高考一轮复习 万有引力

1、高三第一轮总复习高三第一轮总复习第第4讲万有引力与航天讲万有引力与航天开普勒第一定律：（椭圆轨道定律）开普勒第一定律：（椭圆轨道定律） 所有的行星围绕太阳运动的轨道所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上焦点上开普勒第二定律：（开普勒第二定律：（面积面积定律）定律） 对任意对任意一个行星来说，它与太阳的连线在一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间里扫过的面积相等。相等的时间里扫过的面积相等。 也就是说行星绕太阳运动是不等速的，离也就是说行星绕太阳运动是不等速的，离太阳近时速度快，离太阳远时速度慢。太阳近时速度快，离太阳远时速度慢。 S

2、AB=SCD=SEK 开普勒第三定律：（周期定律）开普勒第三定律：（周期定律）所有行星的轨道的半长轴的立方和公转周所有行星的轨道的半长轴的立方和公转周期的平方期的平方的比值相等的比值相等。 a3/T2=KK是与行星无关的常量是与行星无关的常量（K只由中心天体决只由中心天体决定）定）一、行星的运动规律一、行星的运动规律例例1.1.有两个人造地球卫星，它们绕地球有两个人造地球卫星，它们绕地球运转的轨道半径之比是运转的轨道半径之比是1 1：2 2，则它们绕，则它们绕地球运转的周期之比为地球运转的周期之比为 。22:11、内容：自然界中、内容：自然界中任何任何两个物体都是相互两个物体都是相互吸引吸引的

3、，引力的的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘与这两个物体质量的乘积积m1m2成正比，与这两个物体间距离成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比的平方成反比3、适用条件：公式适用于质点间的相互作用；当两个物、适用条件：公式适用于质点间的相互作用；当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，可近视看做质点；体间的距离远远大于物体本身的大小时，可近视看做质点；对于均匀的球体，对于均匀的球体，r是两球心间的距离是两球心间的距离2、公式：、公式： 其中其中G6.671011 Nm2/kg2，称为引力常量（卡文迪许，称为引力常量（卡文迪许通过实验得到

4、）通过实验得到）122m mFGr二万有引力定律二万有引力定律三万有引力与重力的关系三万有引力与重力的关系行星表面物体的重力：行星表面物体的重力：重力重力等于万有引力等于万有引力1、表面重力加速度：因、表面重力加速度：因 则则 2、轨道上的重力加速度：因、轨道上的重力加速度：因 则则 2MmGmgR2MgGR/2()MmGmgRh/2()MgGRh F万万FnmgR hMmF四万有引力定律的应用四万有引力定律的应用1、无环绕、无环绕 表面重力加速度：因表面重力加速度：因 则则 轨道上的重力加速度：因轨道上的重力加速度：因 则则 2、有环绕、有环绕万有引力提供向心力万有引力提供向心力(F引引=F

5、向向）：环绕天体或人造卫星：环绕天体或人造卫星绕地球的运动可看成是匀速圆周运动，所需的向心力绕地球的运动可看成是匀速圆周运动，所需的向心力是地球（或中心天体）对它的万有引力提供的，因此是地球（或中心天体）对它的万有引力提供的，因此解决卫星问题最基本的关系是：解决卫星问题最基本的关系是：2MmGmgR2MgGR/2()MmGmgRh/2()MgGRh222224MmvGmmrmrrrT五、考点探究五、考点探究22mGMmgGMgRR万有引力和重力相等的关系式经常用到，得到常见万有引力和重力相等的关系式经常用到，得到常见的表达式有的表达式有 gRgR2 2=GM=GM 此式应用广泛，称为黄金代换式

6、。此式应用广泛，称为黄金代换式。 特别是重力加速度与轨道半径的比例关系一定特别是重力加速度与轨道半径的比例关系一定要灵活应用。要灵活应用。1、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题1990年年5月，紫金山天文台将他们发现的第月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同已知地球半径同已知地球半径R6 400 km，地球表面，地球表面重力加速度为重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速这个

7、小行星表面的重力加速度为度为 ( )B例与练例与练 假设火星和地球都是球体，火星的质量假设火星和地球都是球体，火星的质量M火火和地球的质量和地球的质量M地地之比之比M火火/M地地=p，火星，火星的半径的半径R火火和地球的半径和地球的半径R地地之比之比R火火/R地地=q，那么火星表面处的重力加速度那么火星表面处的重力加速度g火火和地球表面和地球表面处的重力的加速度处的重力的加速度g地地之比等于之比等于 A.p/q2 B.pq2 C.p/q D.pq A例与练例与练2、天体（中心天体）质量、天体（中心天体）质量M、密度、密度的估算的估算（以地（以地球为例）球为例）若已知卫星绕地球运行的若已知卫星绕

