北京交通大学信号与系统第四章典型例题

1、精选文档第四章 典型例题【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier级数。周期矩形信号分析： 周期矩形信号是实信号，其在一个周期-T0/2，T0/2内的定义为满足Dirichlet条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier级数表示。解：根据Fourier级数系数Cn的计算公式，有故周期矩形信号的指数形式Fourier级数表示式为利用欧拉公式可由指数形式Fourier级数写出三角形式的Fourier级数，其为结论：实偶对称的周期矩形信号中只含有余弦信号分量。【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier级数。周期三角波信号分析： 周期矩形信号是实信号，其在一个周期

2、 -1/2，3/2的表达式为满足Dirichlet条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier级数表示。解：由于该三角波信号的周期T0=2，所以。根据Fourier级数系数的计算公式，有计算上式积分可得三角波信号的频谱Cn为所以周期三角波信号的Fourier级数表示式为利用欧拉公式可由指数形式Fourier级数写出三角形式的Fourier级数，其为结论：(1) 实奇对称的周期三角波信号中只含有正弦信号分量。(2) 例4-1-1的周期矩形信号和例4-1-2的周期三角波信号均可用Fourier级数表示，所不同的是两者的Fourier系数不同。因此，研究Fourier系数也可获得信号的某些特性。【

3、例4-1-3】判断下图所示周期矩形信号和周期三角波信号的Fourier系数的特性。(a)周期矩形信号(b)周期三角波信号分析： 首先判断信号时域的对称关系，再利用周期信号的对称特性和Fourier系数的关系，即可得出相应信号Fourier系数的特性。解：(a)信号为实偶对称，满足，故Fourier系数Cn实偶对称，其三角形式Fourier级数表示式中只含有直流项和余弦项。(b) 信号既满足，又满足，为实奇对称半波镜像信号，其三角形式Fourier级数表示式中只含有奇次谐波的正弦信号分量。结论：利用周期信号的对称特性和Fourier系数的关系可以建立信号时频的对应关系，定性地判断信号的频谱成份。

4、【例4-1-4】判断下图所示周期信号的Fourier系数的特性。分析： 从信号的波形来看，其不具有任何对称关系。在这种情况下可以去掉信号的直流分量，再观察波形的对称性。解：信号的直流分量为去掉直流分量后的波形如下图所示，是半波镜像信号，故只含有奇次谐波分量。综合上面的分析，的三角形式Fourier级数表示式中含有直流项、奇次谐波（正弦和余弦）分量。结论：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性。【例4-1-5】利用连续时间Fourier级数的性质，写出下图所示周期矩形信号的Fourier级数表示式。分析： 周期信号可以看成直流分量与例4-1-1周期矩形信号之差，利用Fourier级

5、数的线性特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier级数表示即可求解本题。解：周期信号可以看成下图所示直流分量和周期矩形信号之差，即令例4-1-1中周期矩形信号的A=1，可得的Fourier级数表示式为因此的Fourier级数表示式为结论：利用常用周期信号的Fourier系数和Fourier级数的性质，可计算其它周期信号的Fourier系数。【例4-1-6】利用连续时间Fourier级数的性质，写出下图所示周期矩形信号的Fourier级数表示式。周期信号g(t)分析： 周期信号可以看成例4-1-1周期矩形信号右移0.5，利用Fourier级数的时移特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier级

6、数表示即可求解本题。解：周期信号可以表示为。令例4-1-1中周期矩形信号的， w0=2p/ T0=p，可得的Fourier系数为令的Fourier系数为Dn，利用Fourier级数的时移特性可得因此，周期信号的Fourier级数表示式为 结论：与具有的关系，两者Fourier级数的模相等，即，但相位不同。这充分体现了周期信号Fourier级数时移特性的物理含义，即信号在时域的时移对应其在频域的相移。【例4-1-7】画出例4-1-1以原点为中心对称的周期矩形信号的频谱。周期矩形信号分析： 周期信号的Fourier系数就是该信号的频谱。解：由例4-1-1的计算结果，以原点为中心对称的周期矩形信号的

