初三数学圆的经典讲义

1、圆目 录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线 , 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理选学圆与圆的位置关系圆的有关计算一圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的局部叫做弧。弧分为

2、半圆，优弧、劣弧三种。 请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如以下列图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，那么点与圆的位置关系有三种。 点在圆外dr；点在圆上d=r；点在圆内 dr；【典型例题】例1 在ABC 中，ACB=90

3、6;,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的理由。MABC例2，如图，CD是直径，AE交O于B，且AB=OC，求A的度数。DOEBAC例3 O平面内一点P和O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，那么这圆的半径是_cm。例4 在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，那么AB和CD的距离是多少？例5 如图,O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm,，ABDCO·E求CD的长例6.：O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为，求的度数二垂径定理及其推论【考点速览

4、】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论1：平分弦不是直径的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤推论2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论1中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB、CD是O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且ABDCO·NM求证：AB=CD例2，不过圆心的直线交O于C、D两点，AB是O的直径，AE于E，B

5、F于F。求证：CE=DF 【考点速练】1.O的半径为2cm，弦AB长，那么这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为 . A1cm B.2cm C. D 3如图1，O的半径为6cm，AB、CD为两弦，且ABCD，垂足为点E，假设CE=3cm，DE=7cm，那么AB的长为 A10cm B.8cm C. D.4.有以下判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的孤；圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有 A0个 B.1个 C.2个 D.3个5如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D假设AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为 A3:2 B.:2 C.

6、: D.5:46.如图,O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是 .7.如图,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ _m.ABDCO8008.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水阴影局部，水面的宽度AB为800mm，求水的最大深度CD三圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别以下各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断以下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点2

7、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg: 如下三图，请证明。 考点34. 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形经典例题例1：以下列图中是圆周角的有 .是圆心角的有 。 例2：如图，A是O的圆周角，且A35°,那么OBC=_.BOCAOABC例3：如图，圆心角AOB=100°，那么ACB=EFCDGO例例：如图，是O的直径，点都在O上，假设，那么 º例例如图2，O的直径过弦的中点，那么 例6：如图，A

8、D是O的直径，ABC=30°，那么CAD=_._D_C_B_A_O 例7：O中，那么O的半径为四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.务必注意前提为：在同圆或等圆中ABEFOOPOCO1O2ODO例1如下列图，点O是EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD例2、：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦

9、AB、CD，且APF=CPF。求证：PA=PC。·OABC例3如下列图，在中，A=，O截的三条边长所得的三条弦等长，求BOC.例4如图，O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE求证：AC=AE O·CAEBD例5如下列图，在O中，弦AB=CB，ABC=，ODAB于D，OEBC于E求证：是等边三角形·OADEBC五圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例1 1圆内接四边形ABCD中，A:B:C=2:3:4，求D的度数·ABCD

10、O2圆内接四边形ABCD中，如下列图，AB、BC、CD、AD的度数之比为1:2:3:4,求A、B、C、D的度数例2 四边形ABCD内接于O，点P在CD的延长线上，且APBD求证：·ADCBOP例3 如下列图，是等边三角形，D是BC上任一点求证：DB+DC=DAA·BCDO六会用切线，能证切线考点速览：考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数d与r的关系直线与圆的位置关系0d>r相离1d=r相切2d<r相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言 OA l 于A， OA为半径 l 为O的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点

11、的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径考点4切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直经典例题：例1.如图，ABC内接于O， AB是 O的直径，CAD ABC，判断直线AD与O的位置关系，并说明理由。例2.如图,OA=OB=13cm，AB=24cm，O的半径为5cm，AB与O相切吗？为什么?例3.如图,P

12、A、PB是O的切线，切点为A、B，C是O上一点，假设P40。，求C的度数。·ABCEOD例4如下列图，中，以AC为直径作O交AB于D，E为BC中点。求证：DE是O的切线中考链接1.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB.试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。2. 如图，在RtABC中，C=90。 ，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且CBD= A，判断BD与O的位置关系，并证明你的结论。七切线长定理考点速览：考点1切线长概念： 经过圆外一点

