第九章多元函数微分法及其应用教案

1、第九章多元函数微分法及其应用【教学目标与要求】1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握多元复合函数偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极 值存在

2、的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大 值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。【教学重点】1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；【教学难点】1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。【教学课时分配】（18学时）第1次课&#

3、167;1第2次课§ 2第3次课§ 3第4次课§ 4第5次课§ 5第6次课§ 6第7次课§ 7第8次课§ 8第9次课习题课【参考书】1 同济大学数学系高等数学（下），第五版 高等教育出版社2 同济大学数学系高等数学学习辅导与习题选解，第六版高等教育出版社3 同济大学数学系高等数学习题全解指南（下），第六版高等教育出版社§9 1多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1 区域由平面解析几何知道当在平面上引入了一个直角坐标系后平面上的点P与有序二元实数组(X y)之间就建立了一一对应于是 我们常把有序实数组(X y)与平

4、面上的点P视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面二元的序实数组(X y)的全体即R2 R R (x y)| X y R就表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作E (xy)| (X y)具有性质 P例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C (xy)| X2 y2 r2如果我们以点P表示(X y) 以IoPl表示点P到原点0的距离那么集合C可表成C P| | OPI r邻域设Po(xoyo)是XOy平面上的一个点是某一正数与点Fb(XOyo)距离小于的点P(X y)的全体称为点Po的邻域 记为U(Pb即U(Po, ) PPPoI 或U(B) (,y)

5、(X Xo)2 (y yo)2邻域的几何意义U (Po)表示XOy平面上以点Po(xo yo)为中心、>o为半径的圆的内部的点P (X y)的全体点Po的去心邻域 记作U(Pl ) 即U(P), ) Po PoP注如果不需要强调邻域的半径则用U (Po)表示点Po的某个邻域点Po的去心邻域记作U (Po)点与点集之间的关系任意一点P R2与任意一个点集 E R2之间必有以下三种关系中的一种(1) 内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P) E 则称P为E的内点(2) 外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P) E则称P为E的外点(3) 边界点如果点P的任一邻域内既有属于E

6、的点也有不属于E的点 则称P点为E的边点E的边界点的全体称为E的边界 记作 EE的内点必属于E E的外点必定不属于 E 而E的边界点可能属于 E也可能不属于E聚点如果对于任意给定的o 点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点 则称P是E的聚点由聚点的定义可知点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E例如设平面点集E (xy)1X2 y2 2满足1 X2 y2 2的一切点(X y)都是E的内点 满足x2 y2 1的一切点(X y)都是E的边界 点 它们都不属于E 满足X2 y2 2的一切点(X y)也是E的边界点它们都属于E 点集E以及它的界边E上的一切点都是 E的聚点开集如果点集E的点都是内点则

7、称E为开集闭集如果点集的余集EC为开集则称E为闭集开集的例子 E (xy)1<X2 y2<2闭集的例子 E (xy)|1 X2 y2 2集合(xy)|1x2 y2 2既非开集也非闭集连通性 如果点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E 则称E为连通集区域(或开区域) 闭区域y)x2y2有界集例如 E (xy)|1x2y22例如E连通的开集称为区域或开区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域2对于平面点集E,O是坐标原点一个集合如果不是有界集集合(x y)x2y2X y1是无界闭区域(x其中无界集 例如集合(x y)l2 n维空间设n为取定的一个自然数 构成的

8、集合即RnRRE如果存在某一正数r 使得U(O r)则称E为有界点集就称这集合为无界集2是有界闭区域 集合(x我们用Rn表示n元有序数组(xR (xX2y)l X yX2Xn)l1是无界开区域Xn)的全体所XiRiI 2nRn中的元素(X1X2Xn)当所有的X (i 1或O在解析几何中立对应2通过直角坐标因而Rn中的元素X (x量Xi称为点X的第i个坐标或n维向量坐标原点或n维零向量Xn)有时也用单个字母X来表示n)都为零时称这样的元素为R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建Rn中的一个点或一个n维向Rn中的零元0称为Rn中的X2Xn)也称为X的第i个分量 特别地X2(X1R