7、频谱为，由于Cn为实数，因而各谐波分量的相位或为零(Cn为正)或为±p(Cn为负)，因此不需分别画出幅度频谱| Cn |与相位频谱f n。可以直接画出Fourier系数Cn的分布图。根据抽样函数Sa( t )的曲线便可得信号的频谱图。周期矩形信号的频谱结论：周期矩形脉冲的频谱具有以下特性：(1)离散频谱特性：频谱是以基频w0为间隔分布的离散频谱。由于谱线的间隔w0=2p/T0，故信号的周期T0越大，其基频w0就越小，谱线越密。频谱都是由间隔为w0的谱线组成的离散谱。不同的周期信号其频谱分布的形状不同，但都(2)幅度衰减特性：随着谐波nw0增大，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。

8、不同的周期信号对应的频谱不同，但上述特性是周期信号频谱的普遍性质。【例4-1-8】画出周期信号=1+cos(w0t-p/2)+0.5 cos(2w0t+p/3)的频谱。分析： 根据周期信号的频谱基本概念，将表示为虚指数信号的线性组合（指数形式Fourier级数），虚指数信号的系数就是该信号的频谱。解：由Euler公式，周期信号可表示为与比较，可得所以周期信号的频谱Cn如下图所示。周期信号的幅度频谱和相位频谱结论：根据周期信号的幅度频谱和相位频谱，可以清楚看到周期信号中各谐波分量分布情况。如果已知周期信号的频谱Cn，则可由式重建信号。信号的时域描述和频域描述是深入分析和研究信号的理论基础。【例4

9、-2-1】试求图(a)所示非周期矩形脉冲信号x(t)的频谱函数X(jw)。 (a) 非周期矩形脉冲信号 (b) 信号频谱函数分析：非周期矩形脉冲信号x(t)满足Dirichlet条件，其Fourier变换X(jw)存在。解：非周期矩形脉冲信号x(t)的时域表示式为 由连续信号Fourier变换定义可得 结论：(1) 连续非周期信号的频谱是连续谱，其形状与周期矩形信号离散频谱的包络线相似。(2) 信号在时域中持续时间有限，则在频域中其频谱将延续到无限。(3) 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为信号的有效带宽。非周期矩形信号的有效带宽为2p/t (rad/s)或

10、1/t (Hz)，在时域的宽度为t 。即【例4-2-2】试求单位冲激信号x(t)=d(t)的频谱。分析：非周期矩形脉冲信号x(t)满足Dirichlet条件，由Fourier变换的定义直接求得其频谱。解：利用冲激信号的抽样特性，可由Fourier变换的定义直接求得其频谱 下图画出了冲激信号d(t)及其频谱。 单位冲激信号及其频谱结论：(1) 冲激信号的频谱为一常数。(2) 信号在时域中持续时间有限，则在频域中其频谱将延续到无限。【例4-2-3】试求直流信号x(t)=1 ( -¥ < t< ¥ )的频谱。分析：直流信号不满足绝对可积，但其Fourier变换X(jw

11、)存在，可借助d(t)的Fourier反变换计算。解：利用d(t)的频谱及Fourier反变换公式可得(1)由于d(t)是t的偶函数，所以(1)式可等价写为(2)由连续信号Fourier变换定义及(2)式可得下图为直流信号x(t)=1(-¥ < t<¥)及其频谱。 直流信号及其频谱结论：(1) 直流信号的频谱只在w=0处有一冲激。(2) 信号在时域中持续时间无限，则在频域中其频谱有限。【例4-2-4】试求符号函数sgn(t)的频谱。分析：sgn(t)的定义为 虽然符号函数不满足绝对可积，但其Fourier变换存在。借助双边指数衰减信号然后取极限的方法可以求解符号