13、做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长和切线的区别·AAOACADABAPA 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一点到切点之间的距离，可以度量考点2 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切O于A、B两点，PA=PB PO平分考点3 两个结论： 圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长经典例题：例1 PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，假设PO=13，的周长为24，A·EPDBCO求：O的半径；假设，

14、的度数例2 如图，O分别切的三边AB、BC、CA于点D、E、F，假设·EFDCOAB1求AD、BE、CF的长；2当，求内切圆半径r·EFDCOAB例3如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，那么四边形的周长为？·AOCDBBBEF考点速练1：1如图，O是的内切圆，D、E、F为切点，那么 2直角三角形的两条直角边为5、12，那么此直角三角形的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ·AOCDBBBEFGB3如图，直线AB、BC、CD分别与O相切于点E、F、G，且ABCD，假设OB=6，OC=8，那么 ，O的半径= ，BE+CG= 八三角形内切圆考点速

15、览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形考点2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质外心三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1OA=OB=OC；2外心不一定在三角形的内部内心三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1到三边的距离相等；2OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；3内心在三角形内部考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形ABC内切圆O的半径为.2、一般三角形三边，求ABC内切圆O的半径r. 海伦公式S ，

16、其中s=)经典例题：例1阅读材料：如图1，ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，ABC被划分为三个小三角形，用SABC表示ABC的面积 SABC =SOAB +SOBC +SOCA 又SOAB =AB·r，SOBC =BC·r，SOCA =AC·r SABC =AB·r+BC·r+CA·r =L·r可作为三角形内切圆半径公式 1理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径； 2类比与推理：假设四边形ABCD存在内切圆与各边都相切的圆，如图2且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边

17、形的内切圆半径公式；3拓展与延伸：假设一个n边形n为不小于3的整数存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，an，合理猜想其内切圆半径公式不需说明理由例2如图，ABC中，A=m° 1如图1，当O是ABC的内心时，求BOC的度数； 2如图2，当O是ABC的外心时，求BOC的度数；3如图3，当O是高线BD与CE的交点时，求BOC的度数例3如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90°，I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求RtABC的内心I与外心O之间的距离考点速练1：1如图1，O内切于ABC，切点为D，E，FB=50°，C=60°，连结O

18、E，OF，DE，DF，那么EDF等于 A40° B55° C65° D70° 图1 图2 图32如图2，O是ABC的内切圆，D，E，F是切点，A=50°，C=60°，那么DOE= A70° B110° C120° D130°3如图3，ABC中，A=45°，I是内心，那么BIC= A112.5° B112° C125° D55°4以下命题正确的选项是 A三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B三角形的内心不一定在三角形的内部 C等边三角形的内心，

19、外心重合 D一个圆一定有唯一一个外切三角形5在RtABC中，C=90°，AC=3，AB=5，那么它的内切圆与外接圆半径分别为 A1.5，2.5 B2，5 C1，2.5 D2，2.56如图，在ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F 1求证：BF=CE；2假设C=30°，CE=2，求AC的长7如图，I切ABC的边分别为D，E，F，B=70°，C=60°，M是弧DEF上的动点与D，E不重合，DMF的大小一定吗？假设一定，求出DMF的大小；假设不一定，请说明理由 九了解弦切角与圆幂定理选学【考点速览】考点11. 弦切角的概念： 顶点

20、在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 注意：弦切角必须具备三个条件：1顶点在圆上切点，2一边和圆相切，3一边和圆相交弦，三者缺一不可。 2. 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 3. 弦切角定理的推论： 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。考点2圆幂定理：圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理切割线定理推论以及它们推论统一归纳的结果。1、相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。2、相交弦定理的推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线

