一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练

1、.一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式=时，其求根公式为：;假设两根为，当≥0时，那么两根的关系为：;，根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆定理也是成立的，即当，时，那么那么是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元

2、二次方程的根。例1：关于的方程1有两个不相等的实数根，且关于的方程2没有实数根，问取什么整数时，方程1有整数解?分析：在同时满足方程1，2条件的的取值范围中挑选符合条件的的整数值。解：方程1有两个不相等的实数根，∴解得;方程2没有实数根，∴解得;于是，同时满足方程1，2条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程1为，无整数根;当时，方程1为，有整数根。解得：所以，使方程1有整数根的的整数值是。说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的根底，正确确定的取值范围，并依靠纯熟的解不等式的根本技能和一定的逻辑推理，从而挑选出，这也正是解答此题的根本技巧。二、判别一

3、元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为，可据此求出根的判别式，但只能用于断定根的存在与否，假设断定根的正负，那么需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。解：，∴=4×2×7=65>0∴方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为，<0∴原方程有两个异号的实数根。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式和“根与系数的关系结合起来进展确定，另外由于此题中<0，所以可断定方程的根为一正一负;倘假设>

4、;0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：方程的一个根为2，求另一个根及的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程方法求出另一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或1。解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或1

5、。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3：方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。分析：此题假设利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21转化为关于的方程，即可求得的值。解：方程有两个实数根，∴解这个不等式，得≤0设方程两根为那么，∴∴整理得：解得：又，∴说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5：、是关的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号?假设能同号，恳求出相应的的取值范围;假设不能同号，请说明理由，解：因为关于的一

6、元二次方程有两个非零实数根，∴那么有∴又、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设、同号，那么有两种可能：12假设， 那么有：;即有：解这个不等式组，得时方程才有实树根，∴此种情况不成立。假设， 那么有：即有：解这个不等式组，得;又，∴当时，两根能同号说明：一元二次方程根与系数的关系深化提醒了一元二次方程中根与系数的内在联络，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵敏多样，是设计考察创新才能试题的良好载体，在中考中与此有联络的试题出现频率很高，应

7、是同学们重点练习的内容。六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。例：、是方程的两个实数根，求的值。分析：此题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。解法一：由于是方程的实数根，所以设，与相加，得：变形目的是构造和根据根与系数的关系，有：，于是，得：∴=0解法二：由于、是方程的实数根，∴∴说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题才能进步的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将非常繁琐，这时，假如方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起

8、到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵敏多变，式子的变形具有创造性，重在考察才能，多年来一直受到命题老师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8：两方程和至少有一个一样的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的一样根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程的一样根为， 根据根的意义，有两式相减，得当时，方程的判别式方程无实数解当时， 有实数解代入原方程，得，所以于是，两方程至少有一个一样的实数根，4个实数根的相乘积为说明：1此题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不

9、存在的解：当时，两方程一样，方程的另一根也一样，所以4个根的相乘积为：;2既然此题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：且另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。【趁热打铁】一、填空题：1、假如关于的方程的两根之差为2，那么。2、关于的一元二次方程两根互为倒数，那么。3、关于的方程的两根为，且，那么。4、是方程的两个根，那么：;。5、关于的一元二次方程的两根为和，且，那么;。6、假如关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是 ，的值为 。7、是的一根，那么另一根为 ，的值为 。8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为： 。二、求值题：1、是

10、方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。2、是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。3、是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。4、两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。5、关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。6、方程和有一个一样的根，求的值及这个一样的根。三、才能提升题：1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根?2、关于的一元二次方程1求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。2假设这个方程的两个实数根、满足，的值。3、假设，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，假如存在，试求出所有满足条件的的

11、值，假如不存在，请说明理由。5、关于的一元二次方程的两实数根为，假设，求的值。6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。答案与提示：一、填空题：1、提示：，∴，∴，解得：2、提示：，由韦达定理得：，∴，解得：，代入检验，有意义，∴。3、提示：由于韦达定理得：，∴，∴，解得：。4、提示：由韦达定理得：，;由，可断定方程的两根异号。有两种情况：设>0，<0，那么;设<0，>0，那么。5、提示：由韦达定理得：，∴，∴，∴。6、提示：设，由韦达定理得：，&

12、there4;，解得：，即。7、提示：设，由韦达定理得：，∴，∴，∴8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，∴，即;∴设所求的一元二次方程为：二、求值题：1、提示：由韦达定理得：，∴2、提示：由韦达定理得：，∴3、提示：由韦达定理得：，∴4、提示：设这两个数为，于是有，因此可看作方程的两根，即，所以可得方程：，解得：，所以所求的两个数分别是，。5、提示：由韦达定理得，∴，∴，∴，化简得：;解得：，;以下分两种情况：当时，组成方程组：;解这个方

13、程组得：;当时，组成方程组：;解这个方程组得：6、提示：设和一样的根为，于是可得方程组：;得：，解这个方程得：;以下分两种情况：1当时，代入得;2当时，代入得。所以和一样的根为，的值分别为，。三、才能提升题：1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：判别式≥0;>0，>0;于是可得不等式组：解这个不等式组得：>12、提示：1的判别式>0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。2利用韦达定理，并根据条件可得：解这个关于的方程组，可得到：，由，所以可得，解这个方程，可得：，;3、提示：可利用韦达定理得出>0，>0;于是得到不等式组：求得

14、不等式组的解，且兼顾;即可得到>，再由可得：，接下去即可根据，>，得到，即：=44、答案：存在。提示：因为，所以可设;由韦达定理得：，;于是可得方程组：解这个方程组得：当时，;当时，;所以的值有两个：;5、提示：由韦达定理得：，那么，即，解得：6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：，∴，∴，∴，又，变形得：，观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象

15、逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云滚滚。当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比

16、较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿可以生动形象地描绘观察对象。∴，语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对进步学生的程度会大有裨

17、益。如今,不少语文老师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果老师费力,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的为难场面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见,假如有目的、有方案地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然浸透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和开展。唐宋或更早之前，针对“经学“律学“算学和“书学各科目，其相应传授