浅论数学问题的解题过程

1、浅论数学问题的解题过程四川省达川第四中学廖德荣数学问题虽形形色色、不计其数，但由于数学本身是一门源于实际、服务生活的自然学科，只要我们用系统论的观点去认识、探究，就会或多或少的发现一些潜在的规律。在教学实践的过程中，通过对解题过程的归纳、总结，笔者认为解决数学问题的过程也是一项系统工程，它可分为条件系统、目标系统、知识系统、思维系统、方法系统等几个主要部分。条件系统，含数学问题中存在的已知信息，它是依据问题的情景，客观存在或给定的已知事实，是解题的直接依据；目标系统，即在条件系统基础上，按数学本身的客观规律必然或可能发生的结果，是解题的终极；知识系统，指在运用条件系统

2、或实现目标系统的过程中，直接或间接涉及到的数学定义、公理、公式、法则、定理（性质或判定）、推论等，它是解题的必要工具；思维系统，指充分运用智力因素，通过观察、比较、尝试、直觉、顿悟、回忆、类比、特殊化、一般化、反例、归纳、演译、联想、想象、猜想等思维活动，产生与条件系统相匹配，指向目标系统的切实、有效地设想（常称基本数学思想），它是解决问题的指导思想，也是决定解题成败的关键；方法系统，含在具体数学思想指导下，针对条件系统与目标系统的差异，在充分利用相关知识系统的有效信息的原则下，设计具体的解题方案，选择并运用有效地解题手段、方法（常称基本数学方法），以逐步消除差异，最终达到目标。同一数学问题呈

3、现在具有相同知识系统的不同解题者面前，理论上说，似应有相同的解题效果，但实际情况却不尽然！究其原因，问题存在于思想与方法系统中，事实上，不仅具有相同智商的人的数学思想水平不尽相同，而且其数学方法、解题经验也存在差异。随着课改的深入，一方面，对数学知识系统有明显削弱，但另一方面，随着科学技术的不断发展，数学问题的情景更加复杂，其难度又在不断增加，因而，对数学能力的要求也越来越高，对此，解题者具备更好的数学思想，掌握更多的数学方法尤为重要。在中学数学教学活动中，涉及的基本数学思想主要有方程（组）思想、不等式（组）思想、函数思想、消元思想、降次思想、化归思想、划分思想、基本量思想等。基本数学方法主要

4、有待定系数法、配方法、换元法、数形结合法、分析法、综合法、演绎法、归纳法、反证法、放缩法等。当然，数学思想与数学方法不是绝对独立的，它们相辅相成，互相渗透，有不可分割的联系。对目标系统与条件系统之间差异较小的数学问题，涉及的知识与方法较少，解题较易，但对于条件与目标之间差异大、情景复杂的数学问题，涉及的知识与方法也较多，解题难度大，此时，欲收到好的解题效果，解题者除必备相关数学知识、数学思想与方法外，思维素质与方法显得尤为关键。一般地，高素质的思维应具有科学性、广泛性、深刻性、敏捷性、灵活性、批判性、独立性等特征。笔者认为，科学思维的程序是观察一比较一联想一想象(猜想)。兹举两例如下：.3.3

5、例1、已知ab2,ab1,求ab的值。思路一：用立方和公式(常规经验型，解法1略)思路二：解方程组后代入求值(基本技能型，解法2略)思路三：恰当变形，整体代换(异于思路一，思维、能力型)3解法3:由ab2得(ab)8即a33a2b3ab2b38a3b383ab(ab)83(1)214解法4：(a2b2)(ab)a3a2bab2b3a3b3(a2b2)(ab)ab(ab)222(a2b2)(1)22(ab)22ab22222(1)214解法5:a3b3a3a2ba2bb3a2(ab)b(ab)(ab)2a22b(ab)222a22ab2b22(a2b2)2(1)222(a2b2)2ab214例2

6、、设a,b,c是AABC的三边长(a,b,c边的对角分别是A,B,C),ab,/C=57,求/B的度数。abc分析：ABCt,=/A+/B+/C=180且/C=57,./A+/B=123°。欲求/B,需建立含/A、/B的方程组（另找一个含/A、/B的等式！），为简便,先对条件等式整式化，得b2a2ac（I）,对此，给出如下三种解法。思想方法一：以（I）为载体，借助正弦定理，运用消元的思想寻求关于/A、/B的方程略解 1:设 sin A sin Bcsin Ck(k 0),则第7页aksinA,bksinB,cksinC,代入(I)并消去k,得2_2，一sinAsinAsinCsinB

7、(1)1 cos2A2sin A sin( AB)1 cos2B22sin A sin( AB) cos2A cos2B2sin A sin(A B)2sin( A B) sin(A B)(2),-A+B=123sin(AB)0,由(2)得sinAsin(AB)sin(BA)(3)-B,A(0,),BA(,)由(3)得ABA或A(BA)或A(BA)解得B2A或B(舍去)._rAB123在TJ/曰_cc由解得B82B2A思想方法二：因（I）中a,b,c之间的特征与余弦定理中边的特征有类似'之处，故可考虑借助余弦定理探求角的联系。略解2:;b2a2ac,且22.2acbcosB2ac222

8、acaaccacosB2ac2a即2acosBcaaksinA,bksinB,cksinC(k0)2ksinAcosBksinCksinA2sinAcosBsin(AB)sinA2sinAcosBsinAcosBcosAsinBsinAsinAsinBcosAcosBsinAsin（BA）同解法1得B2A（以下略）思想方法三：由（I）易得b2a（ac）（H）而（H）说明b是a与（ac）的比例中项，故可在ABC的基础上构造恰当的相似三角形，期望发现其角的内在联系略解3：由条件等式得b2a（ac）,如左图，在ABC中，延长CB至点D,使BD=BA连结AR/c/BAb2:ba(ac)CA2CBCD即CACDCBCAvZACBWDCA.ABSADAC丁/BACWD又易知/ABC=ZD；/ABC=ZBAC（即/B=2/A）,易得/B=82°。显然，解法1中由（1）式到（2）式用到降次与消元的思想方法。而解法3则用到数形结合的重要思想方法。解决数学问题是各系统之间的一个复杂而有序的循环往复的过程，它以思维为主导，知识与方法为主体，在条件系统与目标系统之间，通过信息收集、储存、筛选、整合、输出，构建有效的解题方案，其基本流程可用框图表示如