an 0，则lg an是等差数列.如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。（答：225）（5） 在

5、等差数列an中，当项数为偶数2n时，S偶-务二nd ;项数为奇数2n-1时,S奇0禺=a中 , S2n=（2 n1）a 中（这里 a中即 an）; S 奇: S 偶=n:（ n -1 ）。女口（ 1）在等差数列中，Sn = 22,则a6 = （答：2）；（2）项数为奇数的等差数列an中，奇数项和为 80,偶数项和为 75，求此数列的中 间项与项数（答：5; 31）.（6） 若等差数列an、bn的前n和分别为a、 Bn,且n）,则Bnan _ (2n -1)an bn (2 n -1)bnA2n 4B2n 4-f（2 n -1）.如设an与 bn是两个等差数列,它们的前n项和分别为Sn和Tn，若

6、 蛍=竝匕，那么 （答:）Tn 4n -3bn8n -7（7） “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法由不等式组Jan 玉0fn十兰0;法二：因等差数列前 n项是关于/0确定出前多少项为非负（或非正）弘+亠。丿n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列an中，印=25 ,気二乞，问此数列前多少项和最大？并求此最大2 / 13值。（答：前13项和最大，最大值为 169）;（2）若a.是

7、等差数列，首项ai0,a2oo3a2oo40 ,a2003G2004：0,则使前 n 项和Sn 0成立的最大正整数 n是 （答：4006）（3） 在等差数列鳥中，6。“咼.0,且a.a |，Sn是其前n项和，则（） a、s1sihs10都小于0，31,32川都大于0B、 S,S2 山 Si9 都小于0， S20, S21 i 11都大于0C、 S11S|S5都小于 0，S6,Sz|l（都大于 0D、 S1, S2 I H S20 都小于 0, S21, S22 I I （都大于 0（答:B）（8）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等

8、差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an =bm.二、等比数列的有关概念：1、等比数列的判断方法：定义法= q （q为常数），其中q = 0 Qn = 0或an如1 乩（n _2）。anan 1女叮1）一个等比数列 an共有2n T项，奇数项之积为100,偶数项之积为120,则an d5为（答：一）；（2）数列an中，Sn =4an j+1 （n 亠2）且 ai=1，若 bn 二 ani2an ，6求证：数列 bn是等比数列。2、等比数列的通项：an二a"，或可二amqnJm如等比数列an中，ai a 66，a?an4 =128，前n项和S! =

9、 126，求n和q .（答:3、等比数列的前n 和：当 q =1 时，Sn = nai ；当 q =1 时,S _ai（1-qn）i -qai a“q1 -q如（1）等比数列中，q = 2,S99=77,求a3a6a99（答：44）；10 n（2）送（送 C：）的值为 （答: 2046）;n M k特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式， 为此在求等比数列前 n项和时，首先要 判断公比q是否为1再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q =1和q =1两种情形讨论求解。4、 等比中项：若a,A,b成等比数列，那么 A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何 两数都有等

10、比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个_.ab。如已知两个正数a,b(ab)的等差中项为 A,等比中项为B,则A与B的大小关系为 (答：A>B)提醒：(1)等比数列的通项公式及 前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2; ( 2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，-ar,a,a,aq,aq2(公比为q );但偶数个数成等比时，不能设为-a3 , ,aq,aq3，q qq q因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数

11、成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。(答：15, ,9, 3,1或0,4, 8,16)5. 等比数列的性质：(1 )当m n = p q时，则有 aa ajaq,特别地，当 m n =2 p时，则有 a_an _ ap .如(1)在等比数列an中，aO =124,a4a7 =-512，公比q是整数，则a10= (答：512)；(2)各项均为正数的等比数列an中，若a§日6 =9，则lg 3aOg 3曰励3 0)a = (答：10)。*(2)若an是等比数列，则| an |、ap如( p,q N )、ka.成等比数列；

12、若an、bn成等比数列，则anbn、罟成等比数列；若an是等比数列，且公比q = -1 , 则数列Sn,S2n -Sn,San - Sa ，也是等比数列。当q = -1，且n为偶数时，数列Sn, S2n - Sn ,S3n - S2n，是常数数列0,它不是等比数列.女口 ( 1 )已知a 0且a =1 ,设数列xn满足lo gXnq = 1 lo g< n(nN*),且Xi * x2 * | | | * X100 =100，则 X101 '儿02 | | | ' X200 = .(答：100a)；(2)在等比数列an中，Sn为其前n项和，若S30=13So,SoS30=1

13、40,则S20的值为 (答：40)(3)若ai 0,q 1，则an为递增数列；若 耳：0,q 1 ,则an为递减数列；若ai 0,0 : q : 1 ，则 an为递减数列；若印：0,0 : q < 1,则a*为递增数列；若q ： 0， 则an为摆动数列；若q =1，则an为常数列.(4) 当 q=1 时，Sn qn H 二aqn b，这里 a b = 0,但 a = 0,b = 0,1 -q 1-q是等比数列前n项和公式的一个特征， 据此很容易根据 &，判断数列an是否为等比数列。如若an是等比数列，且S3n r，则r = (答：1)(5) Sm，n =Sm，qn = S.，qm

