中国传媒大学信号与系统之离散时间系统的时域分析(共74页).ppt

1、第五章第五章 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析 系统差分方程及其经典解系统差分方程及其经典解 3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 22 单位序列响应和单位阶跃响应单位序列响应和单位阶跃响应 31 卷积和卷积和 49本章重点及要求本章重点及要求 67复复 习习由零、极点图画出系统的频率特性（由零、极点图画出系统的频率特性（幅频幅频、相频）、相频） 0 j(b) 0 j(a) 0 j(c)由由H(s)判别系统的稳定性判别系统的稳定性321)(3ssssH221)(234ssssssH5) 4()(2sksssH罗斯稳定准则罗斯稳定准则判断是那种系统判断是那种系统( (低通

2、、高通、带通、带阻、全通低通、高通、带通、带阻、全通) )离散系统的优点：精度高、可靠性好、便于实现大规离散系统的优点：精度高、可靠性好、便于实现大规模集成、设备体积小、重量轻等模集成、设备体积小、重量轻等离散系统的时域分析与连续系统时域分析有对应关系离散系统的时域分析与连续系统时域分析有对应关系连续系统连续系统 微分方程微分方程连续系统的数学运算含微分（或积分）、数乘、相加连续系统的数学运算含微分（或积分）、数乘、相加离散系统离散系统 差分方程差分方程离散系统的数学运算含移位（或延时）、数乘、相加离散系统的数学运算含移位（或延时）、数乘、相加nimjjjiitebtya00)()()()()

3、()()(tytytyph)()(tytyzszi)()()(thtetyzsmjjmniinjkebikya00)()()()()(kykykyph)()(kykyzszi)()()(khkekyzs 系统差分方程及其经典解系统差分方程及其经典解 差分方程差分方程f(k)为离散信号为离散信号, , 则则f(k+1),f(k-1)为为f( (k) )的移位序列的移位序列a) ) 一阶前向差分一阶前向差分( (注：注： 和和 称差分算子）称差分算子）b) ) 一阶后向差分（本书采用后向差分）一阶后向差分（本书采用后向差分）c) ) 前向差分与后向差分的关系前向差分与后向差分的关系1) )差分的概

4、念差分的概念: : 差分是离散信号的一种数学运算差分是离散信号的一种数学运算)() 1()(kfkfkf) 1()()(kfkfkf) 1()(kfkfe) ) 二阶二阶( (后向后向) )差分差分序列最高序号与最低序号序列最高序号与最低序号之差为之差为2，称为二阶差分，称为二阶差分d) ) 差分运算具有线性性质差分运算具有线性性质)()(21kbfkaf)()(21kfbkfa)1()()1()(2211kfkfbkfkfa)(2kf)(kf) 1()(kfkf )2() 1() 1()(kfkfkfkf) 1()(kfkf)2() 1(2)(kfkfkfDD( )e k1a0a2b0b(

5、)y k( )x k(1)x k (2)x k2) )离散系统的数学模型离散系统的数学模型: : 差分方程差分方程左加法器的左加法器的x(k)换成换成y(k)右加法器的右加法器的x(k)换成换成e(k)2() 1()(01kyakyaky左加法器：左加法器：)()2() 1()(01kekxakxakx)2()()(02kxbkxbky右加法器：右加法器：)2()(02kebkeb3) )离散系统差分方程的一般形式离散系统差分方程的一般形式离散系统离散系统( )y k( )e k单输入单输入单输出的单输出的LTI离散系统的数学模型一般形式为离散系统的数学模型一般形式为常系数线性差分方程常系数线

6、性差分方程差分方程的阶数：差分方程的阶数：输出序列输出序列y(k)的最高序号与最低序号之差的最高序号与最低序号之差)() 1()()() 1()(0101mkebkebkebnkyakyakyammnnnimjjminmnjkebikya00)()( 差分方程的解差分方程的解求解差分方程的方法：求解差分方程的方法：迭代法迭代法经典法经典法变换域法变换域法nimjjminmnjkebikya00)()(建立系统的差分方程建立系统的差分方程求特征根求特征根 i i , , 确定齐次解确定齐次解yh(k)的形式的形式(查表查表51)由由e(k) , , 确定特解确定特解yp(k)的形式的形式(查表查