9、n中的零元记为0多元函数概念例1圆柱体的体积 V和它的底半径r、高h之间具有关系Vr2h这里 当r、h在集合(r h) | r>0h>0内取定一对值(r h)时V对应的值就随之确定例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系RTP V其中R为常数这里值就随之确定当V、T在集合(V T) | V >0T>0内取定一对值(V T)时 P的对应定义1设D是R2的一个非空子集称映射f D R为定义在D上的二元函数通常记为Z f(x其中点集D称为该函数的定义域y) (X y) D (或 Z f(P) P D)X y称为自变量Z称为因变量上述定义中与自变量x、y的

10、一对值(Xy)相对应的因变量Z的值 也称为f在点(X y)处的函数值 记作f(x y) 即Z f(x y)值域 f(D) z Z f(x y) (X y) D函数的其它符号Z Z(X y) Z g(xy)等类似地可定义三元函数U f(x y Z) (XyZ)D以及三元以上的函数一般地把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D 映射f D R就称为定义在D上的n元函数通常记为Uf(X1X2Xn)(X1X2Xn)D或简记为Uf(x)X (X1X2Xn)D也可记为Uf(P)P(X1X2Xn)D关于函数定义域的约定在一般地讨论用算式表达的多元函数 Uf(x)时就以使这个算式有意义的变元X的值所组

11、成的点集为这个多元函数的自然定义域因而对这类函数它的定义域不再特别标出 例如函数Z ln(xy)的定义域为(xy)| X y>0(无界开区域)函数Zarcsin(x2y2)的定义域为(xy)| x2y21(有界闭区域)二元函数的图形 点集(x y z)|z f(x y) (X y) D称为二元函数Z f(xy)的图形二元函数的图形是一张曲面三多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 无限接近于一个确定的常数A定义2 :设二元函数f(P)如果在P(X y)则称A是函数f(xP0(x0yo)的过程中对应的函数值f(xy)当(X y) (xoyo)时的极限f(xy)的定义域为 DPo(xoyo)

12、是D的聚点如果存在常数y)A对于任意给定的正数总存在正数使得当P(x, y) D U (Po,)时 都有成立If(P) A| |f(x y) A|则称常数A为函数f(xy)当(Xy)(xgy0)时的极限记为f(x,y)或 f(x y) A (X y) (x0 y0)也记作Iim f(P) A或 f(P) A(P P0)P P)lim(x,y) (X0,y0)上述定义的极限也称为二重极限例 4.设 f(x, y) (x2 y2)sin 丁 2 求证 Iim f(x,y) 0 X y(,y) (0,0)证 因为f(,y) o l(2 y2)sin1y? 0| 2 y2lsin1yd 2 y2可见

13、>0 取则当 0 J(X 0)2 (y 0)2即 P(Xly) D U(Ol )时 总有l f( y) 0|因此Iim f(, y) 0(,y) (0,0)必须注意(1) 二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时函数都无限接近于A(2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时函数趋于不同的值则函数的极限不存在讨论2y 2 2 y2 0函数f(x,y) X y在点(00)有无极限0 2 y2 0提示 当点P(X y)沿X轴趋于点(00)时Iim f(, y) Iim f(,0) Iim 0 0(, y) (0,0)X 0X 0当点P(X y)沿y轴趋于点(00)时Iim f (, y) Iim

14、f(0, y) Iim 0 0(,y) (0,0)y 0y 0当点P (Xy)沿直线y k有1.Xy 1k2kIim 22 Iim22(,y) (0,0) X2 Y X 02 k221 k2y k因此 函数f(y)在(00)处无极限极限概念的推广多元函数的极限多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似例5求Iim沁Y)(,y) (0,2) XIim(,y) (0,2) XIimy IimIim y 12 2(,y) (Q2) Xy(,y) (0,2) Xy (,y) (0,2)四多元函数的连续性定义3设二元函数f(P) f (Xy)的定义域为DR)(Xoyo)为D的聚点 且PoD 如果Iim

