浅谈三角形中的动点问题

1、4浅谈三角形中的动点问题动点问题是一类灵活、有难度的数学问题，也是近些年来各市中考中常出现的考点。本文将以湘教版八年级全等三角形中一道习题为例，对变化出来的一系列动点问题从如下几个方面进行探讨和阐述。一.本文选题背景1、知识背景：本题用到的知识点是：全等三角形；2、思维方法背景：转化思想；二.选择母题的目的：动点问题历来是中考的压轴考点；要让学生解决复杂的动点问题,必须让学生在初二就形成动态问题的思考方式，遵循由易到难的原则，故选择这道题作为母题；三、原题已知：如图，ABC是等边三角形、点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为边作ADE,ADE是等边三角形，连接CE;求证：BD=CE题

2、目分析：从数量上来看，BE与CE是应该相等的；证明边相等，可以考虑全等三角形的判定定理来证明BADAEAC,然后利用全等三角形的性质来说明边相等.证明：:AABC>ADE是等边三角形AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=60又./DAC=/DAC./BAC-/DAC=/DAE-/DAC即/BAD=/EACABADEACBD=CE四、拓展与变式变式1:“正三角形”改为等腰三角形，是否BAD叁匕EAC成立那么BD与CE的结论成立吗？探究BC=DC+CE是否成立.题目：在ABC中，AB=AC,点D是线段BC上一点（不与B、C重合），AD为一边作ADE,使AD=AE,/DAE=/BAC,连

3、接CE.求证：BD=CE,并直接判断结论BC=DC+CE是否成立；证明：=/DAE=/BAC ./DAE-/DAC=/BAC-/DAC即EACu/BAD又AB=AC,AD=AE.BADEAC .CE=BD.BC=DC+BD .BC=DC+CE变式2:将变式1的条件“点D是线段BC上一点（不与B、C重合）”修改为“点D在边CB的延长线上或者在边BC的延长线上”，是否BADEAC成立？并探究“BC、DC、CE”的数量关系。题目：在ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合），AD为一边作ADE,使AD=AE,/DAE=/BAC,连接CE.（1）如图2,当点D在边BC的延长线上时，请

4、写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程；（2）如图3,当点D在边CB的延长线上时，且点A、点E分别在直线BC的异侧，其他条件不变，直接写出BC、DC、CE之间存在的数量关系-（2）证明思路与（1）相似证明（1）BC=DC+CE/DAE=/BAC .DAE+.DAC=/BAC+.DAC即.EAC=/BAD又AB=AC,AD=AE.BADAEACCE=BDvBC=DC+BDBC=DC+CE变式3:变式1探究的是边的数量关系，那能否根据BADAEAC成立，探究某些角的数量关系呢？题目：如图：在ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作AD

5、E,使AD=AE,/DAE=/BAC,连接CE。点D在线段BC上运动，如果/BAC=900,则/BCE=.证明：=/DAE=/BACDAE-DACBAC-DAC即EAC=BAD又=AB=AC,AD=AE.BADEACACE»ABCvZBAC=90°,ABCACB=90又BCE"ACEACBBCE=90变式4:变式3是利用BADWEAC,探究特殊情况下角的关系；那对于一般情况呢？当点D在线段CB上移动时，是否根据BADAEAC全等，某些角的数量关系还存在呢？题目：如图在ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作ADE,使

6、AD=AE,/DAE=/BAC,连接CE.设/BAC=a,/BCE=B,当点D在线段CB上移动，则a、B之间有怎么样的数量关系？请说明理由；证明：=/DAE=/BACDAE-DAC=/BAC-DAC即.EAC=/BAD又=AB=AC,AD=AE .BADEACACE=ABCVZBAC=a,.BAC.ABC.ACB=180.ABCACB=180-二又.BCE，=.ACE.ACB.P=180即a+P=180*变式5:将变式1条件的“点D是线段BC上一点(不与B、C重合)”修改为“点D在边CB的延长线上或者在边BC的延长线上”，能否利用BAD姿4EAC,判断变式4的结论仍否成立.题目：如图：在ABC

7、中，AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作ADE,使AD=AE,/DAE=/BAC,连接CE.设/BAC=a,/BCE=B当点D在直线BC上移动，则a,B之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论结论：=180变式6:在变式4和变式5的基础上，附加平行条件利用CADAEAB探究角的关系；题目：在ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，AD为一边在AD的左侧作ADE,使AD=AE,/DAE=/BAC,过点E作BC的平行线，交直线AB于点F,连接BE.(1)如图1,若/DAE=/BAC=60°，则BEF是等边三角形;(2)若/D

8、AE=/BAC*60°(i)如图2,当点D在线段BC上移动，判断BEF的形状并证明；(ii)当点D在线段BC的延长线上移动，BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出向对应的图形。AA备用图C分析：变式6与以上的思路相似，在此故不做详细说明五、解题反思：1、几何动点问题含有丰富转化、分类等数学思想，要求学生能够利用所学过的三角形全等、三角形相似等知识来分析问题和解决问题.解决这类问题的关键是抓住动中含静的解题思想，动时则存在两个三角形全等的函数关系，静时则存在边与角的数量关系；2、通过一系列变式训练，建立数学模型解决问题，即“特殊一一般”的思维方法；3、让学生练习任何一道题，绝不是单纯的知识的重述，而应是知识点的重新整合、深化、升华。我们应该努力让学生逐步走出“以题论题”的困境，达到“以题论法”的境界，从而实现“以题论道”学习模式；4、以上