大一经典高数复习资料经典最新经典全面复习

1、高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数O函数基础（高中函数部分相关知识）（）O邻域（去心邻域）（）Ua,XlXaoU a,X10 X a第二节数列的极限O数列极限的证明（）【题型示例】已知数列Xn ,证明 Iim XnaX【证明示例】N语言1由Xna化简得n g ,Ng2.即对0,Ng,当nN时，始终有不等式Xna成立，Iim XnaX第三节函数的极限O X Xo时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f X ,证明IimfX AX xo1由f X A化简得0X Xgg2 即对0 ,g ,当0X X0时,始终有不等式fX A成立，Iim f XA【证明示例】语言X xoO X

2、时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f X ,证明Iim f X AX【证明示例】X语言1由f X A 化简得X g , Xg2.即对0, X g,当X X时，始终有不等式f X A成立， Iim f X AX第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质（）函数f X无穷小 Iim f X 0函数f X无穷大 Iim f XO无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设f X为有界函数，g X为无穷小，则 Iim f X g X 0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f X 为无穷大，则f 1 X为无穷小；反之，若f X为无 穷小，且f X 0,则f 1 X为无穷大【题型示例】计算:

3、1 . f X IimX X0M 函数f XX (或X在X X0的任一去心邻域U(V f XX0,内是有界的;在X D上有界；）2. HgX (imgX3 .由定理可知0即函数g X是XX0时的无穷小;0即函数时的无穷小；）IimX XXgX（lim f XX第五节极限运算法则O极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式P X设：q XP X、ma°xb°nq X商式的极限运算1max0nbn则有Iim P色nmX q X0nmfX00gXgX0f XIimgX0,f X0 g X00gXf X00（不定型）时，0子分母约去公因式即约去可去间断点便

4、可求解出极 限值，也可以用罗比达法则求解）（特别地,IimXxOgX通常分【题型示例】求值Iim 2X 3 X2212【求解示例】解：因为 X 3 ,从而可得X 3 ,所以原解: IimXXm3Iimx 3 X 3Iimx3X其中X 3为函数f X的可去间断点X 9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）解:Iim -4X 3X03 03 Iim9 LX 3X 3X29IimX 3 2xO连续函数穿越定理 （复合函数的极限求解）（） （定理五）若函数 f X是定义域上的连续函数，那么，Iim f X f Iim XX XDX x0【题型示例】【求解示例】求值:时：2 9X 3f"X

5、 3Iim I 2“ Iim 2x3x9.x3x 9第六节极限存在准则及两个重要极限O夹迫准则（P53） （）第一个重要极限:Sin XX 0, ， Sin X X tanx2IimSX 0X OSinXIimX o Sin xlim1X OSin XXIim2x 1Iim2x 1Iim2x 1e(特别地，Iim Sin(X xo) 1)X xoX X0O单调有界收敛准则(P57) ()X1第二个重要极限：Iim 1eXXg XIim g X (It(一般地，Iim f XIim f X,其中Iim f X 0)【题型示例】求值:【求解示例】Iim 2XX3 x1X 12x 32x 12x 2

6、2x 12x 12x 1IimX2x 12X 12x 1 22x 1IimX 1X 1Iim2x 12x 12x 1Iim2x 12-2122x 12Iim X 12x 1TXe第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） O等价无穷小（）1.U SinU tanU arcsinU arctanU ln(1 U )1 22. U 1 CoSU2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：Iim In 1 x2 xIn 1 XX 0 X 3x【求解示例】0,所以原式l. In Iim1X2xIn 1 XX 0XJ3x1 X XX11IimIimx0xx 3X 0X33解：因为X0,即X1 X In 1 X

7、IimX 0 XX 3第八节 函数的连续性O函数连续的定义（）Iim f X Iim f X f X0X X0X X0O间断点的分类（P67） （）第一类间断点（左右极限存在）跳越间断点（不等）可去间断点（相等）第二类间断点无穷间断点（极限为（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数2x0应该怎样选0择数a ,使得f X成为在R上的连续函数?【求解示例】f 0f 02 0 1e e ea 0 aa2 .由连续函数定义Iim f XX 0Iim f XX 02x 1f 0 e第九节 闭区间上连续函数的性质O零点定理（）【题型示例】证明：方程f X g X C至少有一个根 介