15、f (x,y) f(xo,yo)(,y) (o,yo)则称函数f(X y)在点Po(xoyo)连续如果函数f (xy)在D的每一点都连续那么就称函数f (X y)在D上连续 或者称f (Xy)是D上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去类似的讨论可知一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时自的定义域内都是连续的例6设f(x,y) Sin X 证明f(xy)是R2上的连续函数证设Po(xoyo)R20由于Sin X在xo处连续故0 当 |x xo|时有|sin XSin xo|以上述作Po的邻域U(Po)则当P(X y) U(Po)时显然| f(x y)f(x

16、oyo)l|sin XSin xo|即f(xy) Sin X在点Po(xoyo)连续由Po的任意性知Sin X作为Xy的二元函数在R2上连续它们在各定义4设函数f(xy)的定义域为DPo(xoyo)是 D的聚点 如果函数f(x y)在点Po(xoyo)不连续则称Po(xoyo)为函数f(x y)的间断点例如Xy函数f (x, y)X2 y2 oX2 y2 o其定义域DR2O(o o)是D的聚点 f(x y)当(X y) (oo)时的极限不存在所以点O(o o)是该函数的一个间断点1 又如 函数Z Sin p 2其定义域为 D (xy)| x2 y21 圆周C (xX y 1y)| x2 y21

17、上的点都是 D的聚点 而f(xy)在C上没有定义当然f(xy)在C上各点都不连续所以圆周C上各点都是该函数的间断点注间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点连续函数的商在分母不为零处仍可以证明多元连续函数的和、差、积仍为连续函数连续多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数与一元初等函数类似多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的例如XX 2y Sin(X y)ex?" “都是多元初等函数1y2一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 或闭区域所谓定义区域是指包含在定义域内的区域例7求 Iim

18、y(,y) (1,2)Xy般地 求Iim f(P)时 如果f(P)是初等函数PPo且Po是f(P)的定义域的内点则 f(P)在点Po处连续于是Iim f(P) f(F¾)例8求Iim亠(,y) (o,o) Xy五、多元连续函数的性质性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域 D上的多元连续函数必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值性质1就是说 若f(P)在有界闭区域 D上连续则必定存在常数M 0使得对一切P D 有If(P)I M 且存在P1、P2 D 使得f(P1) maxf(P) P Df(P2) minf(P) P D性质2 (介值定理)在有界闭区域 D上的多元连续函数

19、必取得介于最大值和最小值之间的任 何值小结1. 区域的概念；2. 多元函数的定义；3. 多元函数的极限及其求解；4. 多元函数的连续性。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意区域的定义和多元函数的定义, 的重点，要结合实例，反复讲解。师生活动设计课后习题：7，8， 9讲课提纲、板书设计作业 P63: 5( 2)( 4)( 6)，6( 2)( 3)( 5)( 6)多元函数的极限和连续性的理解是本节§ 92 偏导数、偏导数的定义及其计算法对于二元函数Z f(x y) 如果只有自变量X变化 而自变量y固定这时它就是X的元函数 这函数对X的导数就称为二元函数Z f(xy)对于X的

20、偏导数定义 设函数Z f(x y)在点(xoyo)的某一邻域内有定义当y固定在yo而X在xo处有增量X时相应地函数有增量f(xoXyo)f(xo yo)如果极限存在则称此极限为函数 Zf(xlim f(xo,yo) f (XO) yo)X oy)在点(xoXyo)处对X的偏导数 记作例如类似地函数X Xo Xy yoX Xoy yoZX X xo y yo或 fx(xo,yo)x,yo) f (xo,yo)fx(Xo,yO) lXmofxoXf(x y)在点(Xo yo)处对y的偏导数定义为Iim f(o,yoy) f(×o,yo)y o记作xoyoxoyoy X Xo y yo或