7、表52)由由初始条件确定系数初始条件确定系数系统响应系统响应y(k)2. 时域经典法时域经典法)()()(kykykyph含待定系数含待定系数(1) 齐次解齐次解yh(k)其中其中C是待定系数，由初始条件确定是待定系数，由初始条件确定一阶差分方程的齐次解一阶差分方程的齐次解齐次解齐次解也称作也称作自由响应，是齐次方程的解自由响应，是齐次方程的解 意味着意味着yh(k)是一个公比为是一个公比为(-(-a) )的级数的级数( (即等比序列即等比序列) )( )(1)y kay k ( )(1)0y kay k ( )()khy kCa齐次差分方程齐次差分方程nimjjminmnjkebikya00

8、)()(0)() 1()(01nkyakyakynn阶差分方程的齐次解阶差分方程的齐次解齐次解由形式为齐次解由形式为 C k 的组合的组合齐次解的形式完全由特征根齐次解的形式完全由特征根 i确定确定( (查查P218表表5-1) )0.0111aaannn齐次方程齐次方程0)() 1()(01nkyakyakyn特征方程特征方程knnkkccc2211单根单根r重根重根共轭根共轭根)sin()cos(kckck21krrrckckc12211)(je2, 1tiiec)sin()cos(21tctcettrriectc)(11j2, 11) ( )3 (1)2 (2)0y ky ky k例例1

9、：求下列方程的齐次解：求下列方程的齐次解yh(k)0232特征方程特征方程2, 121)(kyh2) ( )4 (1)4 (2)0y ky ky k0442特征方程特征方程221)(kyh0)2)(1(0)2(2解：解：解：解：kkcc)2() 1(21kckc)2)(213) ( )2 (1)2 (2)0y ky ky k0222特征方程特征方程j12, 1je01) 1(2)sin()cos()(21kCkCkykh432je)43sin()43cos(2)(21kCkCkykh解：解：( (2) ) 特解特解yp(k)根据根据e(k)的形式查的形式查P218表表52，先确定，先确定yp(

10、k)的形式，然的形式，然后代入差分方程确定系数。后代入差分方程确定系数。特解也称为特解也称为强迫响应强迫响应，其形式与激励的形式有关，其形式与激励的形式有关)()2(2) 1(3)(kekykyky例例)(2)(kke求求)(kypPkyp)()(2)(kke时，激励为常数时，激励为常数 20k223PPP31P0,31)(kkyp)(31k解：解：)()2(4) 1(4)(kekykyky例例kke2)(求求)(kyp0442特征方程特征方程221kpPky2)(2, 12kkkkPPP2242422112PPP0,241)(kkykp41P解：解：(3) 全解全解 y(k)注意：待定系数在

11、全解中用初始条件确定注意：待定系数在全解中用初始条件确定)()()(kykykyphnipkiikyc1)(0442特征方程特征方程221解：解：)(kyh)(kyp例例1) 1 (, 0)0(yy求求)(ky)()2(4) 1(4)(kekykykykke2)(kckc)2)(21k241)()()(kykykyphkkckc241)2)(210)0(y1) 1 (y11c412c)(241)2(41)2()(kkkykkk412 c21)2)(21cc01562特征方程特征方程31,2121解：解：)(kyh0) 13)(12()(kyp)(10)2() 1(5)(6kekykyky例例1

12、) 1 (, 0)0(yy求求)(ky)2cos()(kkekkcc3121212sin2coskQkP(2)(2)(2)cossin22pkkykPQcos()sin()22kkPQ sin()cos()22kkPQ(1)(1)(1)cossin22pkkykPQ(65)cos()(65)sin()10cos()222kkkPQPQPQ2sin2cos)(kQkPkyp)(10)2() 1(5)(6kekykyky)2cos()(kke(65)cos()(65)sin()10cos()222kkkPQPQPQ11PQ)2sin()2cos()(kkkyp0561056QPQPQP)()()(

