数列的综合应用练习题

1、数列的综合应用1 . （2019 深圳模拟）设函数f（x）=xm+ ax的导函数 f' （x）=2x+1,则数列1f一（nCN）的前n项和是（）A.nn+ 1B.n 2n+ 1C.nn- 1D.n+ 18解析：选 A(x) = mxm a = 2x+1, ：a=1, mn= 2,. f(x) = x(x+ 1),贝f11=-n n n+111一 _ , /n n+1，1 1用裂项法求和得 &=12+1. 11 n一十十一一=3n n+1 n+12.已知函数f（n） =n2, n为奇数，n2, n为偶数,且 an = f ( n) + f (n+1),则 a1 + a2+a3+

2、a2 018 =(B. -2 018D. 2 018A. - 2 017C. 2 017解析：选D当n为奇数时，n+1为偶数，则an= n2( n+1) 2= 2n1,所以a1 + a3+&+a2 017 = (3 + 7+11 + 4 035).当 n 为偶数时，n+1 为奇数,则 an =n+(n+1) =2n+1,所以 32+a4+a6+a2 018 = 5+9+13+ + 4 037.所以 a1 +a2+a3+ . + a2 018= (5 3) + (9 7) + (13 11)+.+ (4 037 -4 035) =2X 1 009= 2018,故选D.3. （201 7

3、四川乐山模拟）对于数列an,定义H =n 1a + 2a2+ + 2an为 an的“优值”.现已知某数列的“优值"H）=2n+1,记数列an20的前n项和为&,则&的最小值为（）B. 68A. 64C. - 70D. 72d I 0 d I I 0 n1d解析：选 D 由题意可知： H)= 2n+1,n则 a1 +2a2+ 2 an= n - 2 +：当 n>2 时，ad2a2+ 2n-2 an 1= (n 1) 2n,两式相减得 2nT an=n 2n+1 ( n1) 2n, an = 2(n + 1),当n=1时成立，：an20=2n18,显然a一20为等差

4、数列.令 an-20<0,解得 n<9,故当n=8或9时，an20的前n项和&取最小值，一，9X16+0,取小值为 S=S=2=72,故选D.1_4. (2019 湖北襄阳联考)已知函数f x +2为奇函数，g(x)=f(x)+1,右an=g 2"0，则数列an的前2 018项和为()A. 2 017B. 2 018C. 2 019D, 2 020一 、， 一一 1 、，解析：选B二函数f x+2为奇函数，.其图象关于原点对称，：函数f(x)的图 11.一象关于点2,0对称，：函数g(x)=f(x)+ 1的图象关于点2,1对称，：g(x)+g(1n 、，123-x

5、) =2, an=g 2-019-，;数列的刖 2 018 项N和为 g 20布 +g 20布 +g 2-0192 017十十g 2 019+ g 2018 =2 018.故选 B.15. (2019 林州一中调研)已知数列an的前n项和为&,且日=5, a+-一2an+6,若对任意的n N, 1<p(S-4n)<3怛成立，则实数p的取值范围为()A (2,3B. 2,3C. (2,4D. 2,41一一斛析：选B由数列的递推关系式可行an + 1 4 = ( an 4),则数列 an 4 首项.1 11 一为a1 4=1,公比为一2的等比数列，：an 4 = 1 x2，:a

6、n=+4, ：S= 1 +4n,：不等式 1 < p( S 4n) < 3 怛成立，即 1<px 鼻 1 3 怛 3434成立.当n为偶数时，可得1<px| 1- 2 n <3,可得2<p<|,当n为奇数时，可得 3421<px| 1 + 2 n <3,可得3<p<3,故实数p的取值范围为2,3.3426. (2019 昆明适应性检测)已知数歹U an的前n项和为S,且an=4n,若不等式 &+8入n对任意的nCN*者B成立，则实数 入的取值范围为 .2解析：因为an=4n,所以Sn=2n+2n,不等式3+8>入n

7、对任意的nCN怛成立， 222n +2n+82 n +2n+88即 入<，又= 2n+-+ 210(当且仅当 n= 2时取等号)，所以实数nnn入的取值范围为(一8, 10.答案：(8, 10 *7. (2019 济宁模拟)若数歹U an满足：只要ap=ap, qC N),必有ap+i=aq+i,那 么就称数列an具有性质P已知数列an具有T垢质P,且a1=1, a?=2, a3=3, a5 = 2, a6+ a?+ a8= 21, 则 & 020 =.解析：根据题意，数列an具有TP,且a2=a5=2,则有 a3= as= 3, a4=a7, a5= a8= 2.由 a6 +

