公司新厂选址问题

1、公司新厂选址问题摘 要本文主要研究的是新厂选址的问题，需要对未来一年各城市的需求量进行预测，分析出工厂的最优生产规模，在根据地理与实际成本的关系大致确定出新工厂的位置。 问题一：题目给出18个城市1-11月份产品需求数据，要求分析预测出未来一年的各城市产品需求。本文采用灰色预测与BP神经网络的组合预测以实现对18个城市的未来一年产品需求的预测。灰色模型可以通过少量的、不完全的信息，对事物发展规律作出模糊性的长期描述，本文首先建立GM（1，1）灰色微分预测模型对未来一年总体走势做出预测。由于数据较少，本文在BP神经网络中隐含层神经元个数设置为10，以减少系统在学习过程中负担造成的冗余，最终通过组

2、合预测得到18个城市未来一年的产品需求数据。问题二：本文根据题目所给出的工厂与各城市的距离、各城市每月的需求量以及个工厂工人的正常工资标准，分析出工人数目、运输费用与总成本之间的关系，确定每个工厂的生产规模。由于人员流动的影响较小，本文不予考虑其变化。在考虑生产的总成本最低的情况下本文采用线性规划的思想，假设一个城市的需求只由一个工厂供给，在工厂生产产量不小于各城市的需求量的条件下，确立最优成本的函数，应用MATLAB软件进行线性规划，从而求解出各个工厂的人员规模分别为：50227 、49034、20115、36626 、35391 、29858，每个工厂在第一个月的生产规模为：707200、

3、690400、283220、515700、498300、420400。1. 问题三：首先根据第二问的0-1变量，确定出各个工厂所供应的城市。在需求点（各个城市的坐标）、运输量及线性运输费率不变的前提下，我们将运输成本作为唯一决策因素。于是对该静态选址问题建立模型。通过MATLAB，利用重心法为各个工厂确定最优选址，江西省九江修水县、河北省石家庄市辛集市、江苏省常州市溧阳市、贵州省黔南布依族苗族自治州贵定县、广东省梅州市蕉岭县、河南省三门峡市灵宝市，对运输路径进行优化。得到其运输成本最优解。关键字：灰色预测、BP神经网络算法、线性规划、重心法一、问题重述1.1问题背景 1.1.1沿海地区说明根据

4、中国海洋统计局给沿海地区的定义是指有海岸线的地区，按行政区划分为沿海省、自治区和直辖市。目前，我国有8个沿海省、1个自治区、2个直辖市；53个沿海城市、242个沿海区县。 1.1.2沿海地区经济发展 自1978年实行改革开放政策以来，中国的寂静发展迅速，又以沿海地区的经济发展最为突出，30余年来，中国的经济最闪光的地方就出现在沿海地区。如今，面对金融危机后新的国际金融局势，中国的经济仍然需要沿海地区的经济增长的支撑，沿海地区的经济发展对于中国的经济发展是具有相当重要的意义。从未来的发展走势看，沿海地区将在全国经济发展中承担双重任务：一是担负起追赶发达国家的先进技术，促进国家产业结构升级，提升国

5、家经济竞争力，维持全国经济持续增长的作用；二是为西部大开发和全国区域经济的协调发展提供有力的支持。所以只有沿海地区经济更快更好地发展，中国经济中长期阶段的持续发展才能得到保障；也只有沿海地区经济实力进一步增强，才能更好地支持西部大开发。因而在讨论全国未来相当一段时期的经济发展时，必须高度重视沿海地区的经济发展。正是基于这样的认识，尽管沿海地区在经济发展中存在着诸多问题，而且国家把区域经济发展的重点转向西部大开发，但中国应该把实现增长的重点放在沿海地区。这是因为沿海地区经过多年的改革开放，进一步推动经济发展的优势是十分明显的 1.1.3工人工资水平于2011年6月出台的人力资源和社会保障事业发展