14、 如设等比数列a*的公比为q，前n项和为Sn ,若Sn+,Sn,Sn成等差数列，则q的值为 (答：2)(6) 在等比数列an中，当项数为偶数 2n时，S偶=qS奇；项数为奇数2n-1时,务=a1 qS偶 .(7)如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列an是非零常数数列，故常数 数列an仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列aj的前n项和为Sn ( n n ),关于数列a有下列三个命题：若an =an 1 (nN)，则 d 既是等差数列又是等比数列；若 Sn二an2 bn a、b R , 则n ?是等差数列；若Sn=1 -1"，则G ?是等比数列。这些命题

15、中，真命题的序号是 (答：)三、数列通项公式的求法一、公式法anS（ n =1）Sn -&4（n- 2）7 / 13# / 13Bn 等差、等比数列£n 公式8 / 13评注：本题解题的关键是把递推关系式例 已知数列an满足an2an 3 2n, a, =2，求数列a.的通项公式。an 1 = 2an 3 2转化为1 _戸=?，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出养15-1)|，进而求出数列9 / 13# / 13an的通项公式。、累加法例已知数列an满足an “ =an 2n 1, a! =1，求数列an的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 4

16、 = an 2n 1转化为an .勺-an = 2n T，进而求出(a. - an)二-a./) 11( (ai - a?) (a? -aj - a1，即得数列an的通项公式。例已知数列an满足anan23n1，a3，求数列%的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式 an an - 2 3n -1转化为an 1 -a2 3n 1， 进而求出an = (an - an)(an J - an)丨1(a3 - a2) (a2 -印) a1，即得数列 佝的通 项公式。三、累乘法例 已知数列an满足an 1=2(n 1)5n务，a3，求数列an的通项公式。an评注：本题解题的关键是把递推关系an

17、2( n 1)5n an转化为旦门=2(n 1)5n，进而求an 4 an -2a2 a1出_a.O3电a1，即得数列an的通项公式。四、取倒数法例已知数列 an中，其中a1 =1,，且当an -12an41，求通项公式an。2an41两边取倒数得：-an11丄=2，这说明丄 an 二an是一个等差数列,11 1首项是丄=1，公差为2，所以丄=（n_1） 2=2n_1，即an丄a1an2n-1五、待定系数法例 已知数列an满足an 2an 3 5n, a 6，求数列Ca/的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 2an 3 5n转化为an5“ "=2（an - 5n），从而

18、可知数列an -5n是等比数列，进而求出数列an -5）的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例 已知数列an满足an 3an 5 2n 4，a1，求数列a.的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 3an 5 2n 4转化为an 152n13（an52n2），从而可知数列an52n- 2是等比数列，进而求出数列an 5 2n 2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。六、对数变换法 n5例 已知数列an满足an 1 = 2 3 an，a 7，求数列a.的通项公式。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an1=2 3n a5转化为lg an q也（n1） 四也2= 5（l

19、gan朋 n也？），从而可知数列4164n 4164lg an n 也 是等比数列，进而求出数列lg an n 朋-的通项41644164公式，最后再求出数列an的通项公式。七、迭代法例 已知数列a*满足an 1 = a,）， a = 5，求数列a*的通项公式。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式ana3（n 1）2n两边取常用对数得lg an 13（n 1） 2n lg an，即=3（n 1）2n，再由累乘法可推知 lg an11 / 13© a空空川畀 ganj lg an 2lg a?ig an(n 1)3m2巴巴，从而 a* = 52。八、数学

20、归纳法例 已知数列an满足an 1 = an8(n +1)2 2， (2n 1) (2n 3)8，求数列 an的通项公式。9解：由 an 1 =an 8(n1)822 及 a，得。0000。(2n 1) (2n 3)9由此可猜测an2= (2n J J，往下用数学归纳法证明这个结论。(2n 1)(1 )当 n =1 时,2(2 1 1)2 _1 83 = (211丿2 1二8，所以等式成立。(2 11)9(2)假设当n二k时等式成立，即ak =2(2k 1) -1(2 k 1)2，则当n = k 1时,ak 1 二 ak8(k 十 1)(2 k 1)2(2k 3)2由此可知，当n -k 1时等

21、式也成立。根据(1), (2)可知，等式对任何 n N*都成立。九、换元法1 !例 已知数列an满足an(1 4a ,1 24an), a -1，求数列a.的通项公式。1解：令 bn1 24an，则 an =刃(b；-1)故 an十=亠(圧十-1)，代入 an+ =2(1+4an +j1+24an)得。即 4b；* = (bn+3)2 241613因为 bn = 1 ' 24an - 0，故 0 1 = 1 24% 1 - 0 则 20bn 3，即 bn_ bn _，1可化为 bm 3=2(bn -3), , 1所以bn -3是以b,-3.：1 24a, -3 i 1 24 1-3=2