21、fy(xoyo)偏导函数如果函数Z f(xy)在区域D内每一点(X y)处对X的偏导数都存在那么这个偏导数就是 x、y的函数它就称为函数Z f(xy)对自变量X的偏导函数 记作XZX或 fx(X)Y)偏导函数的定义式fx(x,y)lim f( ,y) f(,y)X oX类似地可定义函数Z f(x y)对y的偏导函数记为-Zy或 fy(X, y)y偏导函数的定义式fy(x,y) Iim f(,yy) f(,y)y oy讨论下列求偏导数的方法是否正确f(o, yo)f(, y) X Xy yofy(X0,y0) fy(X,y)x Xoy yof(x0,y0) ddXf(X,y) x0fy(x0,y

22、0)舟 f(x0,y)y yo偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数U f(x yZ)在点(X y Z)处对X的偏导数定义为f( ,y,z) f (,y,z)f(, y,z)IimX 0X其中(X y Z)是函数U f(x yZ)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1求Z X2 3xy y2在点(12)处的偏导数例2求Z x2sin 2y的偏导数例 3 设 Z Xy(X 0,x 1)求证 X-1-Z 2zy X InXy例4求rX2 y2 Z2的偏导数例5已知理想气体的状态方程为PV=RT(R为常数)求证因为RTVRTPPVR卫VVTRT2所以弋RTRT IPV说明

23、的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商二元函数Z f(xf(0y0)f(xfy(0y0)f(0偏导数与连续性y)在点(0y0)的偏导数的几何意义y0)是截线Z f(xy)y是截线Zf(0对于多元函数来说y0)在点M0处切线TX对X轴的斜率y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续例如f(,y)Xy-22X y0X2X2y2在点(00)有f(00)提示fy(00)但函数在点(00)并不连续f(,0) 0f(0, y) 0f(0,0) ddXf(,0) 0 fy(o,o) djyf(°-y) 0当点P(X y)沿X轴趋于点(00)时有

24、Iim f(, y) Iimf(X,0) Iim 0 0(, y) (0,0)X 0X 0当点P(X y)沿直线y k趋于点(00)时有.Xyrk2kIim 22 Iim 2厂22(,y) (00) X y X 0 k X 1 ky k因此Iim f (,y)不存在 故函数f(x y)在(00)处不连续(,y) (0,0)类似地可定义函数Z f( y)对y的偏导函数记为Z yfZy y或 fy(X, y)偏导函数的定义式fy(X, y)Iim f (X，yy)f(, y)y 0y二高阶偏导数设函数Z f(y)在区域D内具有偏导数X f(, y)y fy(X, y)则称它们那么在D内f(y)、f

25、y(y)都是X y的函数如果这两个函数的偏导数也存在是函数Z f(y)的二偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数Z f( y)在区域D内的偏导数f(y)、fy(xy)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数Z f(y)的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数2zfy(x, y)2z2 f××(X, y)Xy X2zfyx(X, y)(丄)y2fyy(X,y)X2z"x2同样可得三阶、JZXfy(x,y)2ZX y四阶、以及X(JZ yfy(X, y)称为混合偏导数X(；)2Zy X2Z2yn阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导

26、数例6设Z x3y23xy3 Xy1求X23ZX32ZX y由例6观察到的问题2Zy X2ZX y定理如果函数Z f(xy)的两个二阶混合偏导数2-Z在区域D内连续y X X y2z那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7验证函数Z In X2 y2满足方程证因为 Z In X2 y2 2n(x2 y2)所以ZXZyXX2 y2yX2y22Z(x2 y2) X2xy2 X2X2(x2 y2)2(x2 y2)2!z (x2 y2) y2y x2 y2 y2(x2 y2)2(x2 y2)2因此2 2X yT2272(X y )例&证明函数72(X y

27、1U丄满足方程2uX22u2uZ2提示X2 y2 Z2UJrX2r2 X2U1 3xX2r3r42U1 3y2y2r3 r5U2U2y22U (Z2(2UX、其中r证同理XXX21r3丄X2因此一3X3x2T52UZ2丄r33z23x2)Tr)3( X2 r5y2 z2)x-(r3) X r6r31352 0r5x3r2jlXr6小结1偏导数的概念及有关结论：定义，记号，几何意义，偏导数的存在与连续性；2偏导数的计算方法：求导的先后顺序。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意偏导数的定义以及偏导数的求法，特别是求导先后顺序问题是本节的重点，要结合实例，反复讲解。师生活动设计X1.设