21、与圆交点的两条线段长的比例中项。4、切割线定理的推论或称割线定理： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。典型例题：例1. 如图，经过O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C。 求证：ATCTBC 例2. ：如图，AB是O的弦，P是AB上的一点，AB10cm，PA4cm，OP5cm，求O的半径。 例3. AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，连结AD，假设AD15，求BC的长。十圆与圆位置的关系考点速览：1圆和圆的位置关系设两圆半径分别为R和r，圆心距为d外离外切相交内切内含图形O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2公共点0个1个2个

22、1个0个d、r、R的关系外公切线2条2条2条1条0条内公切线2条1条0条0条0条2有关性质： 1连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 2公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 3公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。 两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁外公切线内公切线3相交两圆的性质 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点经典例题：例1、如图，与相交于A、B两点，P是上一点，PB的延长线交于点C，PA交于点D，CD的延长线交于为N.1过点A作AE/CN交于点E.求证：PA=PE.PABC&

23、#183;EN·D2连接PN，假设PB=4，BC=2，求PN的长.例2 如图，在中，圆A的半径为1，假设点O在BC边上运动与点B、C不重合，设的面积为y.1求关于的函数关系式，并写出的取值范围；2以点O为圆心，BO长为半径作O，当圆O与A相切时，求的面积.OBCA经典得不能再经典的练习一选择1.O1与O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距020=7cm，那么两圆的位置关系为 A外离 B外切 C相交 D内切2.两圆半径分别为2和3，圆心距为，假设两圆没有公共点，那么以下结论正确的选项是 ABC或D或3.大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，那么这两圆的位置关系为 A外离 B外切

24、相交 D内含 4.右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系 A相交 B外离 C内切 D内含5.假设两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，那么这两圆的位置关系是 A内切 B相交 C外切 D外离6.外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，那么另一圆的半径是A11B7C4D37.O1和O2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的选项是B310245D310245A310245C310245 8.假设两圆的半径分别是2cm和3cm,圆心距为5cm，那么这两个圆的位置关系是 A. 内切 B.相交 C.外切 D. 外离9.假设与相切，且，的半径，

25、那么的半径是 A 3 B 5 C 7 D 3 或7 10.与外切，它们的半径分别为2和3，那么圆心距的长是 A=1B5CD11.两圆的半径分别为3cm和2cm，圆心距为5cm，那么两圆的位置关系是A外离 B外切 C相交 D内切12.如图，把O1向右平移8个单位长度得O2，两圆相交于A.B，且O1AO2A，那么图中阴影局部的面积是 A.4-8 B. 8-16 C.16-16 D. 16-3213假设两圆的直径分别是2cm和10cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.外离ABO·C14.如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切

26、于点C，那么AB的长为A4cm B5cm C6cm D8cm POBA15.如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为6，3，那么图中阴影局部的面积是 ABCD16假设相交两圆的半径分别为1和2，那么此两圆的圆心距可能是 A1B2C3D417.图中圆与圆之间不同的位置关系有 A2种B3种C4种D5种18的半径为3cm，的半径为4cm，两圆的圆心距为7cm，那么与的位置关系是 二填空19.两圆的半径分别是2和3，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是 .20.相交两圆的半径分别为和，公共弦长为，那么这两个圆的圆心距是_21.的半径为3cm，的半径为4cm，两圆的圆心距为7cm

27、，那么与的位置关系是 22.和的半径分别是一元二次方程的两根，且那么和的位置关系是 23.如图，的半径分别为1cm，2cm，圆心距为5cm如果由图示位置沿直线向右平移3cm，那么此时该圆与的位置关系是_24.相切两圆的半径分别为和，这两个圆的圆心距是 25.O1和O2的半径分别为和且那么O1和O2的位置关系为 26的三边分别是，两圆的半径，圆心距，那么这两个圆的位置关系是27如图，正方形中，是边上一点，以为圆心.为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，那么的值为 DCEBA27 OyxCDBAO1O260°第28题l十一.圆的有关计算考点速览：【例题经典】有关弧长公式的应用例1 如图，RtABC的斜边AB=35，AC=21，点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心的圆，分别切两