8、地球运行的周期周期T 和半径和半径 r若已知卫星绕地球运行的若已知卫星绕地球运行的线速度线速度v 和半径和半径 r地球的质量：地球的质量：地球的密度（设地球半径地球的密度（设地球半径R已知）：已知）：2224MmGmrrT2324rMGT3233MrVGT R地球的质量：地球的质量：地球的密度（设地球半径地球的密度（设地球半径R已知）：已知）：22MmvGmrr2rvMG2334MrvVGR若已知卫星绕地球运行的若已知卫星绕地球运行的线速度线速度v 和周期和周期T（或角速（或角速度度）若已知若已知地球半径地球半径R和地球和地球表面的重力加速度表面的重力加速度g地球的质量：地球的质量：地球的密度

9、（设地球半径地球的密度（设地球半径R已知）：已知）：地球的质量：地球的质量：地球的密度（设地球半径地球的密度（设地球半径R已知）：已知）：22MmvGmrr2 rTv32TvMG32338MTvVGR2MmGmgR2gRMG34MgVGR某卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动，若已知该某卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动，若已知该卫星绕月球的周期和轨道半径及引力常量，则由已知卫星绕月球的周期和轨道半径及引力常量，则由已知物理量可以求出（物理量可以求出（ ）A月球的质量月球的质量B月球的密度月球的密度C月球对卫星的引力月球对卫星的引力D卫星的向心加速度卫星的向心加速度AD例与练例与练3、卫星与航天

10、卫星与航天（2 2）宇宙速度宇宙速度宇宙速宇宙速度度数值数值(km/s)意义意义第一宇第一宇宙速度宙速度7.9卫星绕地球做圆周运动的卫星绕地球做圆周运动的最小发射速最小发射速度度若若7.9 km/sv11.2 km/s，物体绕，物体绕_ 运行运行(环绕速度环绕速度)第二宇第二宇宙速度宙速度11.2物体挣脱地球引力束缚的最小发射速物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度若度若11.2 km/sv v v2 2 v v3 3 B. v v3 3vv1 1va2a3 D. a1a3a2D例与练例与练总结：随星球自转物体和环绕星球表面的运动物体的区别总结：随星球自转物体和环绕星球表面的运动物体的区别 22

11、( )24) (aRRTRMaGr1向心力的来源不同 置于星球表面的物体随星球自转所需的向心力由星球对物体的引力和星球表面支持力的合力提供 环绕星球表面运动的卫星所需的向心力完全由星两个向心加速度的计算方法不同 物体随星球自转的向心加速度为 ，其中 为自转半径 赤道上的物体 等于星球半径 卫星绕星球运行的向心加速度球的引力提为 供2Mr，其中为星球质量， 为卫星与星球中心的距离1、A、B两卫星绕同一天体运动，某时刻他们相隔最近。当它们第二次相隔最近时，则一定是两者做圆周运动转过的圈数相差一圈;即：AB1t-t=2ABttTT 或者2、A、B两卫星绕同一天体运动，某时刻他们相隔最近。当它们第一次

12、相隔最远时，则一定是两者做圆周运动转过的圈数相差半圈;即： AB1t-t=2ABttTT或者卫星相隔最近及最远问题卫星相隔最近及最远问题(1)圆轨道上的稳定运行圆轨道上的稳定运行(2)变轨运行分析：变轨运行分析：当卫星的速度当卫星的速度 v 增大时，所需向心力增大时，所需向心力 mv2r增大，万有引增大，万有引力不足以提供向心力，卫星将脱离原来的圆轨道做离心运动，力不足以提供向心力，卫星将脱离原来的圆轨道做离心运动，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由 v知其运行速度要减小，但重力势能、机械能知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加均增加

13、GMr （4 4）卫星变轨和卫星的能量问题）卫星变轨和卫星的能量问题当卫星的速度当卫星的速度 v 减小时，向心力减小时，向心力 mv2r减小，即万有引力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，卫星将脱离原来的圆轨道做向心运动，大于卫星所需的向心力，卫星将脱离原来的圆轨道做向心运动，知运行速度将增知运行速度将增轨道半径变小，进入新轨道运行时由轨道半径变小，进入新轨道运行时由 v大，但重力势能、机械能大，但重力势能、机械能均减少均减少GMr (3)速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，离恒星离恒星(或行星或行星)越近速率越大越近速率越大(4)加速

14、度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，外轨道向心加速度大；同一轨道上，近地点的向心加外轨道向心加速度大；同一轨道上，近地点的向心加速度大于远地点的向心加速度。速度大于远地点的向心加速度。AB一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现用则将会出现( )A速度变小速度变小 B动能增大动能增大C角速度变小角速度变小 D半径变大半径变大B解析：解析：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上运行，故半径卫星必定只能降至低轨道上运行，故半径