6、“十二五”规划纲要中指出：“未来5年，我国最低工资标准年均增长13%以上，绝大多数地区最低标准将达到当地城镇从业人员平均工资的40%以上。”“十二五”规划中的薪资定调，调高了劳动者的预期，也被动调高了资本方的人工成本预算。据统计，2010年全国共有30个省份调整了最低工资标准，平均增长幅度为22.8%而2011年又有24个省份相继提高了最低工资标准，平均增幅22%。 1.2相关信息 1、题目已给出各城市距加工点距离（Km） 2、各城市的月需求量（百件） 3、其他相关信息1） 工厂所在地的工资标准：新厂编号123456工资标准170015401510160016401450注：上表为最低工资标准

7、，若超出正常工作时间为加班实行加班工资。加班工资为正常工资在单位时间内的1.3倍。 2）每位员工平均单位时间间生产量为8件/每小时。3）运输成本为1元每件每100公里。4）每个生产基地容量为800000百件。1.3需要解决的问题 （1）请根据所给数据预测未来一年中各地区每月的产品需求量。 （2）根据所给工资标准及运输价格等条件确定各加工厂的生产规模。 （3）如果允许重新设定新厂位置，请根据相关条件为新厂选址并给做出评价。二、问题分析2.1 问题一的分析问题一是根据题目中给出的各城市距加工点距离的数据，对未来一年中各地区每月的产品需求量进行预测。根据附录二所给出的相关数据，我们首先采用灰色预测法

8、，运用MATLAB软件对给出的18个城市在这一年和未来一年的产品需求量进行了预测，再将所得的预测值与实际值进行对比，预测值与实际值之间存在着一定的误差。为此，我们采用BP神经网络算法进行预测，得到未来一年中各地区每月的产品需求量。2.2 问题二的分析问题二要求根据所给工资标准及运输价格等条件，确定各工厂的生产规模。从本质上考虑，此题为一个最优问题的求解，要考虑使用的经济成本最低，根据题目所给的个城市的需求量和各工厂的工人工资，找出目标函数，选取线性规划中的0-1规划模型，建立最优生产规划模型，应用MATLAB软件对其进行求解，2.3 问题三的分析问题三要求我们在问题一和问题二的基础上，参考各城

9、市的地理位置重新选址，并给新厂选址做出评价。我们首先将题目所给出的18个城市划分为6个区域，再考虑从运输距离方面减少运输费用，由此确定这6个工厂分别供货的城市。根据重心法求出各个工厂的坐标，首先，我们根据所有城市的地理分布特点，将18个城市区域化，从运输费用的角度出发，通过缩短距离来减少运输费用，再根据运输距离等相关条件确定出各厂所供货的目标城市，最后再综合成本和距离因素考察选址的具体位置，采用重心法求解出各工的坐标位置并利用微分法，把重心法的结果作为初始解，并通过迭代进行求解，确定出新厂址的位置。三、基本假设1、工厂人数是一个定值，并且员工人数在一年之内不会发生较大变化2、经济成本主要为生产

10、成本和运输成本，其他因素支出不计算在内3、影响所有数据来源真实可靠4、忽略由于自然因素导致的运输成本波动5、一个城市产品需求量只由一个工厂提供6、运输距离为两城市的直线距离7、工人每月正常工作时间为176小时，月加班时间不超过36小时 8、忽略节假日对工资的影响，节假日时间按照正常工作计算9、忽略运输成本中收费站的费用四、参数说明：原始数据列：发展系数：灰色作用量：表示输入层第个节点的输入：表示隐含层第节点到输入层第节点的权值：表示隐含层第节点的阈值：隐含层激励函数：输出层激励函数：输出层第节点的阈值：输出层第节点的输出：第个工厂的生产产量：第个工厂的工人数量：第个工厂的工人加班时间：第个工厂

11、的工人费用：运输费用：总费用：工厂到城市的运输成本：工厂到城市的距离：工厂到城市的运输量：城市的产品需求量 ：工厂到城市是否提供产品，其中=1或0：第个工厂工人的正常工资五、模型建立及求解5.1问题一 5.1.1 模型的准备灰色系统：所谓灰色系统是指介于白色系统与黑色系统之间的系统，即系统内部信息和特征是部分已知的，另一部分是未知的。灰色预测：是基于灰色动态模型（Grey Dynamic Model）,简称GM的预测。GM（m,n）表示m阶n个变量的微分方程。微分方程适合描述社会经济系统，生命科学内部过程的动态特征。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进

