初三数学-有关圆的经典例题

1、初三数学 有关圆的经典例题 1. 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB、AC在圆心O的异侧时，如以下图所示， 过O作ODAB于D，过O作OEAC于E， OAD=30°，OAE=45°，故BAC=75°， 当AB、AC在圆心O同侧时，如以下图所示， 同理可知OAD=30°，OAE=45°， BAC=15° 点拨：此题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：ABC的顶点A、B在O上，O的半径为R，O与AC

2、交于D， 1求证：ABC是直角三角形； 分析：那么AF=FB，ODAB，可证DF是ABC的中位线； 2延长DO交O于E，连接AE，由于DAE=90°，DEAB，ADF 解：1证明，作直径DE交AB于F，交圆于E 又AD=DC ABBC，ABC是直角三角形。 2解：连结AE DE是O的直径 DAE=90° 而ABDE，ADFEDA 例3. 如图，在O中，AB=2CD，那么 分析： 解：解法一，如图，过圆心O作半径OFAB，垂足为E， 在AFB中，有AF+FB>AB 选A。 解法二，如图，作弦DE=CD，连结CE 在CDE中，有CD+DE>CE 2CD>CE

3、AB=2CD，AB>CE 选A。 例4. 求CD的长。 分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分ADC，延长AB、DC交于E，易得EBCEDA，又可判定AD是O的直径，得ABD=90°，可证得ABDEBD，得DE=AD，利用EBCEDA，可先求出CE的长。 解：延长AB、DC交于E点，连结BD O的半径为2，AD是O的直径 ABD=EBD=90°，又BD=BD ABDEBD，AB=BE=1，AD=DE=4 四边形ABCD内接于O， EBC=EDA，ECB=EAD 例5. 于H，交O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。 1当PCF满足什么条件时，PC与O相切

4、，为什么？ 分析：由题意容易想到作辅助线OC， 1要使PC与O相切，只要使PCO=90°，问题转化为使OCA+PCF=FAH+AFH就可以了。 解：1当PC=PF，或PCF=PFC时，PC与O相切， 下面对满足条件PC=PF进行证明， 连结OC，那么OCA=FAH， PC=PF，PCF=PFC=AFH， DEAB于H，OCA+PCF=FAH+AFH=90° 即OCPC，PC与O相切。 即AD2=DE·DF 点拨：此题是一道条件探索问题，第1问是要探求PCF满足什么条件时，PC与O相切，可以反过来，把PC与O相切作为条件，探索PCF的形状，显然有多个答案；第2问也可

5、将AD2=DE·DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。 例6. D作半圆的切线交AB于E，切点为F，假设AE：BE=2：1，求tanADE的值。 分析：要求tanADE，在RtAED中，假设能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。 解：四边形ABCD为矩形，BCAB，BCDC AB、DC切O于点B和点C， DE切O于F，DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB， 又AE：EB=2：1，设BE=x，那么AE=2x，DC=AB=3x， DE=DC+EB=4x，

6、 在RtAED中，AE=2x，DE=4x， 点拨：此题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。 例7. O1与O2相交于A、B两点，且点O2在O1上， 1如以下图，AD是O2的直径，连结DB并延长交O1于C，求证CO2AD； 2如以下图，如果AD是O2的一条弦，连结DB并延长交O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。 分析：1要证CO2AD，只需证CO2D=90°，即需证D+C=90°，考虑到AD是O2的直径，连结公共弦AB，那么A=C，DBA=90°，问题就可以得证。 2问题是一道探索性的问题，好似难以下手，不妨连结A

7、C，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得1=2，且有AO2CDO2C，故CA=CD，可得结论CO2AD。 解：1证明，连结AB，AD为直径，那么ABD=90° D+BAD=90° 又BAD=C，D+C=90° CO2D=90°，CO2AD 2CO2所在直线与AD垂直， 证明：连结O2A、O2B、O2D、AC 在AO2C与DO2C中 O2BD=O2AC，又O2BD=O2DB，O2AC=O2DB O2C=O2C，AO2CDO2C，CA=CD， CAD为等腰三角形， CO2为顶角平分线，CO2A

