极点与系统稳定性

1、极点对系统性能影响一控制系统与极点自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作（s）=Xo（s）/Xi（s），其中Xo（s）、Xi（s）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。使传递函数分母等于零即得到系统的特征方程，特征方程的根称为极点。如试S= C （S-Pi）/(S-Qi) 中Q1 Q2

2、Q3 Qi 即为系统的极点。二极点对系统的影响极点-确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别进行分析：连续系统理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式设系统函数为： 将H(S)进行部分分式展开：系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。稳定性：由上述得知Y(S)= C （S-Pi）/(S-Qi) 可分解为Y(S)=C1/(S-1)+ C2/(S-2)+ C3/(S-3)+ Ci/(S-i)+ 则时间响应为 由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分

3、量的合成。只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。通过复变函数幅角定理将S由G平面映射到GH平面。如果封闭曲线 F 内有Z个F(s)的零点，有P个F(s)的极点，则s沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R为z和p之差，即Rzp。若R为负,表示F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数。F(s)的分母是G0(s)的分母，其极点是G0(s)的极点；其分子是Ø(s)的分母，即Ø(s)的特征多项式，其零点是Ø(s)的极点。取D形曲线（D围线）如图所示，是整个右半复

4、平面。且设D曲线不经过F(s)的任一极点或零点。s沿D曲线顺时针变化一周，F(s)顺时针包围原点的周数为： n=z-p=F(s)在右半复平面的零点数(闭环传函在右半复平面极点数)-F(s)在右半复平面的极点数(开环传函在右半复平面极点数)所以闭环系统稳定的充分必要条件是：n=- p =-开环传函在右半复平面的极点数因此：反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个数Z=P-2N，式中，P为s右半平面开环极点数，N为开环Nyquist曲线逆时针包围(-1 ,j0) 点的圈数，且有N=N+N-其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。正穿越：随着w的增大，开环Nyqu

5、ist曲线逆时针穿越实轴区间(-¥ , -1) 。半次正穿越：逆时针方向离开（或中止于）实轴区间(-¥ , -1) 。负穿越：随着w的增大，开环Nyquist曲线顺时针穿越实轴区间(-¥ , -1) 。半次负穿越：顺时针方向离开或中止于实轴区间(-¥ , -1) 。若开环传递函数有积分环节，开环Nyquist 曲线在w=0时，幅值无穷大，而相角为 。判断稳定性要求w=0开始逆时针补半径为无穷大，角度为 的虚线圆弧。在计算正、负穿越次数时，应将补上的虚线圆弧作为Nyquist 曲线的一部分。(-1,j0)w同样其他稳定性的判别由劳斯判据和赫尔维兹判据 波的

6、图判据等原理相同。都是由特征方程推出S根没有复实部。总结：1.如系统函数H(s)的全部极点落于S域左半平面，则系统稳定。2.如系统函数H(s)有极点落于S右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定。3.若系统函数H(s)没有极点落在右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则系统临界稳定。4. 系统函数的分子多项式的阶次，不应高于分母多项式的阶次。离散系统离散系统稳定性原理与连续系统一样，由于离散系统本身特征稍有改，离散信号是脉冲序列即时间上离散，离散信号是数字序列即幅值上整量化。G(s)因此引入Z变换取代拉斯变换只适用与连续函数，离散时间序列 x(n) 的Z变换定义为X(z)x(n)z-n

7、 ，常用序列的Z变换中ze，为实变数，为实变量，j，所以z是一个幅度为e，相位为的复变量。x(n)和X(z)构成一个Z变换时 。理想的单位脉冲序列：采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号，而单位脉冲串可以作为载波信号，调制过程可以表示为： 则：Z变换为：定义：则：由以上定义得知Z变换，则如何从S平面映射到Z平面：当s< 0，则对应在s左半平面，系统稳定映射到Z平面上 对应在Z平面的单位圆内，脉冲系统稳定； 当s > 0，则对应在s右半平面，系统不稳定，映射到Z平面上 对应在Z平面的单位圆外，脉冲系统不稳定； 当s0，则对应在s平面的虚轴上，系统临界稳定，映射到Z平面上 对应在Z平面的单位圆上，脉冲系统临界稳定。 将Z进行映射变换，离散系统稳定判断依旧能够使用劳斯判据判断。总结：稳定系统的系统函数的收敛域，应该包含单位圆（包含在单位圆内）。即稳定系统的系统函数，其