12、函数的频谱。解：因为而所以幅度频谱 相位频谱符号函数的幅度谱和相位谱如下图所示。 符号函数的幅度频谱和相位频谱【例4-2-5】试求单位阶跃信号x(t)=u(t)的频谱。分析：单位阶跃信号不满足绝对可积，但其Fourier变换存在。可以利用符号函数和直流信号的频谱来求单位阶跃信号的频谱。解：将单位阶跃信号表示为符号函数和直流信号的线性组合，即所以单位阶跃信号u(t)的频谱为单位阶跃信号u(t)的幅度谱和相位谱如下图所示。 阶跃信号的幅度频谱和相位频谱【例4-2-6】试求单边指数信号x(t) = e-atu(t), (a > 0)的频谱。分析：单边指数信号满足Dirichlet条件，由Fou

13、rier变换的定义直接求得其频谱。解：由连续信号Fourier变换定义，可得 幅度频谱为相位频谱为单边指数信号的幅度频谱和相位频谱如下图所示。 单边指数信号的幅度频谱和相位频谱【例4-2-7】试求虚指数信号x(t) =ejw0t (-¥<t<¥)的频谱X(jw)。分析：虚指数信号在整个信号区间（-，+）上不满足绝对可积，但其Fourier变换存在，可借助d(t)的Fourier反变换计算。解：利用d(t)的频谱及Fourier反变换公式可得(1)由于d(t)是t的偶函数，所以(1)式可等价写为(2)由连续信号Fourier变换定义及(2)式可得虚指数信号的频谱函

14、数为虚指数信号的频谱如下图所示。虚指数信号的频谱结论：虚指数信号的频谱只在w=w0处有一冲激，因此也称虚指数信号为单频信号。【例4-2-8】试求正弦型信号和的频谱X(jw)。分析：正弦型信号在整个信号区间（-，+）上不满足绝对可积，但其Fourier变换存在，可利用虚指数信号的频谱计算。解： 利用Euler欧拉公式，将正弦型信号用虚指数信号表示为，利用虚指数信号的频谱，可得正、余弦信号的频谱函数为其时域波形和频谱分别如下图所示。 (a)余弦信号 (b)余弦信号的频谱 (c)正弦信号 (d)正弦信号的频谱结论：正弦型信号的频谱在处各有一冲激。【例4-2-9】试求任意周期信号的频谱X(jw)。分析

15、：周期信号在整个信号区间（-，+）上不满足绝对可积，但其Fourier变换存在。在求其Fourier变换时，应先写出其Fourier级数表示式，再利用虚指数信号的Fourier变换计算。解： 周期信号的Fourier级数表示式为， 利用虚指数信号的Fourier变换，对上式两边进行Fourier变换，可得结论：连续周期信号的频谱密度函数X(jw)是冲激串函数，冲激串前的系数为2pCn。因此，连续周期信号的Fourier系数Cn与其频谱密度函数X(jw)是一致的。【例4-2-10】试求周期冲激串的频谱X(jw)。分析：利用任意周期信号的Fourier变换即可求出。解： 周期信号的Fourier系

16、数Cn为 利用任意周期信号的Fourier变换，可得 , 周期冲激串信号及其频谱如下图所示。 (a) 周期冲激串信号 (b) 周期冲激串的频谱结论：(1)周期冲激串信号的频谱也是一个周期冲激串，并且它的周期w0和的周期T0成反比。(2) 周期信号的频谱Cn是计算周期信号频谱密度X(jw)的关键。(3) 周期冲激串信号在信号分析中具有重要作用。【例4-2-11】已知信号x(t)的波形如下图所示，试求信号x(t)的频谱。分析：用基本信号的线性组合表示x(t)。解：x(t)可以表示为直流信号与宽度为1矩形信号的相减，即x(t) = 2 p1(t)由连续时间Fourier变换的线性特性可得X(jw)=

