桥梁结构振动与稳定分析

1、东南大学交通学院东南大学(20142015)年第一学期桥梁结构振动与稳定分析研究报告成 绩：姓 名：高明天学 号：145511专 业：桥梁与隧道工程授课教师：万 水日 期：2015年1月目录2薄板的振动理论及应用 2.1薄板的自由振动薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。（1）试求薄板振动的频率，特别是最低频率。（2）设已知薄板的初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时的挠度。设薄板在平衡位置的挠度为，这时，薄板所受的横向静荷载为。则薄板的弹性曲面微分方程为： （a

2、)式（a)标示：薄板每单位面积上所受的弹性力和它所受的横向荷载q成平衡。设薄板在振动过程中的任意瞬时t的挠度为，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的弹性力，将与横向荷载q及惯性力成平衡，即 （b)薄板的加速度是，因而每单位面积上的惯性力是其中为薄板每单位面积内的质量（包括薄板本身的质量和随同薄板振东的质量），则式（b）可以改写为 (c)将式（c）与式（a)相减，得到由于不随时间改变，所以上式可以改写成为 (d)命薄板在任意瞬时的挠度为，而式(d)成为或 （2-1）这就是薄板自由振动的微分方程。微分方程(2-1)有如下形式的解答： （2-2）在这里，薄板上每一点(x,y)的挠度，被标示成为无数多个简

3、谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是。另一方面，薄板在每一瞬时t的挠度，则被标示成为无数多钟振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数标示的。为了求出各种振形下的振形函数，以及与之相应的频率，我们取代入式(2-1),然后消去因子，得出所谓振形微分方程 （2-3）如果由这一微分方程求得W的满足边界条件的非零解，即可由关系式 （e）求得相应的频率。自由振动的频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板的固有特性，而与外来因素无关。实际上，只有当薄板的为常量时，才有可能求得函数形式的解答。这时，命 （2-4)则方程（2-3)简化为常系数微分方程 （2-5）现在就可能比较简便地

4、求得W的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的值，然后再用（2-4）式求出相应的频率。将求出的那些振形函数及相应的频率取为及，代入表达式（2-2），就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数及。设初始条件为则由（2-2）式得于是可见，为了求得及，必将已知的初挠度及初速度展为的级数，这在数学处理上是比较困难的。因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠度。在绝大多数的情况下，只能求得各种振形的振形函数及相应的频率。2.2四边简支的矩形薄板的自由振动 取振形函数为 （2a）其中m及n为整数，可以满足边界条件，代入（2-5）式，得 图2-1为了这一条件在薄板中

5、面上的所有各点都能满足，也就是在x和y取任意值时都满足，必须有 （2b）将式（b）代入（2-4）式，得出自然频率的公式 （2c）命m及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率 （2-6）当薄板以这一频率振动时，振形函数为而薄板的挠度为 （2d)则薄板在自由振动中任一瞬时的总挠度为 （2e)初挠度及初速度标示成振形函数的级数为： （2f)按照级数展开的公式，有 （2-7）根据初始条件由式（2e)及式（2f)得由此得 代入式（2e),即得完整的解答如下： （2-8）2.3两对边简支的矩形薄板的自由振动设薄板的x=0及x=a的两边为简支边。取振形函数为 （3a)其中Ym只是y的函数，可以满

6、足该简支边的边界条件。将式（3a）代入（2-5），得出常微分方程 （3b）它的特征方程式 图2-2而这个代数方程的四个根是 （3c）大多数情况，而式（3c)所示的四个跟是两实两虚，可以写做注意，取正实数 （3d)则上述四个跟成为及，而式（b)的解答可以写成从而得振形函数的表达式 （2-9）在少数情况下，而式（3c)所示的四个跟都是实根。这时，取正实数 （3e）则振形函数的表达式成为 （2-10）其中至由y=0及y=b处的四个边界条件求出。2.4圆形薄板的自由振动薄板的自由振动微分方程仍然是（2-1），即 （4a)但其中，而 仍把方程（4a）的解答取为无数多简谐振动的叠加，即 （4b）为了求出及

7、相应的，取 （4c）代入方程（a)，仍得 （其） （4d）方程（4d）可以改写为 也就是 （4e）显然（4e）的解也是（4d)的解。取 ， n=0,1,2,. （4f）将式（4f)代入式（4e）,得常微分方程或引用量纲一的变量而得这一微分方程的解答是 （4g）其中及分别为实宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数，及分别为虚宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数。将式（4g）代入（4f）,即得。 （2-11）其中至由边界条件求出。2-5用差分法求自然频率基于方程（2-3），在任一典型结点0，有。利用差分公式，可得 其中h是网格间距。引用量纲一的常数 （2-13）则上列差分方程为。（2-14）其中

8、可以通过边界条件求得，有了代入（2-13）就可以得到。2-6用能量法求2-6.1瑞利法前边已提到，薄板的瞬时挠度可以表示成为 （6a）如果以薄板经过平衡位置的瞬时作为初瞬时（t=0），则有由此可见A=0。将常数B归入，则式（a)简化为 （6b）速度的表达式为 （6c）为了简便，假定薄板并不受有静荷载，于是静挠度，而薄板的平衡位置就相应于无挠度时的平面状态。这样，由式（6b)及式（6c）可见，当薄板距平衡位置最远时，则有，从而有。这时，薄板的动能为零而形变势能达到最大值。这个最大势能是 （2-15）如果在薄板只有夹支边和简支边的情况下，上式简化为 （2-16）当薄板经过平衡位置时，我们有，,速度