8、D。 例8. 如以下图，正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，积S。图中阴影局部 分析：阴影局部面积等于三角形面积减去3个扇形面积。 解： 分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为A+B+C=180°， 原题可在上一题根底上进一步变形：A1、A2、A3An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3An，求n个扇形的面积之和。 解题思路同上。 解：一、填空题10×4=40分 1. ：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为_。 2. 圆内接四边形ABCD中，如果A：B：C=2：3：4，

9、那么D=_度。 3. 假设O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，那么点P到O的切线长为_。 4. 如以下图CD是O的直径，AB是弦，CDAB于M，那么可得出AM=MB，等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：_。 5. O1与O2的半径分别是3和4，圆心距为，那么这两圆的公切线的条数是_。 6. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，那么它的侧面展开图的面积是_。 7. ：如以下图，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是_。 8. 假设PA是O的切线，A为切点，割线PBC交O于B，假设BC=20，PA=，那么PC的长为_。9如图5，内接于O

10、，点是上任意一点不与重合，的取值范围是 第9题图10如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，那么1的度数为 .°°O 11的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，那么直线l与的位置关系是 12如图，点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧的三等分点， ，那么的度数为 13如图，中，将绕所在的直线旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积 取3.14，结果保存两个有效数字图8第14题图fABC14如图8，两个同心圆的半径分别为2和1，那么阴影局部的面积为 AOBNM15如图，是的直径，为弦，过点的的切线交延长线于点假设，那么的半径为 cm1

11、6如图，是由绕点顺时针旋转而得，且点在同一条直线上，在中，假设，那么斜边旋转到所扫过的扇形面积为 CBA15题图OADPEBC第17题图17如图，从圆O外一点引圆O的两条切线，切点分别是，假设，是上的一个动点点与两点不重合，过点作圆O的切线，分别交于点，那么的周长是 18、在平面内，O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，那么点P与O的位置关系是 .19如图8，在中，将其绕点顺时针旋转一周，那么分别以为半径的圆形成一圆环那么该圆环的面积为 20如图9，点是上两点，点是上的动点与不重合连结，过点分别作于点，于点，那么 ACB图8AEOFBP图9 三、解答题： 1. ：如以下图，O1和O2相

12、交于A、B两点，过B点作O1的切线交O2于D，连结DA并延长与O1相交于C点，连结BC。过A点作AEBC与O2相交于E点，与BD相交于F点。 1求证：EF·BC=DE·AC； 2假设AD=3，AC=1，AF，求EF的长。 2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如以下图的圆中画出三种设计方案。只画示意图，不写作法。 3. ：ABC是O的内接三角形，BT为O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点

13、E，交直线AC于点F。 1如以下图，当点P在线段AB上时，求证：PA·PB=PE·PF； 2当点P为线段BA延长线上一点时，第1题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；3假设AB，求O的半径。4如图，是的内接三角形，点是优弧上一点点不与重合，设，1当时，求的度数；2猜想与之间的关系，并给予证明ADBOCE5、分：如图，在ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为点E求证：1ABC是等边三角形；2DCOABE6、：如图，在中，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且1判断直线与的位置关系，并证明你的结论；2假设

14、，求的长7、如图，在梯形ABCD中，ABCD，O为内切圆，E为切点，求的度数；假设cm，cm，求OE的长8、RtABC中，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N当扇形绕点C在的内部旋转时，如图，求证：；CABEFMN图CABEFMN图 当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由9如图，内接于，过点的直线交于点，交的延长线于点，1求证：；2如果，的半径为1，且为的中点，求的长10(此题总分值10分)：如图，在半径为4的O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EMMC连结DE，DE=.(1) 求证：；(2) 求EM的长；3求sinEOB的值.11此题总分值10分，第1小题总分值3分，第2小题总分值7分O