12、行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 5.1.2 模型的建立 本文结合灰色预测及BP神经网络进行结合预测以降低误差。针对题目给的数据首先对数据进行灰色预测，选取GM（1,1）作为模型，预测出未来一年的整体走向。然后用BP神经网络做未来一年中的各个月份的预测。多层前馈BP神经网络算法中，隐藏层神经元数为10个，自回归阶数为3。为了避免过拟合，划分训练，测试，验证比例分别为0.7，0.15，0.15。

13、 灰色预测GM模型建立过程，如下：设原始数据列，n为数据个数。（1）对原始数据累加以弱化随机序列的波动性和随机性，得到新的数据数列： ，其中中各数据表示对前几项数据的累加。 ， t=1,2,3.n(2) 对建立的一阶线性微分方程：其中，a的有效区间是（-2 2）。u构成的矩阵为。（3）对累加生成数据做均值生成B与常数项向量，即 ，（4）用最小二乘法求解灰参数（5）把灰参数带入，解得（6）对函数表达进行离散，并将二者做差以便还原原序列，得到近似数据序列如下：然后进行BP神经网络模型计算过程，如下：（1） 隐含层第个节点的输入：隐含层第个节点的输出：输出层第个节点的输入：输出层第个节点的输出：（2

14、）误差的反向传播过程 误差的反向传播，即首先由输出层开始逐层计算各层神经元的输出误差，然后根据误差梯度下降法来调节各层的权值和阈值，是修改后的网络的最终输出能接近期望值。 对于每一个样本p的二次型误差准则函数为系统对P个训练样本的总误差准则函数为 根据误差梯度下降法一次修正输出层权值修正量、输出层阈值的修正量、隐含层的修正量、隐含层阈值修正量输出层权值调整公式：输出层阈值调整公式：隐含层权值调整公式：隐含层阈值调整公式：又因为 得到以下公式： 5.1.3 模型的求解 算法在MATLAB中实现后，预测出如下产品需求数据（单位：百件）城市121234567891011天津421145 412311

15、 439244 425042 439907 443733 463419 482084 479911 465696 467031 475851 太原295563 365801 421869 290894 372783 432440 291649 365096 429364 291126 365745 430368 石家庄420690 474584 466383 313545 420354 466078 470815 295838 417384 462950 474650 297514 济南490411 509088 363499 493814 572649 406575 273432 69801

16、4 541872 222084 459509 754977 郑州634233 574143 523439 460656 461655 488991 558501 618634 588282 478781 476954 468967 西安365232 391172 419465 397400 402040 394590 406185 396462 404343 396572 404282 397174 上海442331 394637 393254 344411 450691 388964 424576 383474 381174 362031 408154 404347 南京564901 499

17、939 642259 514186 541229 583008 532756 577041 536407 551949 542888 539668 合肥305571 642355 429473 335350 605603 427653 344218 598534 428704 342737 599766 428585 武汉425828 396683 445302 452423 408802 375458 365135 395955 392093 411343 411448 438091 重庆376227 540008 538729 301333 511785 558485 340412 477

18、410 481937 363466 515261 469227 杭州453813 356573 401667 403401 386938 398258 392246 387359 393951 386796 386378 390401 长沙405951 353176 243789 373357 366756 479830 482539 395006 298231 280581 437920 403782 南昌287497 371529 300245 318235 422742 333020 271897 466637 196822 368599 334936 327795 贵阳430057 3

19、49939 534082 276413 505028 418955 391616 324671 500269 306090 485150 397713 福州343347 349267 330640 403991 456560 467451 403710 329913 280725 343359 437088 531324 广州449361 422475 358201 426464 438537 370420 417072 433084 376934 412143 424229 384438 南宁550452 400376 425685 620686 404900 280521 338052 5

