我的高考椭圆知识点总结

1、22t -y2- 1 (a b 0),其中 c2a2 b2a b2.当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程:2 匕2 a2t 1 (a b 0),其中 c2 a2 b2 ； b2椭圆知识点一、椭圆的定义平面内一个动点 P到两个定点FF2的距离之和等于常数(PF" |PF2 I 2a 产正2),这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距注意：若(PFi | PF2 |怛#2 ),则动点P的轨迹为线段F1F2;若(PFiPF2 |怛#2),则动点P的轨迹无图形椭圆的标准方程1.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程:注：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建

2、立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程;2.在椭圆的两种标准方程中，都有 (ab 0)和 c2a2 b2 ；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0), ( c,0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为 (0, c) , (0, c)、椭圆的简单几何性质22，一 xy,椭圆：-1 (a b 0)的简单几何性质ab22x y(1)对称性：对于椭圆标准方程不看 1 (a b 0)说明：把x换成 x、或把y换成 y、或把x、a b22 xyy同时换成 x、 y、原方程都不变，所以椭圆 2 匕 1是以x轴、y轴为对称轴的轴a b对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形

3、，这个对称中心称为椭圆的中心。(2)范 围：椭圆上所有的点都位于直线 x a和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足(3)顶 点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。22 椭圆二 12 1 （a b 0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为a bAi（ a,0）, A2（a,0）, Bi（0, b） , B2（0, b）线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，AA22a, B1B22b 0a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。2c c（4）离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表小，记作e 。2a a因为（a c 0）,所以e的取值范围是（0

4、e 1）。e越接近1,则c就越接近a ,从而.22b va c越小，因此椭圆越扁；反之,e越接近于0, c就越接近0,从而b越接近于a ,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a b时，c 0,这时两个焦点重合，图形注：椭圆变为圆，方程为x2 y2 a。2与 1的图像中线段的几何特征（如右图） b2 |PFJ |PF2| 2a；PF1 I 眸_PM1 I |pm2 I（椭圆的第二定义）PM1PM 22a2c BFj BF2| a；OF1 OF2 c ；ABA2BJa2 b2 ；(3) AF1A2F2a c；AF2IA2F1a c； a c PF( a c；四、椭圆2224 1与%'1(a b

5、0)的区别和联系b2a2 b2标准方程22)a b 0)22；2 x21(a b 0)图形Jyf b9.$1 .'，/ d Jh.L| ,.*1此"4A1111性质i11焦点F1( c,0), F2(c,0)F1(0, c), F2(0,c)焦距| F1F2 | 2cF1F22c范围1 xa,ybxb ,|ya对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0), (0, b)(0, a) , ( b,0)轴长长轴长=2a,短轴长=2b离心率ce c(0 e 1) a准线方程2 axc2 a yc焦半径PF1a ex0,PF2 a ex0IPF1a ey0, PF2 a ey0222

6、2注：关于椭圆与yy 1与4与 1 (a b 0)的说明： 2222a b a b相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有(a b 0)和e c(0 e 1) , a2 b2 c2；a不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法：1、如何确定椭圆的标准方程?任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。两个定形条件，确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2、椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三

7、个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：(a b 0),(a c 0),且(a2 b2 c2)。可借助右图理解记忆：显然：a,b, c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3、如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2, y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4、方程Ax2 By2 C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件方程Ax2 By2C可化为Ax2By2、,221,即土 -By-CCAB1,所以只有A、

8、B、C同号，且A B C时，方程表示椭圆。当 CACC一时，椭圆的焦点在 x轴上；当 一BAC时，椭圆的焦点在 y轴上。B5、求椭圆标准方程的常用方法 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 a,b,c的值。其主要步骤是 先定型，再定量6. 定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则2 x c相同。与椭圆a2yy 1 (a b 0)共焦点的椭圆方程可设为 b22x-2a m21(m.2、 b ),此类问题常用待定系数法求解。7.判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依

9、据 若把曲线方程中的x换成 x,方程不变，则曲线关于 y轴对称;若把曲线方程中的若把曲线方程中的y换成 y ,方程不变，则曲线关于 x轴对称;x、y同时换成y,方程不变，则曲线关于原点对称。8.如何求解与焦点三角形 PF1F2 （P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 SPF1F2-|PF1 PF2 sin F1PF2相结合的方法进行计算解题。将有关线段PFi、PF2、FF2，有关角F1PF2 ( F1PF2F1BF2)结合起来，建立PFiPF2、 PF1 PF2之间的关系.焦点三角形面积公

10、式：SPF1F2b2 tan N2（P为椭圆上任一一点）9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率ce - (0 e 1),因为 c a b , a c 0, a用a、b表示为eJ (b)2(0 e 1)。显然：当b越小时，e（0 e 1）越大，椭圆形状越扁； a当b越大，e（0 e 1）越小，椭圆形状越趋近于圆。 a）椭圆及其性质1、椭圆的定义Fi, F2的距离的和等于常数(大于| Fi F2| )的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点(1)平面内与两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(