17、4pd(w)-Sa(w/2)结论：(1)复杂信号可以表示为基本信号，根据基本信号的Fourier变换以及信号Fourier变换的性质就可以得到复杂的信号的Fourier变换。(2)当信号x(t)中存在直流分量时，其频谱X(jw)中一般含有冲激函数。【例4-2-12】试求双边指数信号的频谱。分析：可以看成是单边指数信号的偶分量，利用的频谱和Fourier变换的对称特性即可求出。解：单边指数信号的频谱为因为的偶分量为利用实信号偶分量xe(t)的频谱为 X(jw)的实部，可得故 结论：当x(t)为实偶对称信号时，其频谱函数X(jw)也为实偶对称函数。【例4-2-13】试求信号的频谱函数X(jw)。分

18、析：利用符号函数的频谱和Foruier变换的互易对称特性计算。解：符号函数的频谱为根据Foruier变换的互易对称特性可得再根据Fourier变换的线性特性得结论：在信号Hilbert变换和信号单边带幅度调制中，信号及其Fourier变换得到广泛应用。【例4-2-14】求连续时间信号的频谱函数X(jw)。分析：利用非周期矩形脉冲信号的频谱和Foruier变换的互易对称特性计算。解：由常见信号的频谱可知，幅度为1宽度为2的矩形脉冲p2 (t)的频谱为分别如下图(a)(b)所示。由Fourier变换的互易对称特性可得其时、频谱波形分别如下图(c)(d)所示。由Fourier变换的线性特性可得式中表

19、示幅度为1宽度为2的矩形脉冲。 (a) 矩形脉冲信号 (b) 矩形脉冲信号的频谱 (c) 抽样信号 (d) 抽样信号的频谱结论：(1)时域的矩形信号对应的频谱为抽样函数，而时域的抽样信号对应的频谱为矩形函数。(2)从系统来看，若是理想低通滤波器的频率响应，则其单位冲激响应h(t)是抽样函数。【例4-2-15】试求抽样信号的频谱函数X(jw)。分析：利用抽样信号的频谱和Fourier变换的展缩特性计算。解：抽样信号的频谱为根据连续信号Fourier变换的展缩特性可得表示幅度为1宽度为2w0的矩形脉冲。结论：(1)的频谱是宽度为2的矩形脉冲，而的频谱是宽度为2w0的矩形脉冲。这充分表明信号时域压缩

20、，其对应的频谱函数扩展；信号时域扩展，其对应的频谱函数压缩。(2)从系统来看，若是理想低通滤波器的频率响应，则其单位冲激响应h(t)是抽样函数。【例4-2-16】试求信号x(t)=u(t+1)-u(t-3)的频谱函数X(jw)。分析：u(t+1)-u(t-3)是矩形脉冲信号，利用矩形脉冲信号的频谱和Foruier变换的时移特性计算。解：因为 x(t)=u(t+1)-u(t-3)=p4(t-1)p4(t)表示宽度为4，幅度为1的矩形信号。由于 利用Fourier变换的时移特性可得 结论：信号在时域的时移将导致其频域的相移。若信号在时域的时移为常数，则在频域产生线性相移。【例4-2-17】已知，g

21、(t)=x(2t+4), 求信号g(t)的频谱。分析：信号x(2t+4)是x(t)经过压缩、平移两种基本运算而产生的信号，需要分别利用Fourier变换的展缩特性和时移特性求其频谱。可以将x(t) 先进行压缩再平移，也可以将x(t) 先进行平移再压缩，两种方法的计算过程稍有不同，但结果一致。解：方法一：先对x(t)进行压缩 ，利用Fourier变换的展缩特性得再对x(2t)进行左移 ，并利用Fourier变换的时移特性得方法二：先对x(t)进行左移 ，利用Fourier变换的时移特性得 再对x(t+4)进行压缩 ，并利用Fourier变换的展缩特性得结论：若信号g(t)=x(at+b)，(a0