15、r要减小，要减小，由由 可知线速度可知线速度v要增大，角速要增大，角速度度要增大，动能也要增大。要增大，动能也要增大。GMvr3GMr例与练例与练如图所示，如图所示，a、b、c 是在地球大气层外圆形轨道上运是在地球大气层外圆形轨道上运动的动的 3 颗卫星，下列说法正确的是颗卫星，下列说法正确的是( )Ab、c 的线速度大小相等，且大于的线速度大小相等，且大于 a 的线速度的线速度Bb、c 的向心加速度大小相等，且大于的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加的向心加 速度速度Cc 加速可追上同一轨道上的加速可追上同一轨道上的 b，b 减速可等候同一减速可等候同一 轨道上的轨道上的 cDa 卫星

16、由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速 度将增大度将增大例与练例与练D2008 年年 9 月月 25 日至日至 28 日我国成功实施了日我国成功实施了“神舟神舟”七七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱飞船先沿号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点椭圆轨道飞行，后在远地点 343 千米处点火加速，由千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为椭圆轨道变成高度为 343 千米的圆轨道，在此圆轨道千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为上飞船运行周期约为 90 分钟如图所示，下列判断正分钟如图所示，下列判断正确的是（确的是（ ）A. 飞

17、船变轨前后的机械能相等飞船变轨前后的机械能相等B. 飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C. 飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度的角速度D. 飞船变轨前通过椭圆轨道远地点飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度的加速度BC例与练例与练（2011全国卷全国卷）我国）我国“嫦娥一号嫦娥一号”探月卫星发射后，探月卫星发射后，先在先在“24小时轨道小时轨道”上绕地球运行上绕地球运行(即绕地球一圈需要即绕地球一圈需要24小时小时)；

18、然后，经过两次变轨依次到达；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道小时轨道”和和“72小时轨道小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比（与变轨前相比（ ） A卫星动能增大，引力势能减小卫星动能增大，引力势能减小B卫星动能增大，引力势能增大卫星动能增大，引力势能增大 C卫星动能减小，引力势能减小卫星动能减小，引力势能减小D卫星动能减小，引力势能增大卫星动能减小，引力势能增大D例与练例与练如图，一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜如图，一宇航员站在某质量分布均

19、匀的星球表面一斜坡上的坡上的A点，沿水平方向以初速度点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，抛出一个小球，测得经时间测得经时间t 落到斜坡上另一点落到斜坡上另一点B，斜坡的倾角为，斜坡的倾角为，已知该星球半径为已知该星球半径为R，求：，求：(1)该星球表面的重力加速度；该星球表面的重力加速度；(2)该星球的第一宇宙速度该星球的第一宇宙速度解解（1）设星球表面重力加速度为设星球表面重力加速度为g，由平抛运动规律，由平抛运动规律得：得：由上面各式得：由上面各式得：0 xv t212ygttanyx02tanvgt2vmgmR02tanv RvgRt（2）重力提供向心力：）重力提供向心力：(5)(5

20、)万有引力定律与其他知识的综合万有引力定律与其他知识的综合若在星球表面上以初速度若在星球表面上以初速度v0竖直上抛小球，经时间竖直上抛小球，经时间t落回抛出点，落回抛出点，(已知该星球半径为已知该星球半径为R)，该星球的第一，该星球的第一宇宙速度宇宙速度(或最小发射速度）为多大？或最小发射速度）为多大？此类题型也可通过在星球上的一种运动（如平抛运此类题型也可通过在星球上的一种运动（如平抛运动、圆周运动、竖直上抛运动等），求星球的重力动、圆周运动、竖直上抛运动等），求星球的重力加速度，再求加速度，再求星球的质量星球的质量。变式变式某星球可视为球体，其自转周期为某星球可视为球体，其自转周期为T，在

21、它的两极处，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为测得同一物体重为0.9P，某星球的平均密度是多少？，某星球的平均密度是多少？解析：解析：设物体的质量为设物体的质量为m，星球的质量为，星球的质量为M，半径，半径R；在两极处时物体的重力等于地在两极处时物体的重力等于地球对物体的万有引力，即：球对物体的万有引力，即：在赤道上，因星球自转物体做匀速圆周运动，星球对在赤道上，因星球自转物体做匀速圆周运动，星球对物体的万有引力和弹簧秤对物体物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，有：的拉力的合力提供向心力，有：由以上两式解得：由以上两式解得：2MmPGR22240.9MmGPmRRT23240RMGT又：又：343VR星球的平均密度：星球的平均密度：230MVGT例与练例与练关于卫星的说法中正确的是（关于卫星的说法中正确的是（ ）A、绕地球做匀速圆周运动的卫星的运行速度可能达、绕地球做匀速圆周运动的卫星的运行速度可能达