9、达到最大值。这时，薄板的形变势能为零，而动能达到最大值。按照式（6c),这个最大动能是 （2-17）根据能量守恒定理有，即这是的一组m个齐次线性方程。为了W具有非零解，必须具有非零解，因而该线性方程组的系数行列式必须等于零。这样就得出求解的方程。2-6.2里茨法为了求得比较精确的最低自然频率，里茨建议把振形函数取为 （2-18）其中是满足边界条件的设定函数，是互不依赖的待定函数。选使得为最小，即 （2-19）这是的一组m个齐次线性方程。为了W具有非零解，必须具有非零解，因而该线性方程组的系数行列式必须等于零。这样就得出求的方程。对于圆形薄板，宜用极坐标进行分析。为此，振形函数须改用极坐标表示，

10、即 （2-20）与此相应，也须改用极坐标表示，可得（2-21）当全部边界为夹支边时，可得 （2-22）同样，也须改用极坐标表示，可得 （2-23）对于圆形薄板的轴对称自由振动，可得 （2-24）当全部边界为夹支边时，可得 （2-25）最大动能的公式（2-23）则简化为 （2-26）当薄板上尚有集中质量随同薄板振动时，还须按照设定的振形函数W，求出集中质量的最大动能，计入，然后进行计算。2-7用能量法求自然频率举例例题1：图2-3中所示的夹支边矩形薄板，用瑞利法求最低。把振形函数取为 （7a）可以满足位移边界条件。代入公式（2-16），得到 图2-3将式(7a)代入公式（2-17），假定为常量，

11、得于是由得出 从而得到 （7b）对于正方形薄板，a=b，我们得到 与精确解答几乎一致。例题2：考虑四边简支的矩形薄板，图2-4，用里茨法求最低自然频率。取振形函数为（7c）可以满足位移边界条件（同时也能满足内力边界条件）。代入公式（2-16），得 图2-4将式（7c)代入公式（2-17），假定为常量，得于是由得出命方程的系数行列式等于零（即该系数等于零），得到与精确解相同例题3：考虑半径为a的夹支边圆板，用瑞利法求最低自然频率。取振形函数为 （7d）可以满足边界条件。代入公式（2-25），得将式（7d)代入公式（2-26），假定为常量，得命，即得比精确解答只大出1%。2-8薄板的受迫振动现在来

12、讨论薄板在振动力荷载作用下进行的振动，即所谓受迫振动。薄板的受迫振动微分方程，可以和自由振动微分方程同样的导出如下。设薄板只受横向静荷载q=q(x,y)而不受任何动力荷载，在发生静挠度以后处于平衡状态，则薄板每单位面积上所受的弹性力，将与静荷载成平衡，即 （8a）设薄板在动力荷载的作用下进行振动，而在振动过程中任一瞬时的挠度为，则薄板每单位面积上所受的弹性力，将与静荷载q、动荷载及惯性力成平衡，即 （8b）将惯性力代入上式以后，得 （8c）将式（8c）与式（8a）相减，得由于不随时间而变，所以上式可以改写为 （8d）注意就是薄板在任一瞬时的、从平衡位置量起的w，即可由上式得 （2-27）这就是

13、薄板受迫振动微分方程。为了求解薄板的受迫振动问题，必须首先求解该薄板的自由振动问题，求出它的各种振形的振形函数以及相应的自然频率，然后将它所受的动力荷载展为振形函数的级数，即 （2-28）现在，把微分方程（2-27）的解答取为如下的形式： （2-29）将（2-28）及（2-29）两式代入（2-27）式，得 （8e）另一方面，由（2-5）及（2-4）两式可得 （8f)在将式（8f）代入式（8e)的左边，然后比较两边的系数，得 （8g)常微分方程（8g）的解答可以标示成为 （8h）其中的是任一特解。系数及则必由初始条件来确定，与自由振动的情况下相同。将式（8h)代入（2-29）式，即得薄板在任一瞬

14、时的挠度： （2-30）例题：设简支边矩形薄板受有动力荷载 （8i）这标示：动力荷载的分布形式保持不变，但它的数量却以频率周期性地随时间变化。已知简支边矩形薄板的振形函数为 （8j）首先把动力荷载的表达式（8i）展为振形函数的级数： （8k）即按照重三角级数的展开公式，我们有 （8l）现在，将式（8k）及式（8j)一并代入（2-28）式，即可见而常微分方程（8g）成为这一微分方程的特解可以取为于是由（2-30）式得挠度的表达式（8m）并从而得到速度的表达式（8n）设动力荷载开始作用时，薄板是静止地处于平衡位置，则初始条件为，由后一条件得，从而由前一条件得代入式（8m）,即得挠度的最后解答（8o）其中的系数如式（8l)所示。当动力荷载的频率趋于薄板的某一个自然频率时，解答（8o）中相应的一项将具有0/0的形式，不便讨论。因此，利用关系式将上述一项变换为当趋于时，