22、)，则存在。因为信号g(t)相对于信号x(t)，存在a倍的展缩和b/a的时移。【例4-2-18】已知信号x(t)的频谱函数X(jw)如图(a)所示，试求信号x(t)与余弦信号cos(w0t)相乘后信号a(t)的频谱函数。(w0>wm) 分析：将用虚指数信号表示为，再利用频移特性即可计算。解：由于故根据Fourier变换的频移特性可得x(t) cos(w0t)上式表明，信号x(t)与余弦信号cos(w0t)相乘后，信号x(t) cos(w0t)的频谱是原来信号x(t)的频谱经左、右搬移w0后相加，然后幅度减半。 (a) 信号x(t)的频谱 (b) 信号x(t) cos(w0t)的频谱结论：

23、信号x(t)与余弦信号cos(w0t)相乘后的频谱函数为信号x(t)与正弦信号sin(w0t)相乘后的频谱函数为这是连续时间信号幅度调制与解调的理论基础。【例4-2-19】求下图(a)所示宽度为t、幅度为A的三角波信号的频谱。分析：等腰三角形可以看成是两个等宽矩形脉冲信号的卷积，利用卷积特性即可计算。解：设x1(t)是一宽度为2、幅度为1的三角波信号。由于x1(t)可由两个幅度为1、宽度为1的矩形信号p1(t)卷积构成，即 p1(t) * p1(t) = x1(t) 因为所以，利用Fourier变换的卷积特性可得 利用Fourier变换的线性特性和展缩特性，即可求出宽度为t 、幅度为A的三角波

24、x(t)的频谱函数为 (a) 宽度为t 的三角波信号 (b) 宽度为2的三角波信号结论：由于任意等腰三角波信号都可以表示为两个等宽的矩形信号的卷积，而矩形信号的的频谱为抽样函数，因此，任意等腰三角波信号的的频谱必然为抽样函数的平方。【例4-2-20】 已知信号x(t)的频谱函数X(jw)如图(a)所示，试求的频谱函数。(w0>wm) 分析：利用的Fourier变换，和乘积特性即可计算。解：的Fourier变换为根据Fourier变换的乘积特性，可得 上式表明，信号x(t)与余弦信号cos(w0t)相乘后，信号x(t) cos(w0t)的频谱是原来信号x(t)的频谱经左、右搬移w0后相加，

25、然后幅度减半。 (a) 信号x(t)的频谱 (b) 信号x(t) cos(w0t)的频谱结论：信号x(t)乘以正弦型信号后的频谱，即可利用Fourier变换的频移特性计算，也可利用Fourier变换的乘积特性计算。【例4-2-21】试求下图(a)所示三角波信号x(t)的频谱函数X (jw)。分析：三角波信号x(t)的导数x1(t)如下图(b)所示，从图中可以看出x1(t)的面积为零，即=0。因此利用时域微分特性或时域积分特性均可计算其频谱。解：三角波信号x(t)的导数x1(t)可以用矩形脉冲表示为 利用矩形脉冲p1(t)的频谱，以及Fourier变换的线性特性和时移特性，得 方法一：利用Fou

26、rier变换的时域微分特性，有由此可得x(t)的频谱为方法二：利用Fourier变换的时域积分特性，有 (a)三角波信号 (b)三角波信号的导数结论：等腰三角波信号的Fourier变换可以通过两个等宽的矩形信号的卷积来求解，也可以通过Fourier变换的微分特性或积分特性来求解，该方法特别适合不等腰三角波信号的频谱分析。因此也可以推出，不等腰三角波信号的Fourier变换不可能表示为抽样函数的平方。【例4-2-22】试求下图(a)所示信号x(t)的频谱函数X (jw)。分析：信号x(t)的导数x1(t)如下图(b)所示，从图中可以看出x1(t)的面积为1，即=1。因此不能利用时域微分特性，只能