20、85514 407247 299272 395237 577068 各城市预测图：天津太原石家庄济南郑州西安上海南京合肥武汉重庆杭州长沙南昌贵阳福州广州南宁 5.1.4 结果分析 首先对通过灰色预测得到的数据进行检验，步骤如下：（1） 计算与之间的残差和相对误差：（2） 求原始数据的均值以及方差（3） 求的平均值以及残差（4） 计算方差比（5） 求小误差概率（6） 查阅相关资料获得灰色模型精度检验对照表：等级相对误差q方差比C小误差概率P级<0.01<0.35>0.95级<0.05<0.50<0.80级<0.10<0.65<0.70级>

21、;0.20>0.80<0.60经检验预测并未出先大量误差。 BP神经网络具有并行性强、计算量小等优点，目前是神经网络训练采用最多的也是最成熟的训练方法之一。但其采用非线性规划中个的最速下降方法，按误差函数的负梯度方向修改权值，因而存在学习效率低，收敛速度慢的问题，对本题数据的结果分析，并没有出现以上状况。5.2问题二 5.2.1 模型的准备 该问是根据各个工厂的工人数目、工人的加班时间来确定工人的工资，从生产成本方面考虑最优化问题，其中生产成本包括工人的工资和运输费用。由于题目提供了各城市的月需求量、各工厂到各城市的距离和工资标准，在忽略交叉工资弹性和运输竞争的情况下，根据生产量和

22、工人的加班时间来确定出各个工厂的工人数目，由此构造出成本最低目标函数，并且我们假设了一个城市仅由一个工厂提供产品，另外工厂的生产量应大于城市的需求量，由此得出约束条件。根据目标函数建立模型。 5.2.2 模型的建立 设是第个工厂的生产产量，是第个工厂的工人数目，为工人每月的加班时间，则 （1）记第个工厂的工人费用为，总工人费用为，并且第个工厂工人的正常工资为，那么 (2)记总的运输费用为,为工厂到城市的运输成本，为工厂到城市的距离，为工厂到城市的运输量，为工厂到城市是否提供产品，其中=1或0， （3）总费用为工人费用与运输费用的和，为 (4）目标函数： 其中 约束条件： （j=1,2,318；

23、i=1,26） 5.2.3 模型的求解每个工厂的工人数目： 6个工厂的工人总工资：总的运输费用：=则公司总成本；经过求解得出当加班时间为（i=0，1，3，5，6） 时成本最小，由此得出一月份工厂工人数为：50227、49034、20115、36626、35391、29858，在此问中我们忽略工厂人员的流动，认为人员数目为一个定值，因此其余月份的工厂人员数目和一月份相同。并且可以得到工厂与城市的供给对应：1号工厂提供天津、太原、石家庄、济南的产品；2号工厂提供郑州、上海、南京、合肥的产品；3号工厂提供西安、武汉的产品；4号工厂提供重庆、贵阳的产品；5号工厂提供长沙、广州、南宁的产品；6号工厂提供

24、南昌、杭州、福州的产品。 5.2.4 结果分析由附录中给出的数据求得所有城市在每个月的总需求量分别为： 所有工厂每个月的生产量为： 比较得知，仅在1、5、6、11月份的生产量与需求量之间存在误差，这是符合工厂的生产条件的。需要加班的工厂是第二和第四工厂，且加班时间为36小时。另外，我们忽略了人员的流动，得出各个工厂的人数规模:：50227 ：49034 ：20115 ：36626 ：35391 ：29858但是，在工厂实际的运转情况中，人员的流动是不可避免的，产品在运输的过程中也会发生被损坏的情况，这些都会影响实际的结果。5.3问题三 5.3.1模型的准备首先根据网上资料得到18个城市的经纬度