13、kykykyph)42cos(2k0),42cos(2)31()21(21kkcckk自由响应自由响应强迫响应强迫响应暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应1212(0)1011(1)1123yccycc 1223cc 11( )2( )3( )2 cos(),02324kkky kk返回0),42cos(2)31()21()(21kkcckykk在激励为零时，仅由初始状态引起的响应在激励为零时，仅由初始状态引起的响应在系统的初始状态为零时，仅由激励引起的响应在系统的初始状态为零时，仅由激励引起的响应 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应mnjkebikyamjjmniin00)()()()

14、()(kykykyph)()(kykyzszi零输入响应零输入响应)(kyzi零状态响应零状态响应)(kyzs 零输入响应零输入响应0(0 )nn iiay ki 均为单实根时均为单实根时1( )nkzixiiiykCCxi 由初始状态确定由初始状态确定对应齐次方程，由特征根决定对应齐次方程，由特征根决定( )ziyk 零状态响应零状态响应yz s(k)对应非齐次方程，由对应非齐次方程，由yh(k) 和和yp(k)组成组成 为单实根时为单实根时1( ) 0nksiipiCykkCsi 由零状态时的初始条件确定由零状态时的初始条件确定mnjkebikyamjjmniin00)()()()()(k

15、ykykyphzs初始状态初始状态、初始条件初始条件的概念的概念因果系统，因果系统，e(k)在在k= 0时接入时接入y(1), y(2), y(3) y(k) 初始状态初始状态y(0), y(1), y(2) y(k-1) 初始条件初始条件)()()(kykykyphnipkiikyc1)(ninipkisikixikyCC11)()()(kykyzszi解：解：0222121)(kyzi45 . 0)2(22) 1(2121ccyccy代入初始状态代入初始状态特征方程：特征方程：2121cc)()2(2) 1()(kkykkzi)(kyzia) 求零输入响应求零输入响应0)2)(1(21)2

16、(, 2) 1()()2(2) 1()(yykekykyky，)(),(),(kykykyzszi例：例：求求)()(kkekkcc)2() 1(21)()2(2) 1()(kkykyky)0()2(2) 1()0(yyy) 1 () 1(2)0() 1 (yyy)()()(kykykyphzskkcc)2() 1(2121根据初始状态（零状态），递推出初始条件：根据初始状态（零状态），递推出初始条件：2) 1 (1)0(zszsyy代入初始条件，确定系数代入初始条件，确定系数34,6121cc)(21)2(34) 1(61)(kkykkzs0)2(0) 1(yy)(kyzsb) 求零状态响应

17、求零状态响应)()2(2) 1()(kekykyky11002101)()(kke)()2(2) 1()(kkykkzi)(21)2(34) 1(61)(kkykkzs)(kyc) 全响应全响应)(212310) 1(65kkk)()()(kykykyzszi5101 ( )( 1)(2)( )632kky kk 解全响应的第二种方法解全响应的第二种方法根据初始状态，递推出初始条件：根据初始状态，递推出初始条件：)()2(2) 1()(kkykyky)0()2(2) 1()0(yyy) 1 () 1(2)0() 1 (yyy5 . 0)2(2) 1(yy7) 1 (2)0(yy3106521c

18、c2112714221)2() 1()(21kkccky12( 1)(2)1(2)33kkk( )( )( )zizsy kykyk)()2(2) 1()(kkykkzi)(21)2(34) 1(61)(kkykkzs21)2(, 2) 1()()2(2) 1()(yykkykyky，返回)2(2)2(2) 1()(kkykyky)(),(),(kykykyzszi21)2(, 2) 1(yy例：例：求求解：解：)(kyzs)(kyzi)()2(2) 1(kkk)2(21)2(34) 1(61 222kkk 单位序列响应和单位阶跃响应单位序列响应和单位阶跃响应1) )单位序列单位序列 (k)

19、又称单位样值又称单位样值( (或单位取样或单位取样) )序列序列( )kk01 1( )kk01 1i0001)(kkkikikik01)( )()(ikkf的取样性质的取样性质)(k)()(ikif2) )单位阶跃序列单位阶跃序列 (k)3) ) (k)与与 (k)的关系的关系注意：注意： (k)在在k = 0 处有定义处有定义( )kk01 1123i()kik01 10100)(kkkikikik10)() 1()()()(kkkkkiik)()(0)(nnk继续继续复复 习习经典法求解差分方程经典法求解差分方程)()()(kykykyph由特征根由特征根 , ,确定齐次解确定齐次解yh