27、利用时域积分特性或修正的微分特性计算其频谱。解：信号x(t)的导数x1(t)可以用矩形脉冲表示为 利用矩形脉冲p1(t)的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得方法一：利用连续信号Fourier变换的积分特性，可得方法二：利用修正的微分特性，由图(a)可知，故可得 (a)信号x(t)波形 (b) x(t)导数的波形结论：设X1(jw)是信号x(t)的导数x1(t)的频谱，若，则不能利用微分特性计算，只能利用时域积分特性或修正的微分特性计算其频谱。【例4-2-23】试求下图(a)所示信号x(t)的频谱函数X (jw)。分析：信号x(t)的导数x1(t)如下图(b)所示，从图中可以看出x1(t

28、)的面积为1，即=1，因此不能利用时域微分特性。若利用时域积分特性，则计算出的频谱与例5-3-12相同，即得出的是例5-3-12信号的频谱，忽略了本题信号中的直流分量1，因此本题只能利用修正的微分特性计算频谱。解：信号x(t)的导数x1(t)可以用矩形脉冲表示为 利用矩形脉冲p1(t)的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得由图(a)可知，利用修正的微分特性可得 (a) 信号x(t)波形 (b) x(t)导数的波形结论：(1)若信号含有直流分量，则只能利用修正的微分特性计算其频谱。(2)综合例5-3-11、例5-3-12和例5-3-13可以看出，若信号x(t)的频谱需要借助其导数x1(t)

29、的频谱计算，则直接利用修正的微分特性计算其频谱较为简便。因为这样可以不必进行信号中是否含有直流，以及是否为零的判断。【例4-2-24】分别求信号的频谱。分析：分别利用直流信号、符号函数、阶跃信号及单边指数信号的频谱和频域微分特性计算。解：利用常见信号的频谱函数，以及Fourier变换的频域微分特性，可得其频谱。由于 因此有 由于 因此有 由于因此有 由于 因此有 结论：这些信号是常用信号，其与基本信号之间存在密切关系，应理解和掌握这些常用信号的Fourier变换及其求解方法。【例4-2-25】已知能量信号x(t)=e-3 tu(t)，若以定义信号x(t)的有效带宽，试确定该信号的有效带宽 (r

30、ad/s)。分析：由时域计算信号的总能量E，由频域计算信号在有效带宽内的能量。解：信号的总能量为由于所以信号的能量谱为信号x(t)在有效带宽内的能量为根据本题有效带宽的定义，有解上式方程，可得有效带宽为 (rad/s)结论：信号的有效带宽在信号分析和处理中具有重要的工程应用价值。对于能量信号，其有效带宽可以根据信号的能量谱来确定。由于连续非周期信号的Fourier变换满足Parseval能量守恒定理，因此信号的有效带宽具有清晰的物理意义。【例4-2-26】计算抽样信号Sa(t)的能量E。分析：从时域计算，信号的能量为，该积分不易算出。Sa(t)的频谱为矩形脉冲，若利用Parseval能量守恒定

31、理，从频域则很容易求得其能量。解：由常见信号的频谱，可得利用Parseval能量守恒定理，可得结论：根据Parseval能量守恒定理，从时域和频域计算信号的能量等价。因此，在需要计算信号能量时，可以根据信号的特性选择从时域或频域计算。【例4-2-27】试利用Fourier变换的性质，计算下图所示信号x(t)的频谱函数X (jw)。分析：本题可以利用不同的基本信号和不同的Fourier变换性质。解：方法一：利用三角波信号的频谱和连续信号Fourier变换的线性特性将信号x(t)表示为图(a)(b)所示三角波信号之差，即由常见信号的频谱，可得，利用连续信号Fourier变换的线性特性，可得(a)