8、于a与b之间【证明示例】【题型示例】求函数 f 1 X的导数【求解示例】由题可得 f X为直接函数，其在定于域 D上单调、可导，且 f X1.（建立辅助函数）函数Xf X g XC在闭区间a,b上连续；2.ab 0 (端点异号)3.由零点定理，在开区间a,b内至少有一点,使得0 ,即fgC 0 ( 01)4.这等式说明方程f Xg XC在开区间a,b内至少有一个根O复合函数的求导法则（） 【题型示例设y ln earcsinE .【求解示例】解:1arcsIn ,： e孑，求第二章导数与微分第一节导数概念O高等数学中导数的定义及几何意义（P83） （）【题型示例】已知函数f XeX1X0卄C在

9、X 0ax bX0处可导，求a,b【求解示例】0 Jlf 0e01e0 121f0e 1，f 0bf0af 0e0 12f 0f 0a 12由函数可导定义1Jx2 1arcs in X21e2 2X aarcs in X2 1 e2 2.X a1 X2 12 . 2 a22x1arcsin .：x2 12 叮 X12xarcs in X2 1 e厂22.X a2 x22J2 a21arcsin J 1XPrXarcs in. ；x2 1 e22.X aJX 1 2一22 2XX a第四节高阶导数O f nnXfnn 11X(或 dxyAy) C)2X的n阶导数y 2=1arcs in、X 1

10、e. X a 1,b2f 0f 0f 0 b 2【题型示例】求 yf X在Xa处的切线与法线方程（或：过y f X图像上点a, f a处的切线与法线方程）【求解示例】1. y f Xy 1X af:a2.切线方程：yf af a X a法线方程：yf a1X af a第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则 O函数和（差）、积与商的求导法则（）1线性组合（定理一）：（UV） U V 特别地，当1时，有（UV） UV2.函数积的求导法则（定理二）：（UV） U V UV3函数商的求导法则（定理三）U UV UVV2第三节反函数和复合函数的求导法则O反函数的求导法则（）【题型示例】求函数 y1【求

11、解示例】n 11) (n1! (1InX nX)（第五节隐函数及参数方程型函数的导数O隐函数的求导（等式两边对X求导）（）y X ey所给定的曲线C :的切线方程与法线方程ye两边对X求导【题型示例】试求：方程y y X在点1【求解示例】由ey切线方程:e,1化简得y1 ey y11 e法线方程：y 11 e X 1 eO参数方程型函数的求导Xt【题型示例】设参数方程，求d-yy t dx0,函数f X在闭区间间0, 上可导，并且2 由拉格朗日中值定理可得,0,x上连续，在开区0,X使得等式【求解示例】1.dydxdy2t 2 d y dx 22t dxt第六节变化率问题举例及相关变化率（不作

12、要求） 第七节函数的微分O基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dy f X dx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理O引理（费马引理）（）O罗尔定理（）【题型示例】现假设函数f X在0, 上连续，在0,上可导，试证明：0,使得f cosf Sin 0成立【证明示例】1.（建立辅助函数）令 X f X Sin X显然函数X0, 上可导；在闭区间0,上连续，在开区间2.又0f0 Sin0 0fSin0即 003.由罗尔定理知0,使得fCOSfSin0成立O拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当 X 1时，ex e X 【证明示例】X1.（建立辅助函数）令函数 f X e ,则对 X

13、1 ,显然函数 f X在闭区间1,x上可导，并且f X2 .由拉格朗日中值定理可得，ex e1X 1 e 成立，1X 1又 e e , e e化简得ex e X ,即证得：当1, X上连续，在开区间Xe ;1,x使得等式X 1 e1e X e,X 1 时，ex e X【题型示例】证明不等式：当X 0时，In 1 X X【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数f X In 1 X ,则对In 1 X In 1 0X 0成立,11化简得In 1 X 一 X ,又 0, X ,11 , In 1 X 1 X X,1即证得：当X 1时，eX e X第二节罗比达法则O运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（

14、）1. 等价无穷小的替换（以简化运算）2. 判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比 达法则的三个前提条件A.属于两大基本不定型（,）且满足条件,0f Xf X则进行运算：IimIimXagXXag X（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B . 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） 0 型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：Iim X In XX 0【求解示例】解：m0XInXIimIn X1 LIimIn X丄XIimIim X 0a X 0般地，Iim X In XX 00,其中X型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值:【求解示例】1 1 Iimx 0 sin X XX1

15、XX解: IimX 0 SinxmoHXSin X,. X Sinx ” X SinX IimIim2-XOXSi n XX 0 Xlim -X 0CoSX o2x LXim)COSX2xO0型（对数求极限法）2X000X0【题型示例】求值：Iim XX 0【求解示例】(1)解：设y xx,两边取对数得：InyInxIn X Xln X1X对对数取X0时的极限：Iim In yX 0JIim XX 01通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性O连续