20、(k)的形式的形式由由e(k), ,确定特解确定特解yp(k)的形式的形式kkcc2211单根单根重根重根共轭根共轭根)sin()cos(kckck21kckc)(21je2, 1常数常数)cos( kka)(kyzi)(kyzs21)2(, 2) 1(),()2(2) 1()(yykekykyky求求:)()(kke)()()(kykykyzszi3. .初始条件初始条件根据初始状态，利用非齐次方程迭代得出根据初始状态，利用非齐次方程迭代得出1. .h( (k) )对应齐次解的形式；对应齐次解的形式；由差分方程求解由差分方程求解h(k)时注意时注意：5.3.1 单位序列响应单位序列响应h(k

21、) 又称又称单位样值响应单位样值响应 ( )( )e kk( )( )zsykh kL T I)( , 0)(kTkhmnjkbikhamjjmniin00)()(0)(.)2() 1(nhhh2. .初始状态初始状态特征方程：特征方程：0220) 1)(2(kkcckh)2() 1()(21)(kh)()2(2) 1()(kekykyky求单位序列响应求单位序列响应 例例1.0)2() 1()()2(2) 1()(hhkkhkhkh)(kh满足方程满足方程解：解：2, 121)()2(2) 1()(kkhkhkh)0()2(2) 1()0(hhh1) 1 (1)0(hh32,3121cc零初

22、始状态零初始状态h(-1)=h(-2)=0) 1 (),0(hh初始条件初始条件) 1 () 1(2)0() 1 (hhh11001001)(232) 1(31kkk1212121cccckkcckh)2() 1()(21)()(21khkh)2(21kh)(kh)2(2)()2(4) 1(4)(kekekykyky求单位序列响应求单位序列响应例例2.0)2() 1()2(2)()2(4) 1(4)(hhkkkhkhkh)(kh满足方程满足方程解：解：仅有仅有 作用于系统时，设响应为作用于系统时，设响应为h1(k)(k仅有仅有 作用于系统时，设响应为作用于系统时，设响应为h2(k)2(2k则则

23、)(kh0)2() 1()()2(4) 1(4)(11111hhkkhkhkh)2(2)(11khkh0442221kkckckh)2()2()(2111121cc特征方程：特征方程：)2(4) 1(4)()(111khkhkkh0)2() 1()()2(4) 1(4)(11111hhkkhkhkh)2(4) 1(4)0()0(111hhh1) 1(4)0(4) 1 () 1 (111hhh42c2122cc )()2()2()(1kkkhkk)()2(22khk)()2(2)(khkk)2(21kh)()(1khk )()2()2()(1kkkhkk)(2kh)()()(21khkhkh)(

24、)2()2(kkkk)2()2()2)(2(222kkkk)()(21khkh)2()2()2)(2(222kkkk)()2(23)2(21()(21kkkkk)()2()2()()(210kckckckhkk)2(2)()2(4) 1(4)(kekekykyky方法二方法二)2(4) 1(4)2(2)()(khkhkkkh)2(4) 1(4)2(2)0()0(hhh)0(4) 1 (4)0(2)2()2(hhh) 1(4)0(4) 1(2) 1 () 1 (hhh110420cc 2148cc 2122cc 232121210ccc)()2(23)2(21()(21)(kkkkhkk0222

25、j 12, 1特征方程：特征方程：432je)(kh)()2(2) 1(2)(kekykyky求单位序列响应求单位序列响应例例3.0)2() 1()()2(2) 1(2)(hhkkhkhkh解：解：)2(2) 1(2)()(khkhkkh)(kh) 1 (),0(hh求初始条件求初始条件)2(2) 1(2)0()0(hhh1) 1(2)0(2) 1 () 1 (hhh20),43sin()43cos(221kkckck)2222(221cc1)0(h1c2) 1 (h0),43sin()43cos(2)(21kkckckhk12cc 1121cc)()43sin()43cos(2)(kkkkh