32、(b)方法二：利用矩形脉冲信号的频谱和连续信号Fourier变换的卷积特性将信号x(t)表示为图(c)(d)所示不等宽矩形信号的卷积，即由常见信号的频谱，可得，利用连续信号Fourier变换的卷积特性，可得(c) (d)方法三：利用矩形脉冲信号的频谱和连续信号Fourier变换的微分特性，可得信号x(t)的导数x1(t) 如图(e)所示，可以用矩形脉冲表示为 利用矩形脉冲p1(t)的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得由于，故利用微分特性可得 方法四：利用冲激信号的频谱和连续信号Fourier变换的微分特性信号x(t)的二阶导数x2(t)如图(f)所示，可以用冲激信号表示为 利用冲激信号

33、的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得由于，故利用微分特性可得(e) (f)结论：在利用常用基本信号的频谱和Fourier变换的特性来分析任意信号的频谱时，方法不是唯一的，可以向本题一样选择不同的基本信号和不同的Fourier变换性质。但使用方法不同，计算频谱的繁简程度不同，如何最简便地计算出频谱，恰当地选择基本信号和Fourier变换的性质是关健。【例4-2-28】试利用Fourier变换的性质，计算下图所示信号x(t)的频谱函数X (jw)。分析：本题可以利用不同的基本信号和不同的Fourier变换性质。解：方法一：利用矩形脉冲信号的频谱和连续信号Fourier变换的频移特性将信号x

34、(t)表示为利用矩形脉冲的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得再利用Fourier变换的频移特性即得 方法二：利用矩形脉冲信号的频谱和连续信号Fourier变换的乘积特性将信号x(t)表示为利用矩形脉冲的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得再利用Fourier变换的乘积特性，可得 方法三：利用冲激信号的频谱和连续信号Fourier变换的微分特性将信号x(t)表示为对信号x(t)求一阶导数和二阶导数，可得即利用冲激信号的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得再利用Fourier变换的微分特性，可得整理后可得结论：在利用常用基本信号的频谱和Fourier变换的特性来分析任意信号的频

35、谱时，方法不是唯一的，可以向本题一样选择不同的基本信号和不同的Fourier变换性质。但使用方法不同，计算频谱的繁简程度不同，如何最简便地计算出频谱，恰当地选择基本信号和Fourier变换的性质是关健。【例4-2-29】已知信号x(t)的频谱如下图所示，试求信号x(t)。分析：可以表示为两个矩形波之和，由于抽样信号的频谱是矩形波，故利用抽样信号的频谱和Fourier变换的线性特性即可计算。解：将频谱分解成两个矩形波之和由抽样信号的频谱，有分别令和，并利用Fourier变换的线性特性，可得结论：由连续信号的频谱计算其时域表示式，采用的方法与信号频谱的计算方法相同，都是利用常见信号的频谱和Four

36、ier变换的性质计算。因此，熟练掌握常见信号的频谱，灵活应用Fourier变换的性质是解题的关键。【例4-2-30】已知信号的幅度谱和相位谱如下图示，试求信号x(t)。分析：可以看成纵轴对称矩形波分别向左、右平移5，先利用Fourier变换的调制特性求出所对应的时域表示式，再考虑相位谱，利用Fourier变换的时移特性即可计算。解：频谱可表示为 由抽样信号的频谱，有利用Fourier变换的频移特性(调制定理)，可得在利用Fourier变换的时移特性，即得结论：若信号的相位谱是过原点的一条直线，则称为线性相位。由Fourier变换的时移特性可知，频域的线性相位对应时域信号的时移。【例4-2-31

37、】试求频谱函数所对应的信号。分析：将展开成与之和的形式，两者分别对应符号函数和单边指数信号的频谱，再将用虚指数表示，即，利用Fourier变换的时移特性即可求解。解：将频谱表示为由于，故利用Fourier变换的线性特性，可得再利用Fourier变换的时移特性，即得 结论：若信号x(t)的频域表示式比较复杂，可以将其分解为基本信号频谱的线性组合，利用基本信号的频谱和Fourier变换的性质获得信号的时域表示式x(t)。【例4-3-1】求下图所示周期为N的矩形序列的频谱。周期矩形序列分析： 直接DFS公式计算即可。DFS公式为(1)解：由图可知，该周期矩形序列的宽度为2M+1。根据式(1)可得利用