22、为首项，以-为公比的等比数列，因此 bn -3 =2(*)2 =(g)n，则 bn3，即 1 24an 二 g)n， 3，得2/1、n 1、n 丄 1"3(4)(2)3。十、构造等差、等比数列法 an 1 二 Pan q ; an 1 二 pa. qn : a. 1 二 pa. f(n): a. 2 二 P 6 1 q a.例 已知数列中，a1 =1,%1 =2a.3，求数列:a.的通项公式【解析】.a. 12(a.3). a.4 2“=a. = 2“ 1 一 3.【反思归纳】递推关系形如“a.d =: pa. q ”适用于待定系数法或特征根法：令 a. 1 扎二P(a.在a. pa

23、. q中令a. 1二 a.x ，. a. 1 - x = p(a. - x)；1 - p由 a. pa. q 得a. =pa.an* an P(an an)例已知数列a 中， a1 - 1, a. .1-2a. 3.，求数列4. 的通项公式.13 / 13# / 13. .-1【解析】；a.1 =2a. 3n，.呼二嘉(3)n，令幕=b.2 2 2 2b. =(b.-b.J(b.-bn<血 f)b1=2(3)2a32n2【反思归纳】递推关系形如“a.1 = pa. q. ”通过适当变形可转化为:“a.1 二 pa. q ”或“卜一、不动点法例已知数列a.满足a. 1 口7a 2A，心，求

24、数列a.的通项公式。7x_223x -1解：令x，得2x -4x，2=0，贝U x=1是函数f (x)的不动点。2x+34x + 7因为a. , -1二-1二5a匸总，所以2a.+32a.+32Z1 n J、n 1 an=3(4)(2)3。评注：本题解题的关键是通过将.1 24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化13Hi =22形式，从而可知数列bn -3为等比数列，进而求出数列-3的通项公式,最后再求出数列an的通项公式。四、数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：Sn(a+K)nan(n-1) dSn =小=nc +d2 2na(q=1)2、等比数列求和公式

25、：Sn =1(1qn)anq (1).1-q1-q”前n个正整数的和1 2 3 丁丁 n =垃2前n个正整数的平方和12 22，32 52 = n（n 1）（2n 16前n个正整数的立方和13 23 3 n3二凹 °22公式法求和注意事项（1）弄准求和项数n的值；（2）等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类1- -例 已知log 3 x，求x x x亠 亠xn宀的前n项和.log 2 3设 Sn= 1+2+3+n ,n N*,求 f (n)(n 32)Sn!的最大值.f(n)二Sn(n 32)盼n 34 641 1(、n - 8 )250504 n8,8，即n = 8时,f (

26、 n) max50二、错位相减法求和这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和1 n +1例：(2009全国卷I理)在数列an中，a1,an(r -)an-n 2a(I )设bn-，求数列bn的通项公式(II )求数列an的前n项和Snn分析：(I )由已知有电！ 鱼二.bni -bn1n +1 n 2n2n1 *利用累差迭加即可求出数列bn的通项公式：bn =2 石(nN )(II )由(I )知 an =2nnn)

27、八(2k)-kAk4nn k而(2kHn(n 1),又二个典型的错位相减法模型,S = n(n 1)勞一416 / 13三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)， 再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1 an).例 求证：CO 3C1 - 5C； (2n 1)C： = (n 1)2n证明：设 Sn 二 CO 3C； 5C2(2n T)C；& =(2n +1)C： +(2n -1)C：+ ，3Cn +C0四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个# / 13# / 13等差、等比或常

28、见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1 1 1例7求数列的前n项和：1 1, 4,飞-7,，u 3n -2， a aa1 1 1二(1 1) (一 4)(飞 7厂(f3n-2)aaa1 12(1 4 7 七3n _ 2)aa(3 n1)n(3n+1) nMin2解：设SnSna= 1 时,17 / 13当 a=1 时，Sn 二 daan . (3n-1)n 21 _na-a(3n -1)na -1例：（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）已知 an是各项均为正数的等比数列,1 1 1 1 1且 a1 a = 2() ， a3 a4 a = 64()a?a3a4a51 2（I）求an的通项公式；（n）设bn =（an），求数列bn的前n项和。an五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合， 使之能消去一些项,最终达到求和的目的 通项分解（裂项）如:(1)an=f (n 1)-f (n)(2)sin 1tan(n 1) - tan ncosn cos(n 1)(3)an(5)anann(n - 1)(4)(2n)2an1 丄(2n_ 1)(2 n+1)二2 2n -1 2n 1n(n -1)(n2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)2(n1) -