16、函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数f X 2x3 9x2 12x 3的单调区间【求解示例】1.函数f X在其定义域R上连续，且可导 f X 6x2 18x 12IxLIim0 1XIn X Iim0Iim X 0，从而有 Iim yX 0X 0（对数求极限法）【题型示例】求值:Iim cosXX 0【求解示例】IimenyX 01Sin X X1解：令y cosX Sinxx,两边取对数得In yIn对In y求X 0时的极限,InIimIn y Iim X 0X 0Iim In yeX 0CoSXXcosX SinxSin X2 .令 fx 6x1x20,解得：x11,x220

17、0 In cosX Sinx IimL X 0Xir、， Iim In yIim y= Iim eI yex 0X 0， X 01. cosX SinX Iim0 cosX SinXW 1,从而可得0型（对数求极限法）【题型示例】求值:【求解示例】叫IKtan X11解：令y -，两边取对数得Iny tanx In -XX对In y求X0时的极限，凹町Iim tan X InX 0IimX 0In X1LIimX 0tan XIn X1tan X-IimxX 0 SeC Xtan2 XmoHXX2slmoHX2si X cosX Ii mX 00,从而可得Iim y= Iim eln yX O

18、 丿 X 0Iim In yex 0O运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）X,111,222,f X00f XZ极大值极小值Z3.（三行表）4.函数f X的单调递增区间为，1,2,单调递减区间为1,2【题型示例】证明：【证明示例】当 X0时,Xe X 11 .（构建辅助函数）设XexX 1 , ( X 0)2.XX e1 0，(X '0)X0 03.既证：当 X0时，Xe X1【题型示例】证明：当 X0时,In 1 X X【证明示例】1.（构建辅助函数）设 X In 1 X X, （ X 0）3 .既证：当X 0时，In 1 X XO连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数y 1

19、3x2凹凸性及拐点X3的单调性、极值、【证明示例】y363 X 21.y66 6X1y3X 2010,222.令解得：y6X 10X 1X(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y0/0y/y1-(1,3)5n3.（四行表）尺代 、.一H-第八节第七节第八节函数y1 3x2X3单调递增区间为（0,1）,（1,2单调递增区间为（,0) ,(2,)；函数y1 3x23X的极小值在X0时取到，为f 01,极大值在X 2时取到，为f 25;函数y1 3x22X3在区间（，0）,（0,1）上凹，在区间(1,2),(2,）上凸；函数y1 3x2X3的拐点坐标为1,3U XmD，使得对 XoU Xm ,都

20、适合不等我们则称函数f X在点m, f Xm 处有极小值令Xm则函数f Xm min f【题型示例】求函数【求解示例】1.函数f在其定义域3x21,3上连续，且可导2 .令 f X1,X2X11,111,3f X00f X极小值Z极大值解得：X13.（三行表）4 .又 f2,f 12,f 318f 318F X的导函数第五节函数的极值和最大、最小值O函数的极值与最值的关系（）设函数f X的定义域为 D ,如果 XM的某个邻o域UXMD ,使得对 XUXM ，都适合不等式f X f XM ，我们则称函数f X在点XM, f XM处有极大值 f Xm ；令 XMXM1, xM 2，XM3>.

21、> XMn则函数f X在闭区间a, b上的最大值 M满足:ma f a , XM 1, XM 2，XM 3 ,., XMn , f b设函数f X的定义域为D，如果 Xm的某个邻域Xm，Xm；m1, m2 , Xm3 ,，Xmn在闭区间a,b上的最小值 m满足:a , Xm1, Xm2 , Xm3 ,Xmn , f bf X 3 3在1,3上的最值f 12, f X imaxmin函数图形的描绘（不作要求） 曲率（不作要求） 方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质 O原函数与不定积分的概念（） 原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数为F X ,即当自变量X

22、I时，有F X f X或dF X f X d成立，则称 FX为f X的一 个原函数原函数存在定理：（）如果函数f X在定义区间I上连续，则在I上 必存在可导函数 F X使得FX f X ,也就是 说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间I上，函数f X的带有任意常数项 C的原函数称为f X在定义区间I上的不定积分， 即表示为： f X dx F X C（ 称为积分号，f X称为被积函数，f X dx称 为积分表达式，X则称为积分变量）O基本积分表（）O不定积分的线性性质（分项积分公式）（）k1 f X k2 g X d k1 f X d k2 g d第二节换元积分法