38、等比级数的求和公式可得周期矩形序列的频谱为下图分别画出了N=30，M=2、12时，周期矩形序列的频谱。 (a) N=30，M=2 (b) N=30，M=12周期矩形序列的频谱小结： (1) 周期为N的周期序列，其频谱也是一个周期为N的序列。(2) 周期矩形序列在N固定时，M越小，信号中的高频率分量就越多。 【例4-3-2】求周期序列=cos(pk/6)的频谱。分析： 本题信号可以利用Euler公式展开为虚指数信号的线性组合。根据IDFS公式的物理含义，周期序列可用有限项虚指数信号的线性组合，即(2)虚指数信号的加权系数就是周期序列的频谱。解：该周期序列的周期N=12。由Euler公式根据式(2

39、)，可得该周期序列在区间-5£m£6上的频谱为由于的周期N=12，在区间0£m£11上的频谱为下画出了该周期序列的频谱。周期余弦序列的频谱小结： 在求解周期序列的频谱时，可以根据实际情况，灵活运用DFS和IDFS。对一般的周期序列，可用DFS计算其频谱。当信号可以直接分解为虚指数信号的线性组合时，利用IDFS更为便利。【例4-3-3】已知周期N为偶数的周期序列的频谱为，试确定序列的频谱。分析： 周期序列可用表示为，利用DFS的线性特性和频移特性即可求出的频谱。解：由于根据虚指数信号的性质，有，故利用DFS的频移特性，可得再利用DFS的线性特性，即得小结：

40、 (1)信号分析的基本方法是将复杂信号用基本信号的线性组合表示，因此DFS的线性特性是离散周期序列频域分析的重要性质之一。(2)序列时域乘以虚指数，对应频域为该序列频谱的频移。该性质是离散序列调制的基础。【例4-4-1】试求单位脉冲序列xk=dk的频谱。分析：单位脉冲序列dk是基本离散序列，满足绝对可和，其DTFT存在，可以直接根据DTFT定义计算。解：由离散序列DTFT的定义可得dk的频谱为 下图画出了单位脉冲序列及其频谱。 (a) 单位脉冲序列 (b) 单位脉冲序列的频谱结论：单位脉冲序列的频谱X(ejW )在整个定义域上为常数。【例4-4-2】试求序列的频谱。分析：指数序列是基本离散序列

41、，当|a|<1时才满足绝对可和， DTFT存在。否则， DTFT不存在。解：由离散序列DTFT的定义，有当|a|>1时，求和不收敛。即序列在时不存在DTFT。当|a|<1时，由等比级数的求和公式得当|a|<1，且a是实数时，序列xk的幅度谱和相位谱分别为下图分别画出了实序列xk=(0.7)kuk的幅度谱和相位谱。【例4-4-3】已知序列xk的频谱如下图(a)所示，试求序列yk=xkcos(pk)的频谱。分析：利用DTFT的频移特性(调制定理)。解：由Euler公式 根据DTFT的频移特性和线性特性，可得图(b) 为的频谱，图(c) 为的频谱，图(d)为在一个周期内的波形。(a) xk的频谱(b) 的频谱(c) 的频谱 (d) yk的频谱结论：序列xk乘以后其频谱是将xk的频谱在频域向左右搬移，这是离散时间信号幅度调制的理论基础。【例4-4-4】试求实偶对称序列的频谱。分析：序列可表示为，可以看成的偶分量，利用的频谱和DTFT的对称特性即可计算频谱。解：由指数序列的频谱，有将X(ejW)表示为实部和虚部的形