25、坐标如下：地名经度（E)纬度（N)地名经度（E)纬度（N)天津117.2039.13武汉114.3130.52太原112.5337.87重庆106.5429.59石家庄114.4838.03杭州120.1930.26济南117.0036.65长沙113.0028.21郑州113.6534.76南昌115.8928.68西安108.9534.27贵阳106.7126.57上海121.4831.22福州119.3026.08南京118.7832.04广州113.2323.16合肥117.2731.86南宁108.3322.84 依据经纬度的距离，采用聚类分析的思想，将18个城市分为6个区域，一个区

26、域内建立一个工厂。先从纬度方面考虑，筛选出天津、太原、石家庄、济南，再对经度进行比较，确立这四个城市为第一个区域；选出郑州、西安、上海、南京、合肥，再进行经度对比，确立郑州、西安为第二个区域；选出上海、南京、合肥、武汉、杭州，进行经度对比，确立上海、南京、合肥、杭州为第三区域；选出武汉、重庆、长沙、南昌，进行经度对比，确立武汉、长沙、南昌为第四区域；在剩余的5个城市中，对经度进行比较，确立重庆、贵阳、南宁为第五个区域；广州、福州为第六个区域。其中加工厂到各个城市的运费率均为1元每件每一百公里，即每件每米的运费为0.00001元，各工厂到各个城市的运输量，因为五月份运输总额最大，所以这里选取五月

27、份的运输量，以达到最大运输，具体数据见附表二。 运输费用可以表示为：工厂到城市的直线距离为各工厂的选址应保证运输费用最小，即最小。令解得：迭代重心法求解步骤：（1） 利用重心公式，求得初始解；（2） 将初始值带入到距离公式求得；带入总运费公式，计算总运费；（3） 将带入目标公式，求得第一次迭代的解；（4） 重复步骤（2），求得的新值；计算总运费，比较与的大小。若则继续迭代；若，则运算结束；（5） 重复步骤（3）、（4）直到 5.3.2 模型的建立目标函数：约束条件： 5.2.3 模型的求解 以武汉、长沙、南昌三个城市的经纬度坐标利用重心公式求得：，令带入公式迭代，得到 以天津、太原、石家庄三个

28、城市的经纬度坐标利用重心公式求得：，令带入公式迭代，得到 以南京、合肥、上海、杭州四个城市的经纬度坐标利用重心公式求得：，令带入公式迭代，得到 以重庆、贵阳、南宁三个城市的经纬度坐标利用重心公式求得：，令带入公式迭代，得到 以广州、福州两个城市的经纬度坐标利用重心公式求得：，令带入公式迭代，得到 以西安、郑州两个城市的经纬度坐标利用重心公式求得：，令带入公式迭代，得到分析数据后得到六个工厂的地址分别如下：2. 中国江西省九江修水县3. 中国河北省石家庄市辛集市4. 中国江苏省常州市溧阳市5. 中国贵州省黔南布依族苗族自治州贵定县6. 中国广东省梅州市蕉岭县7. 中国河南省三门峡市灵宝市 5.3

29、.4 结果分析 模型三通过第二问各厂对指定城市的供应，我们采用0-1变量法确定制定城市， 则使得重新建厂时，需求量的生产成本不变，只需考虑运输路径最短即可。在需求量相对大出现供不应求的城市可以通过离自己最近而又有库存的工厂运输来达到满足。六、模型的评价与推广6.1模型的评价优点：先通过灰色预测模型预测出下一年的大概值，再通过BP神经网络算法预测，在精度上相较于灰色预测更好地反映出来下一年各城市的产品需求量，从反映的图像上也可以看出需求量的波动大小。采用0-1规划的思想，可以确定出运输费用的最优方案，从而确定达到最优成本的生产规模，简化了求解的过程。由于在运费与土地价格的对比之下，土地价格是一次

30、性的花费，而运费是一个长期的花费，因此可以不将土地价格作为主要考虑的条件，我们根据18个城市的地理位置确定出运费最低的新厂地点，这是从长远的角度考虑到成本的应用问题。缺点：0-1规划虽然简化了问题的求解过程，但是在一定的程度上也造成了误差，在实际情况中，一个城市的需求量并不一定是只由一个工厂进行提供的。 在求解新厂选址的问题上，我们选取了需求量最大的月份进行分析，这是有一定的误差的，考虑到运输过程的便捷性，我们将新厂选在了城市中，然而就最佳地址而言，是求解各个区域的费马点，使得新厂到相应城市的距离最短。6.2模型推广在求解的过程中我们忽略了季节天气的影响，因此可以将其用在季节性的推测之中，加入