28、Z f (U),方程U (U) yP(t)dt确定U是X, y的函数，其中 f(u), (U)可微,P(t), (U)连续，且 (U)1,求 p(y)-z P(X)-Z。X y2课后习题：5，6讲课提纲、板书设计作业 P69: 1 (4) (6) (8) ,4, 6 (3) , 8§ 9 3全微分及其应用、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系有偏增量与偏微分定义如果函数Z f(xy)在点(Xy)的全增量Z f(x X yy) f( y)可表示为Z A x B y o( )(, ( x)2 ( y)2)其中A、B不依赖于x、 y而仅与x、y有关则称函数Z f(xy)在点(X

29、y)可微分f(xX y) f(x y)fx(xy) Xf(xX y)f(xy)为函数对X的偏增量fx(Xy)X为函数对X的偏微分f(xy y) f(x y)fy(y) yf(xy y)f(xy)为函数)对y的偏增量f y(xy)y为函数对y的偏微分全增量Z f(x X y y)f(x y)计算全增量比较复杂我们希望用 X、y的线性函数来近似代替之记作dz 即称A X B y为函数Z f(x y)在点(X y)的全微分dZ A x B y如果函数在区域D内各点处都可微分那么称这函数在D内可微分可微与连续可微必连续但偏导数存在不一定连续这是因为如果Z f(xy)在点(Xy)可微则Z f(xX yy

30、) f(x y) a XB y o()于是Iim Z OO从而Iim(X, y) (0,0)f (X X, yy) limof(x, y)Z f (X, y)因此函数Z f(xy)在点(Xy)处连续定理1(必要条件)如果函数Z f(x y)在点(X y)可微分则函数在该点的偏导数-Z、一Z必定存在且函X y数Z f(xy)在点(Xy)的全微分为dz x yX y证设函数Z f(x y)在点P(X y)可微分 于是 对于点P的某个邻域内的任意一点P(XXyy)有ZAXByo() 特别当 y0时有f (XXy) f(xy) A X o(x|)上式两边各除以X再令X 0而取极限就得IimX 0f(x

31、,y)Xf(x,y) A从而偏导数X存在且Z XA同理可证偏导数-存在y且Z B y所以dzZXZyXy简要证明设函数Zf(xy)在点(Xy)可微分于是有ZAXB y o()特别当 y O时有f (XXy) f(xy) A X o(|X)上式两边各除以X 再令X 0而取极限就得Iimf (X ,y)f(x,y)Iim AO(I Xl) AX 0XX 0X从而Z存在且-ZA同理Z存在且Z B所以dZ Z X Z yXXyyXy偏导数、-Z存在是可微分的必要条件但不是充分条件例如函数f (x, y)斗2 y2vx2 y2OX2 y2O) O但函数在(OO)不可微分穷小这是因为当(Xy)沿直线y X

32、趋于(OO在点(OO)处虽然有f x(OO) O及 f y(OO即 Zfx(OO) X fy(OO)y不是较高阶的无Z f(O,O)Xfy(O,O) yO)时X yX X 1 O()2 ( y)2 ( )2 ( )22定理2(充分条件)如果函数Z f(x y)的偏导数 、-Z在点(Xy)连续则函数在该点可微分X y定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数按着习惯x、y分别记作dx、dy并分别称为自变量的微分贝U函数Z f(x y)的全微分可写作dz -ZdX -Zdy X y二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上的函数例如函数U

33、f (X y Z)的全微分为du -UdX -Udy -UdZ XyZ例1计算函数Z X2y y2的全微分例2计算函数Z eXy在点(2 1)处的全微分例3计算函数U X Sin * eyZ的全微分小结1. 全微分的定义；2. 可微、可导、连续性之间的关系。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意全微分的定义，可微、可导、连续性之间的关系是本节的重点，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1.函数Z f(X, y)在(xO,y°)可微的充分条件是()(A) f(x,y)在(xO,y°)连续；(B) fx(, y), fy(, y)在(0在0()o, yo)的某领域内存