23、O第一类换元法（凑微分）（）（dy f X d的逆向应用）f X XdX f Xd X11【题型示例】求PdX X【求解示例】1解： dxa X【题型示例】XXa=1dx、2x 1XIiX arcta n a a【求解示例】1解：12x 112x 1 CO第二类换元法（去根式）（dy f X dx的正向应用）对于一次根式（a 0,b R）:d 2x2*2x 1第三节分部积分法O分部积分法（）设函数U f X , VgX具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：UdV UV VdU分部积分法函数排序次序：“反、对、幕、三、指”O运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积

24、函数排序；就近凑微分：（VdX dv）使用分部积分公式： UdV UV VdU展开尾项 VdU VUdX ,判断a.若 V UdX是容易求解的不定积分，则直接计 ax b :令 t ax b ,于是t2 bXa算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b.若 V UdX依旧是相当复杂，无法通过 a中方则原式可化为t对于根号下平方和的形式（a0 )：、a2 x2 :令 X ata nt （ t ）， 2 2X于是t arctan ,则原式可化为a sect ； a对于根号下平方差的形式（a 0）:法求解的不定积分，则重复、，直至出现 容易求解的不定积分；若重复过

25、程中出现循环， 则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求ex X2dx【求解示例】解：ex x2dxx2exdx x2dex x2ex exd x2x2ex 2 X exdx x2ex 2 x d ex解：a2 X2 dxX aSint(t arcs in dx a cost1 cos2t dt1Si n2t2a. 、a2x2 :令 X a si nt ( t )，2 2X于是t arcsin,则原式可化为a cost ;ab. x2 a2 :令 X a sect ( 0 t2a于是t arccos-,则原式可化为 ata nt ；X1【题型示例】求 dx (一次根式)2x 1【

26、求解示例】解： r1dx t 121 tdt dt t C 21 C2x 1X 2t 2 tdx tdt【题型示例】求.a2 X2 dx （三角换元）【求解示例】222 aa cos tdt22aC t Sin t costC2x2ex 2xex 2 exdx x2ex 2xex 2ex【题型示例】求 ex Sin XdX【求解示例】解：ex Sin XdXexd cosxX ecosxcosxd exX ecosxXXe COSXdX ecosxX . e dSin XX ecosxXe SinX SinXdX eX ecosxXXe Sinxe Sin XdX即：ex Sin XdXex

27、cosx ex Sin XSin Xd exX1Xex Sin XdXex Sin X cosx C2第四节 有理函数的不定积分O有理函数（）Pmm 1XPXaOXa/am设：-Q X q Xb0xn b1xnbnP X对于有理函数，当P X的次数小于 Q X的Q XP X次数时，有理函数是真分式；当P X的次数P X第五章定积分极其应用大于Q X的次数时，有理函数是假分式O有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）P X将有理函数的分母Q X分拆成两个没有Q X公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示k为一次因式 X a ；而另一个多项式可以表示为 二次质因式 X2 PX q , （ p2

28、 4q 0）； 即：Q XQ1 X Q2 X般地：mx nm XnC ?则参数anmm2 I2bCax bxC aXX aa则参数PbC,qaa第一节定积分的概念与性质O定积分的定义（）X dXi Xi（f X称为被积函数，f X dx称为被积表达式，X则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限,a,b称为积分区间）O定积分的性质（）bb f X dx f U duaaa f x dx oab kf X dxa（线性性质）k1 f x k2g Xbk f x dxabdx k1 f X dxabk2 g x dxP X则设有理函数的分拆和式为:Q XP XR XP2 XQ XXk a2XP

29、Xlq其中P XAAAkk2kX aXaX aX aP2 XM1x N1M2X N22XPXql2XPXq22XPXqMlx Nl2XPXq参数 A, A,AM1NiM2N2MlNi由待定系数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解2【题型示例】求 dX （构造法）X 1【求解示例】dx1X 1 X X 11dXX 1dXXdXdX11 2dX X X l n X 1 CX 12第五节积分表的使用（不作要求）（积分区间的可加性）bCbf X dx f x dx f x dxaaC若函数f X在积分区间a, b上满足f X（推论一）若函数足f X（推论二）X dxX、函数g X在积分区间 a, b上满bbg X ,贝Uf X dx g X dx ；aaX dxO积分中值定理（不作要求） 第二节微积分基本公式O牛顿-莱布尼兹公式（）X dx（定理三）若果函数 F X是连续函数f X在区间a,b上的一个原函数，则bf X dx F