浙江省宁波市2016-2017学年高一数学下学期期中试卷(含解析)

1、浙江省宁波市2016-2017学年高一数学下学期期中试卷（含解析）2016-2017学年浙江省宁波市高一（下）期中数学试卷二选择题（共1.为A.2.化简cos15( )ip近PB-C8小题，每小题5分，共40分）cos45 ° cos75° sin45 ° 的值-D).- -已知 ABC中，a=五，b=衣，B=60° ,那么角A等于（）A.45°B.60°C.120°或60°D.135°或453.在等差数列an中，若a2+a8=10,则a1+a3+a5+a7+a9的值是()A10B.15C.20D254

2、.设正项等比数列an的前n项和为之若a3+a5=20)a2a6=64)贝US4=()A.63或126B.252C.120D.635 .已知民、0都是锐角)COSa=1?COS(A.a + B )B.A13,65 C -6.数列a n满足则oos B值为(D.2anJan+1 = '2%T，）若a1="则a2oi6的值是（A.：B.：CD.7 .若c=acosB）b=asinC）贝UABCM（）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等边三角形8 .在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，b=c,且满足普与吟.若点O是4ABC外一点，/AOB=）（0V0V

3、兀），OA=2OB=2平面四边形OACBT积的最大值是（A.B.4+W5C. 3 D.4+5V3-2二.填空题（本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9. （6分）记等差数列an的前n项和为S,若力而，S尸2C,贝Ud=,S6=.10. （4分）在等比数列an中，ai=3,a，=24,则a3+a4+a5=.11. .（6分）若cos民+3sine=-限）则tana=）sin2a=.12. （4分）已知钝角ABC的三边a=k,b=k+2,c=k+4）求k的取值范围.13. （6分）在四边形ABCDK已知ADLDQAB±BC,AB=1,AD=2,/BAD=120,

4、则BD=,AC=.14. (4分)已知锐角0满足sin(-t+v)=t,贝Icos(0理1)的值为.15. (6分)数列an满足an+i+(-1)nan=2n1,其前n项和为Sn,则(1) a+a3+a5+a99=；(2) &n=.三.解答题(本大题共5小题，共74分)16(14 分) 已知函数z7T、t¥TT._sin(x+-)/3cos(.(1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)方程f(x)=m在在卷内有解，求实数m的取值范围.17. (15分)三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(AC)+cosB=1)a=2c.(I)求C角的大小(n)若a=色求A

5、BC的面积.18. (15分)已知数列an中，d=3,且an=2an1+2n-1(nR2且nGN*)a-(I)证明：数列$为等差数列；(n)求数列an的前n项和S.19. (15分)已知在锐角ABC中，a,b,c为角A)B)C所对的边)且(b-2c)cosA=a-2acos21.(1)求角A的值；(2)若a=正，则求b+c的取值范围.20. (15分)各项均为正数的数列an中，前n项和-W(1)求数列an的通项公式；(2)若定+段+，Twk恒成立，求k的取值范围；(3)是否存在正整数m,k,使得am,am+5,ak成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由.2016-2017学年

6、浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1 .化简cos15°cos45°-cos75°sin45°的值C.D.【考点】GP两角和与差的余弦函数.【分析】先利用诱导公式把cos750转化为sin15。，进而利用两角和的余弦函数求得答案.【解答】解：cos15°cos45°-cos75°sin45°=cos15°cos45°-sin15°sin45°=cos（15°+45°）=cos60&

7、#176;=1故选A.【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数和诱导公式的运用，利用诱导公式把cos75°转化为sin150关键.属于基础题.2 .已知ABC中，a吟b=”B=60°,那么角A等于（）A.45°B.60°C.120°或60°D.135°或45°【考点】HR正弦定理.【分析】根据正弦定理，即可求出A的大小.【解答】解：.ABC中，a*b=E.avb,且AvB,又B=60o,即Av60°,由正弦定理Wr+得sinA=asinB V2 义则A=45°或135°（舍去），故选

8、：A.【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键，注意要判断角A的取值范围.3 .在等差数列an中，若a2+a8=10,则ai+a3+a5+a7+a9的值是（）A10B.15C.20D.25【考点】85:等差数列的前n项和；84:等差数列的通项公式.【分析】由等差数列的性质可得：a2+a8=10=a+a9=a3+a7=2a5)即可得出.【解答】解：由等差数列的性质可得：a2+a8=10=a+a9=a3+a7=2a5).=a5=5)/.ai+a3+a5+a7+a9=5&=25.故选：D.【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档