11、0,1)内常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率.2、椭圆的标准方程:22xy22aby x .1 a b 0- 2 -21 aa2b2x a cos3、椭圆的参数方程(为参数)y bsin4、离心率：椭圆焦距与长轴长之比.e c e a25、椭圆的准线方程：左准线 11 ： X c.1 (b)2. 0 e 1. a2右准线l2 : x c(二)、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式:焦点在x轴上的椭圆的焦半径公式:焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式:MF1 =a ex0M F2 =a ex0MF1a ey0MF2a ey0其中F1,F2分别是椭圆的左右焦点)

12、.其中F1, F2分别是椭圆的下上焦点).(三)、直线与椭圆问题(韦达定理的运用)1、弦长公式：若直线l:y kx b与圆锥曲线相交与 A、B两点，A (x1，yj B(x2, y?)则：弦长 AB (x1x2)2(y1y2)2V(x1x2)2(kx1kx2)2v11k2|x1x21 k2 dxi x2)2 4x1x2例1.已知椭圆4x2 y2 1及直线y=x+m。(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。2、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程 AB是椭圆3+b2= 1(a>b>0)的一条弦，中点M坐标为(刈，yO),则A

13、B的斜率为一孕a2yC运用点差法求AB的斜率，设A(xi, yi), B(x2, y2).紧+ J，A、B都在椭圆上，2 2X2 y257+b2 jr 曰X12X22 yi2 y22两式相减得：x+ yTT-= 0, a bXi X2a2xi + X2yi y2yi + y2即：J=Xi X2b2 Xi + X2a2 yi + y2b%a2yo故：kAB = 一b2X0a2yo'b2=0 '2 X 例2、过椭圆一i62y- i内一点M(2,i)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线的方程。 4(四)、四种题型与三种方法22四种题型221、已知椭圆C: 1内有一点A (2,

14、 1), F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点.2516求：| PA |+5 | PF |的最小值。32,一x2、已知椭圆25求：| PA | +2y 1内有一点A (2, 1) , F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点.16I PF|的最大值与最小值。2 .一 x3、已知椭圆252y 1外一点A (5, 6) , l为椭圆的左准线,16P为椭圆上动点，点 P至iJ l的距离为d,3求：|PA|+ 一 d的最小值。54、定长为d(d求：AB的中点2b2 . . x2)的线段AB的两个端点分别在椭圆aa:M到椭圆右准线l的最短距离。2I 1(a b 0)上移动. b2：0_三种方法221、椭圆-y

15、7a2b21的切线与两坐标轴分别交于 A,B两点， 求：三角形OAB的最小面积。22，一 x y2、已知椭圆 1和直线l:x-y+9=0 ,在l上取一点M ,经过点M且以椭圆的焦123点Fi,F2为焦点作椭圆，求 M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程_ 223、过椭圆2x y 2的焦点的直线交椭圆 A,B两点，求AOB面积的最大值2课后同步练习22离心率是,准线方程是1.椭圆 -y1的焦点坐标是25 1692.已知Fi、2XF2是椭圆16Fi的直线与椭圆交于 M、N两点，则MNF2的周长为3.椭圆A. 8B. 16C. 25D. 324.5.6.7.8.25A. 51上一点P到一个焦点

16、的距离为5,则P到另一个焦点的距离为(已知椭圆方程为A. 6如果方程A. (0,B. 62X20B. 3C. 4D. 102X+ oo)ky2设F1,F2为定点，A.椭圆2已知方程 X_+-m 122y111,那么它的焦距是2表示焦点在B. (0,2)I F1F2 |=6,动点B.直线匕=1,m已知椭圆的两个焦点坐标是9.过点A (-1,-2)且与椭圆10 .过点 p( J3, -2), 2211 .若椭圆k 8912.已知 ABC的顶点13.14.15.16.C. 3 . 31D. . 31y轴上的椭圆，那么实数C. (1,+ 8)M 满足 IMF1I | MF2C.圆k的取值范围是D. (

17、0,1)6,则动点M的轨迹是(D.线段表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为、一 53F1(-2,0),F2 (2, 0),并且经过点P(-,),则椭圆标准万程是222y 1的两个焦点相同的椭圆标准方程是9Q (-2%''3, 1)两点的椭圆标准方程是1的离心率是二，则k的值等于2B、C在椭圆X3"+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 AABC的周长是 . 22x y2F1、F2分别为椭圆 亚+=1的左、右焦点，点 P在椭圆上，POF2是面积为J3的正三角形，则 b2的值是22x y设M是椭圆 T 1上一点，F1、F2为焦点，F1MF2 一,则S mrf225 1661 2在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为<2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为(A) 2(B)1(C)2设 A Xi, y1,Cx2, y2 是右焦点为F22的椭圆二幺259个不同的点，则“AF , BF,CF成等差数列”是为X28”的(A)(C)充要条件充分不必要条件(B)必要不充分条件(D)既非充分