34、在;(C) Z f(, y) X fy(, y) y 当.X)y)20时是无穷小量;(D) Z f(, y) X fy(, y) y" 2 2J( ) ( y)2课后习题：5讲课提纲、板书设计作业 P75: 1( 1)( 3)，3当.()2 ( y)2时是无穷小量§S 9 4多兀复合函数的求导法则设Zf(UV)而U(t)V(t) 如何求dzdt设Zf(UV)而U(Xy) V(X y) 如何求和Xy1复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1如果函数U(t)及 V(t)都在点t可导函数Z f(uV)在对应点(U V)具有连续偏导数则复合函数dz Z du dt U dtZ f

35、 (t)Z dvV dt(t)在点t可导且有简要证明1 因为Z f(uV)具有连续的偏导数所以它是可微的即有ZdU U又因为U 及V%tdtdzdu-ZdVV(t)都可导因而可微dv Vdtdt即有代入上式得dzZdUldtU dt丄需dt (丄譽VdtUdt-ZdV)dtV dt从而dzdt 简要证明Z duU dtZ dvV dt取得增量t时U、V及Z相应地也取得增量U、V及 Z由 Z f(U2当tV）、IU(t)及 V（t）的可微性有ZZUU -V v 。（）-o( t)卒tVdt0(t) 0()(UdU dtZ dV)V dt7t (-UV)O(t) o()ZZdUZ dv(ZU晋0(

36、)tUdtV dtt令t 0 上式两边取极限即得dzZdUZ dvdtUdtV dt注Iim o(t o t）Iim。（）、（t 0U)2 (tV) 2 0(dU)2dt3o推广设Zf (UVW)U(t)V(t) W(t) 则Z f(t)(t)对t的导数为dzZ dUZ dVZ dwdtU dtV dtW dt上述dz称为全导数dt2复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2如果函数U(Xy)V(Xy）都在点(Xy）具有对X及y的偏导数函数Z f（UV）在对应点（UV）具有连续偏导数则复合函数Zf (X y)(X y)在点(X y)的两个偏导数存在且有ZZUZVZZUZ VXUXVXy UyV

37、 y推广设Z f(U VW )U(Xy)V(Xy)W(X y)贝 UZZUZ VZWZZ UZVZWXUXVXWXyU yVy Wy讨论(1)设 Z f(U V) U(Xy)V(y)则-ZZXy提示ZZUZZ UZ dvXUXyU yVdy(2)设 Zf(u X y)且U (X y)则Z 一ZXyZf UfZfUf提示XU XXy Uy y这里 Z与一f是不同的Z是把复合函数Z f (Xy) XXXX数 是把f(u X y)中的U及y看作不变而 对X的偏导数Xy中的y看作不变而对X的偏导-Z与丄也朋类似的区别y y(X3.复合函数的中间变量既有一元函数定理3如果函数U函数Z f(uV)在对应点

38、(Uy)的两个偏导数存在eus in Vf (X, y, Z)UVSin tf(Xf(X又有多元函数的情形(X y)在点(X y)具有对X及对y的偏导数V)具有连续偏导数则复合函数Z函数V(y)在点y可f (X y) (y)在点且有Z dvV dyXyex2y 求 禾口 -ZX yy2Z2而 Z x2sin yetV cos t求全导数dzXyZ)f具有二阶连续偏导数y)的所有二阶偏导数连续(1)()2X由直角坐标与极坐标间的关系式得U f(X y)f( CoS Sin )F(其中Xcos ySin y2应用复合函数求导法则2wW及X X Z把下列表达式转换成极坐标系中的形式)y arcta