9、题.4 .设正项等比数列an的前n项和为且于若a3+a5=20)a2a6=64)则&=()A.63或126B.252C.120D.63【考点】89:等比数列的前n项和.【分析】设正项等比数列an公比为q,且0Vq=L<1,根据a3+a5=20,a2a6=64=a3a5,解得a3=16,a5=4.可得q2=|,0<q<1,解得q,ab利用求和公式即可得出.【解答】解：设正项等比数列an公比为q,且04+1<q=h，a3+a5=20)a2a6=64=a3a5)解得a3=16)a5=4.-q2=Z,0<q<1,解得q=j,；=16)解得ai=64.6

10、69;1-3)4则S4=-=120.故选：C.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.5 .已知小5(a + B )=一芯)B都是锐角,则00s B值为(3cos a =专)cos)AD且八里c”A.力B.标C.前D.前【考点】GP两角和与差白余弦函数；GQ两角和与差的正弦函数.【分析】根据同角三角函数基本关系的应用分别求得sina和sin(a+0)的值，进而根据余弦的两角和公式求得答案.【解答】解：7a,3都是锐角，cosa=,cos(a+B)=-占，sina=Ji-8£q=I?sin(a+B)I-12=vl-coS(a+P)=

11、15,cos3=cos(a+3-a)=COS(a+3)COSa+sin(a+3)Sina=芯*'5+5*-13=65故选：C.【点评】本题主要考查了余弦函数的两角和公式的应用.注重了对学生基础知识的考查.2a,0<色6.数列an满足an+尸'I)，若ai=E则2an-b1<-n<1a2oi6的值是()A.：B.C.D.【考点】81:数列的概念及简单表示法.【分析】由数列an满足an+1=2、,a1=a口彳导an+3=an.【解答】解：.数列an满足an+1 =2anJ2%T，5'a1=-)a4=2a3= ,)53 .a2=2a1一1=7,a3=2sb1

12、=y) an+3=an贝Ua2016=a671X3+3=a3=Y.故选：C.【点评】本题考查了分段数列的性质、分类讨论方法、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7 .若c=acosB,b=asinC,贝iJ/XABC是（）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等边三角形【考点】HP正弦定理.【分析】由余弦定理化简c=acosB得：a2=b2+c2,判断出A=90°,再由正弦定理化简b=asinC,判断出B、C的关系.【解答】解：因为：在ABC中，c=acosB,929所以：由余弦定理得，c=axT3",化简得，a2=b2+c2,则：ABCi：直角

13、三角形，且A=90°,所以：sinA=1,又因为：b=asinC,由正弦定理得，sinB=sinAsinC,即sinC=sinB,又因为：Cv90°,Bv90°,则C=B所以：4AB渴等腰直角三角形，故选：B.【点评】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查了边角互化，即根据式子的特点把式子化为边或角，再判断出三角形的形状，属于基础题.8 .在ABC中，a,b,c分别为内角A）B,C所对的边，b=c,且满足：=:.若点O是ABC外一点，/AOB=（0V0V兀），OA=2OB=2平面四边形OACB面积的最大值是A¥B:C.3D.【考点】GL三角

14、函数中的恒等变换应用；HR余弦定理.【分析】依题意，可求得ABC为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得TTSOAcB=2sin ( 0 -(0 V 0 < TT ) ,从而可求得平面四边形OACBT积的最大值.【解答】解： ABC中,sinBIyosBsinAcosA)sinBcosA+cosBsinA=sinA)即sin(A+B)=sin(兀一C)=sinC=sinA)，A=G又b=c).AB8等边三角形;二SoaceFsaoe+SABCf|OA|?|OB|sine+x|AB|2x坐=X2X1Xsin0+哼(|OA|2+|OB|2-2|OA|?|OB|cos0)=sin0+

15、(4+1-2X2X1Xcos9)=sin9-&cos0+平=2sin(0-t)+手).ovev兀,_(_2L/22L3<U3<3)当6-7=£,即0f时，sinT)取得最大值1,，平面四边形OACB面积的最大值为乂还一字2+.:-I故选：A.【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得SoAc=2sin（6-费）+¥是关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题.二.填空题（本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9.记等差数列an的前n项和为S,若叫s4=2c,贝Ud=3,&=48,【考点

16、】85:等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.【解答】解：设等差数列an的公差为d,%S4=2C/.+号d=20）解得d=3.S=：=48.故答案为：3,48.【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.10.在等比数列an中，ai=3,a4=24,则a3+a4+a5=84.【考点】84:等差数列的通项公式.【分析】根据ai=3,a4=24求出数列的公比，从而可求出a3+a+a5的值.【解答】解：.等比数列的通项公式为an=aqi,a4=aiq3=3q3=24解得q=2a3+a4+a5=3q2+3q3+3q4=84故答案