31、相关的影响因素，考虑问题。此外，本题的影响因素和约束条件对大型的工厂产生的相对误差不会太大，但是对于中型和小型的工厂而言，这个误差就并非如此了，因此，这次的模型适用于中小型工厂的预测和生产规模规划。七、参考文献1卓金武，MATLAB在数学建模中的应用M，北京：北京航天航空大学出版社，20112温正，精通MATLAB智能算法M，北京：清华大学出版社，20153胡本超，205.数学建模仓库选址问题 4中国各省会城市的距离数据网站 附 录% 各城市月需求，第一列为1月份% 天津 206900 290600 487900 480900 476100 440900 415300 424600 38220

32、0 379000 358800% 太原 220000 296400 510900 553500 477300 316000 417100 417300 311100 361200 377000% 石家庄 131700 328500 413400 486800 481200 336700 455400 503200 427900 474000 352100% 济南 148600 361200 391300 458300 471800 336000 568300 552000 369800 448400 388100% 郑州 188900 311700 403000 452600 557200 3

33、35700 488600 552000 377000 379000 453100% 西安 120220 314500 424600 427900 474000 352100 436300 379000 480900 476100 440900% 上海 147700 345800 417300 369800 448400 388100 417800 394100 336700 436300 379000% 南京 209800 353500 503200 388000 437400 442400 432400 397600 435300 455400 557200% 合肥 144000 37700

34、0 552000 397600 435300 390700 492600 358800 424600 568300 474000% 武汉 163000 382200 379000 358800 425800 398400 507800 428500 345800 417300 369800% 重庆 180400 505000 394100 428500 457200 422700 527500 314500 353500 503200 388000% 杭州 180100 368300 414400 457100 512000 373800 397200 345800 394100 428500

35、 457200% 长沙 215500 327500 429800 403400 453100 369700 270800 353500 414400 457100 512000% 南昌 240300 311100 361200 411500 463800 383200 200700 417300 345800 417300 369800% 贵阳 335300 369600 415100 430500 475400 425800 181700 503200 353500 503200 388000% 福州 241500 417500 409800 493600 453800 334500 226

36、500 425800 377000 552000 397600% 广州 236400 524900 404100 433800 420100 427100 262500 463800 382200 379000 358800% 南宁 261900 417400 447100 444700 410500 397600 369300 430500 209800 353500 503200灰色预测子程序gary.mclose allclear allclcsyms a b;c=a b'A=%城市需求数据; B=cumsum(A);n=length(A);for i=1:(n-1); C(i)

37、=(B(i)+B(i+1)/2;endD=A;D(1)=;D=D'E=-C;ones(1,n-1);c=inv(E*E')*E*D;c=c'a=c(1);b=c(2);F=;F(1)=A(1);for i=2:(n+11) F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1)+b/a;endG=;G(1)=A(1);for i=2:(n+11) G(i)=F(i)-F(i-1);endt1=1:11; %已知时间跨度t2=1:22; %需要预测的时间跨度plot(t1,A,'*',t2,G) ;神经网络子程序BP.mclear allclose all

38、clcx=%城市数据'lag=3; % 自回归阶数iinput=x; % x为原始序列（行向量）n=length(iinput);%准备输入和输出数据inputs=zeros(lag,n-lag);for i=1:n-lag inputs(:,i)=iinput(i:i+lag-1)'endtargets=x(lag+1:end); %创建网络hiddenLayerSize = 10; %隐藏层神经元个数net = fitnet(hiddenLayerSize); % 避免过拟合，划分训练，测试和验证数据的比例net.divideParam.trainRatio = 70/100;net.divideParam.valRatio = 15/100;net.dividePa