8、a? + a8 = 21,可得 a+ & +a =21,则 a4 = 21-3-2=16,进而分析可得 a3= a6= a9= > , , = a3n=3, ad=a7=a10= , = a3n+1=16, a5=a8= , = a3n+2=2(n>1),贝(J a2 020 = 03 X 673+ 1= 16.答案：168. 我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺.莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？ ”意思是：“今有蒲草 第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺.以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天 长高前一天的2倍.问第几天蒲

9、草和莞草的高度相同？ ”根据上述的已知条件，可求得 第 天时，蒲草和莞草的高度相同（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3 =0.477 1 , lg 2 =0.301 0)解析：由题意得，蒲草的高度组成首项为，1 ,、一a = 3,公比为2的等比数列an,设其前n项和为A；莞草的高度组成首项为 b1=1,公比为2的等比数列bn,设其前n项和为B.则 A=,13 1-2n11-2n3 1 Tnn2n1人 322n-1B=,令=21'12-11 二c 6*c,化简得 2n+2m=7(nCN),解得 2n=6,所以n = ?1-=1+41- = 3,即第3天时蒲草和莞草高度相

10、同. lg 2 lg 2答案：39. （2019 安阳模拟）设等差数列a的前n项和为S,点（n, S）在函数f（x）=x2+ Bx+ C- 1(B, CC R)的图象上，且 a1=C 求数列a的通项公式;(2)记数列bn=豕32n-l+ 1),求数列 bn的前0项和不.解：(1)设等差数列an的公差为d,则 Sn = na1 + n-n-d = ?n2 + a1一2 n. 2222又 Sn = n + Bn+ C 1,dd两式比较得 2= 1, B= ai 3, C 1=0.又2=&解得 d = 2, C= 1 =自，B= 0, - an = 1 + 2( n 1) = 2n 1.(2

11、)bn=an(a2n-1+ 1) = (2n-1)(2 X2 n1 1+1) =(2n1) X2n,:数列bn的前 n 项和 F = 2 + 3X 2 2+5X2 3+ (2n1) X2n, 2Tn= 22 + 3X 2 3+3+ (2n 3) X2 n+ (2n1) X2 二Tn= 2 + 2x(2 2+ 23+ 2n) -(2n-1)X2n+14 2n1 1彳彳_ _ f 4'_n+1 n+1 一= 2+2x(2n 1)X2 =(32n)X2 6,2 1故 Tn = (2 n3)X2 +1 + 6.10. 2017年12月4日0时起某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内

12、，某人为了出行方便，准备购买某新能源汽车.假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共 0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元, 第二年0.4万元，第三年0.6万元，依等差数列逐年递增.(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为何2,试写出f(n)的表达式；(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少 )，年平均费用的最小值是多少？解：(1)由题意得 f (n) = 14.4 + (0.2 + 0.4 + 0.6 + + 0.2 n) + 0.9 n = 14.4 +0.2 n n+ 122+ 0.9 n= 0.1 n +n + 1

13、4.4.(2)设该车的年平均费用为S万元，则有S= nf(n) =n(0.1 n2 + n + 14.4)n 14.4= 77+10 n+ 1>2>/1.44 +1 =3.4.一 .n 14.4 一,一 一，、 一一 一一 .、一当且仅当-=-,即n=12时，等号成立，即S取最小值3.4万兀.所以这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元.1 1 ,11. （2018 淮南一模）若数列an的前n项和为$,点（an, S）在y=,x的图象6 3*上（nW N）.（1）求数列an的通项公式；1.，-i，1 3一<-Cn 4（2）若c=0,且对任意正整数 n都有Cn+1CnMlog/a.求证：对任意正整数 n>2,“111总有-< + + +3 c2 c3 C41 1斛：.s=63鼻,3n Sn S 1 3an- 1 -1 一 Wan,31 an = """an 1.4111又.S' = a1 , - a1 = ,6 38,_11 n_1_ 1 2n+1,an-84-21(2)证明：由 Cn +1 Cn log 2an 2n + 1 ,行当 n> 2 时，Cn C1 + (