39、n 丄XUUUUXUyUXXX2UUUUyUXUyyy2得cosSin两式平方后相加得U ysinU cos再求二阶偏导数同理可得两式相加巳22uX22UX2全微分形式不变性设 Z f(u(-ucos(-ucos22cos22去丿)2(”U Sin)Sin2u Sin cosU 2sin cos U sin22u Sin 222-Sin2U 2sin2uCoS22u 12122u Sin cos2u CoS22V)具有连续偏导数如果Z f(uV)具有连续偏导数U COS21_2u2 2U)则有全微分dz -ZdU dvUV而 U (X y) V(Xy)也具有连续偏导数则dz dx X-Zdyy

40、Z（丿dx 丄dy）二dx dy） UX y V X y-ZdU dv UV由此可见无论Z是自变量U、V的函数或中间变量 U、V的函数 它的全微分形式是一样的这个性质叫做全微分形式不变性例6设Z eusin V U Xy VXy利用全微分形式不变性求全微分解 dz -ZdU -ZdVeusin VdUeucos VdVUVeUsi n V(y dx Xdy ) eUcos V(dx dy)(ye USin V e UCoS V)dx (Xe US in V e UCoS V )dyexy y Sin(X y) cos(x y)dxexy x Sin(X y) CoS(K y)dy小结1复合函数

41、求导的链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”；2.全微分形式不变性。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意复合函数求导的链式法则“分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导”，全微分形式不变性，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1. 已知 f(,y)yx2 1， f(, y)ly2 2x,求 f2(,y)y22. 设函数Z f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)1， |(1,1) 2， |(1,1) 3，Xy(X) f (X, f (x,x),求-d 3(x) |x1dx讲课提纲、板书设计作业 P82： 2，4，6，9，10§95隐函数的求导法则、一个方

42、程的情形隐函数存在定理1设函数F(X y)在点P(Xoyo)的某一邻域内具有连续偏导数F(Xoyo) 0Fy(Xoyo) 0 则方程F(X y) 0在点(xoyo)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y f(x)匕满足条件yf(x°)并有dyFXdxFy求导公式证明将yf(x)代入 F(X y) 0得恒等式F(X f(x)0等式两边对X求导得dX0由于Fy连续且Fy(X0y0)得所以存在(X0yo)的一个邻域在这个邻域同Fy 01dy FX dX Fy1验证方程 的隐函数y解定理1可知设 F(X y)方程X2y2f(X)2 2X y2 2X y0在点(01)的某一邻域

43、内能唯一确定一个有连续导数、当X 0并求这函数的一阶与二阶导数在X 0的值则 FX 2xFy 2y F(01)0Fy(01)2 0 因此由0在点(01)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当X 01的隐函数y f(x)dyFXXdy0dx Fy ydxX 0d2yy Xyyx(A)ydx2y2y2时yy2 X2Jy3 Yl隐函数存在定理还可以推广到多元函数一个二元方程F(X y) 0可以确定一个一元隐函数一个三元方程F(X y Z) 0可以确定一个二元隐函数隐函数存在定理2设函数F(X y Z)在点P(xoyozo)的某一邻域内具有连续的偏导数且F(xoyoZo) 0Fz(oyozo)0则方

44、程F(X y z) 0在点(xoyozo)的某一邻域内恒能唯一确ZFXXFZZyFyFZ公式的证明将Zf(xy)代入F(X yZ)o得 F(X y f(xy) o将上式两端分别对X和y求导得FXFZ-Z oFyFZ-Z oXy因为FZ连续且Fz(xoyoZO)o所以存在点(xoyozo)的一个邻域使Fz o于是得定一个连续且具有连续偏导数的函数Z f( y)它满足条件Zof(oyo)并有ZFXZFyXFZyFZ2z例2 设 X2y2 Z24zo求-Z2X2解设F(Xy Z)X2y2Z24z 则 FX 2x Fy 2z 4Z2xXXFZ2z42 ZJZ (2 X)Xf (2 X)亿)(2 X)2 2X2(2 z)2(2 z)2(2 z)3、方程组的情形在一定条件下由个方程组F(X yUV)OG(XyU V) o可以确疋一对二兀函数U u(x y)V V(X y)例如方程XU yVo和yUXV 1可