26、k)()443cos(21kkk单位序列响应单位序列响应h(k)表示离散系统自身的特性表示离散系统自身的特性离散离散LTI系统是系统是因果系统的充分必要条件：因果系统的充分必要条件：离散离散LTI系统是系统是稳定系统的充分必要条件稳定系统的充分必要条件：0)2() 1(hh0)(kkh)()()(kkhkh或或5.3.2 单位阶跃响应单位阶跃响应g(k)( )( )e kk( )g( )zsykkL T I( )kk011 23由差分方程求由差分方程求g(k)注意注意：)( , 0)(kTkg3.初始条件初始条件根据初始状态，利用非齐次方程迭代得出根据初始状态，利用非齐次方程迭代得出0)(.)

27、2() 1(nggg1.g(k)对应非齐次方程对应非齐次方程2.初始状态初始状态特征方程特征方程0220)2)(1()(kg)(21例：例：)()2(2) 1()(kekykyky求求)(kg0)2() 1()()2(2) 1()(ggkkgkgkg)(kg满足方程满足方程解：解：)()2() 1(21kgccpkk)()2(2) 1()(kkgkgkg)0()2(2) 1()0(ggg1) 1 () 1(2)0() 1 (ggg2求初始条件求初始条件) 1 (),0(gg346121cc2212) 1 (121)0(2121ccgccg)21()2() 1()(21kkcckg)(21234

28、) 1(61)(kkgkk 由线性性质和时由线性性质和时( (移移) )不变性可得不变性可得5.3.3 h(k)与与g(k)的关系的关系kiik)()() 1()()(kgkgkhkinihnkhkg)()()(0)()(kk) 1()()(kkk0)(nnk例：已知例：已知)(232) 1(31)(kkhkk求求)(kg)(232) 1(31ikiii解：解：21234) 1(61kk0nkinkhihkg)()()(kiii0232) 1(31)(kkiik)()(0)(nnk11141141( )( 1)(2)( )( 1)(2)(1)632632kkkkh kkk12( )( 1)(2

29、)( ) 33kkh kk) 1()()(kgkgkh返回返回例：已知某系统的例：已知某系统的)(21234) 1(61)(kkgkk求求)(kh解：解：)()(kk 卷积和卷积和 卷积和的定义及求解卷积和的定义及求解1. 卷积和的定义卷积和的定义卷积和卷积和)()()(21tftftf卷积积分卷积积分)()()(21kfkfkfdtff)()(21nnkfnf)()(21卷积和上、下限的确定：由卷积和上、下限的确定：由f1(k) 和和f2(k)的定义域确定的定义域确定几种特殊情况几种特殊情况f1(k) 是因果信号时：是因果信号时：f2(k)是因果信号时：是因果信号时：f1(k) 和和f2(k

30、)都是因果信号时：都是因果信号时：021)()()(nnkfnfkfknnkfnfkf)()()(21knnkfnfkf021)()()(nnkfnfkf)()()(21例：例：)()(, )(21)(21kkfkkfk求求)()(21kfkf)()(21kfkf解：解：nnnkn)()(212112111kknn02112112k)(k求卷积和的过程求卷积和的过程1) )变量置换变量置换 k n2) )反折反折 f2(n) f2(-n) 3) )f2(-n) 沿沿n轴轴平移平移k 个单位个单位 f2( k - n ) 4) )将将f2 (k n)与与f1 (n)的对应样值的对应样值相乘、相加

31、，相乘、相加，得到得到 k 时的卷积值时的卷积值f (k)。5) )将将k在在( ，)范围内变化，范围内变化，重复第重复第3、4步，步，最最 终得到终得到 f (k) = f1 (k)* *f2 (k) 。 2. 卷积和的图解法卷积和的图解法( (卷积和的几何意义卷积和的几何意义) )(),(21kfkf)(),(21nfnf1( )f k1 13 32 2k0 12k01 1122( )f k3例：求例：求)()()(21kfkfkf1) )变量置换变量置换 k n( )n( )n2( )fn1( )f n2) )反折反折f2(n) f2(-n) 2()fn1 1011( )f n1 13

32、32 2n1 2323 k =03) )将将 f2(-n) 平移平移 k 得得f2(kn) 2()fn1 k =1011( )f n1 13 32 2n1 2323 k =2011( )f n1 13 32 2n1 2323 k =3011( )f n1 13 32 2n1 23232()fn1 12()fn1 14) )对应样值相乘、求和对应样值相乘、求和 2()fn1 1 k =4011( )f n1 13 32 2n1 23 42()fn1 k =5051( )f n1 13 32 2n1 23 4( )f k13k0 1 2 3 4566 653,)()()(0035663100021

33、kkfkfkf有限长序列卷积和的特点：有限长序列卷积和的特点：若若f1(k)的长度为的长度为N1, f2(k)的长度为的长度为N2则则的长度为的长度为: :)()()(21kfkfkf121NNN3. . 对位相乘求和法对位相乘求和法( (又称又称不进位乘法不进位乘法) )3 , 2 ,1)(01kkf1 , 1 , 1 ,1)(02kkf1 2 3 k = 0f1(k)1 1 1 1k = 0f2(k) 1 2 31 2 31 2 31 2 31 3 6 6 5 3k = 0注意：仅适用于两个有限长序列求卷积和注意：仅适用于两个有限长序列求卷积和3 1 4 2 k = -1f1(k)2 1

34、5f2(k) 15 5 20 103 1 4 26 2 8 46 5 24 13 22 10k = -1k = 0例：例：512)(,2413)(0021kkkfkf求求)()(21kfkf1022132456)()()(021kkfkfkf解：解：任意离散信号任意离散信号f(k)可表示为可表示为 借助单位序列响应与卷积和求解系统的零状态响应借助单位序列响应与卷积和求解系统的零状态响应1. 离散信号的分解离散信号的分解nnknf)()() 1() 1 ()()0() 1() 1()(kfkfkfkf( )( )e kk( )( )zsykh kL T I()knzs( )()ykh kn( )

35、 ()e nkn( )( ) ()zsyke n h kn任意离散信号任意离散信号e(k)可表示为可表示为离散系统的离散系统的yzs(k)为为e(k)与与h(k)的卷积和的卷积和2. .利用卷积和求解离散系统的零状态响应利用卷积和求解离散系统的零状态响应nnkneke)()()()(kyzs)()(khkennkhne)()( 卷积和常用性质卷积和常用性质1. 交换律交换律两函数的位置可以互换说明反折函数可以任选两函数的位置可以互换说明反折函数可以任选2()fi1 11( )f i1 13 32 2i0 12 31232( )f i1i01()fi1321231231( )f k132k0 1

36、 23k01122( )fk31221( )( )( )( )( )f kf kfkfkf k2. .分配律分配律物理意义物理意义( )e k( )zsyk( )h k( )e k( )zsyk1( )h k2( )h k( )h k12( )( )( )h kh kh k)()()(321kfkfkf)()()()(3121kfkfkfkf3. .结合律结合律物理意义物理意义( )e k( )zsyk( )h k12( )( )( )h kh kh k( )e k( )zsyk1( )h k2( )h k( )h k)()()(321kfkfkf)()()(321kfkfkf1) )n个子系

37、统并联的等效单位序列响应为个子系统并联的等效单位序列响应为n个子系统个子系统单位序列响应之和单位序列响应之和结论：结论：2) )n个子系统级联的等效单位序列响应为个子系统级联的等效单位序列响应为n个子系统个子系统单位序列响应之卷积和单位序列响应之卷积和)()()()(21khkhkhkhn)()()()(21khkhkhkhn例：求下图所示复合系统的单位序列响应例：求下图所示复合系统的单位序列响应h(k)1( )h k2( )h k3( )h k4( )h k( )h k( )e k( )zsyk)(kh)()()()(khkhkhkh43214. .移位特性移位特性)()()(21kfkfkf)()()()()(1211121kkfkfkkfkkfkf)()()()()(2112212211kkkfkkfkkfkkfkkf若若则则)(2112)()(21)(