17、为：84【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，利用等比数列性质的能力，同时考查了运算求解的能力，属于基础题.11.若cosa+3sina=一万,贝Utana3) sin25=【考点】GI:三角函数的化简求值.【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得sinB）进而可得cos民）可得tanB）利用倍角公式即可求得sin2民的值.【解答】解：:3sina+cosa=6二cose=一后-3sin民)代入sin25+cos25=1可得sin2a+(6二 cos a = - 6£一期上 tan a =cosa故答案为：3;3sina)2=1解得sina=3sina=iq)3=3)sin2a=

18、2sin5cos民=3【点评】本题考查三角函数计算，涉及同角三角函数基本关系，二倍角的正弦函数公式的应用，属基础题.12.已知钝角ABC的三边a=k,b=k+2,c=k+4,求k的取值范围(2.6).【考点】HR余弦定理.【分析】根据余弦定理以及C为钝角，建立关于k的不等式，解之可得-2<k<6,再根据n为整数和构成三角形的条件，不难得出本题答案.【解答】解：由题意，得c是最大边，即C是钝角由余弦定理，得(k+4)2=(k+2)2+k2-2k(k+2)?cosC>=(k+2)2+k2即(k+2)2+k2v(k+4)2,解之得-2<k<6,<a+b>c,

19、.k+(k+2)>k+4,解之得k>2综上所述，得k的取值范围是(2,6)故答案为：(2,6)【点评】本题给出钝角三角形的三边满足的条件，求参数k的取值范围，着重考查了利用余弦定理解三角形和不等式的解法等知识，属于基础题.13.在四边形ABC并，已知ADLDCAB±BGAB=1,AD=2/BAD=120,贝UBD=5,AC=2VF-【考点】HT:三角形中的几何计算.【分析】由余弦定理求出BD,利用AC为直径，根据正弦定理，即可求出.【解答】解：ABD中，由余弦定理可得BD=二二一="/AD1DGAB±BC,.A,B,C,D四点共圆，AC为直径，Ar-2

20、二2而AC=inl20=3故答案为:舟，呼.【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础.14.已知锐角0满足sin(y+v)=1)则cos(0+v)的值为_dt.【考点】GI:三角函数的化简求值.【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式进行化简求值.【解答】解：:sin(t+t)=f,sin2(t+看)=!="§,贝Ucos(9错)25 0ve<上i,百V9+32425_ _ _/ 元.八 叮 _ _)=cos ( + 0 + ) =sin24 sin(9+9/.sin(+y =cos(+平(0+t)=-故答案为：【点评】本题考查了三角函数的

21、化简求值，熟记公式即可解答，属于基础题，考查学生的计算能力.15.数列an满足an+什(1)nan=2n1)其前n项和为S,则(1) a1+a3+a5+a99=50;(2) S4n=8n2+2n,a2n+l+a2n【考点】8H:数列递推式.【分析】(1)由已知数列递推式可得1=2.分别取n=1、3、5、49,可得ai+as+a5+a99的值；(2)由已知数列递推式结合(1)可得色,n=4k-3_ *. 、(k G N ).设 bn=a4n2n-3+apn=4k-2&n2-%，n=4k-l2n_l-apn=4k*、3+a4n2+a4nl+a4n=16n6(nGN)则bn为首项为10,公差

22、为16的等差数列.由此求得Sln=bl+b2+bn.【解答】解：(1).an+i+(1)nan=2n-1,a2n+a2n=4n1,a2na2n1=4n3.两式相减得a2n+1+a2n1=2.贝Ua3+a=2,a7+a5=25)a99+a97=2)a+a3+a5+a99=25X2=50;(2)由(1)得,a3=2一a1aa2n+3+a2n+1=2)*、a2n+3=2a2n+1=2(2a2n1)=a2n1(nGN).*当n=2k(kGN)日寸,a4k+3=a4k1=,一=a3=2a1;*、当n=2k1(kGN)时)a4k+1=a4k3=.=a1.由已知可得a4k1+a4k2=8k5)a4ka4k1

23、=8k3(k*,GN).a4k2=8k5a4k1=8k7+a1)a4k=8k3+a4k1=8k1a1.*, (kG N)包卜n=4k-32n-3+arn=4k-2a=-112-d,n=4k-l2n_l-apn=4k设bn=a4n3+a4n2+&ni+a4n=16n6(nGN),则bn为首项为10,公差为16的等差数列.S»n=bl+b2+bn=0nJ6n().故答案为：(1)50;(2)8n2+2n.【点评】本题考查数列递推式，考查了逻辑思维、推理论证以及计算能力，考查等差数列前n项和的求法，题目难度较大.三.解答题(本大题共5小题，共74分)16.(14分)(2017春?堇

24、B州区校级期中)已知函数f(x)=2co式sinCi+)73ccs(x+)(1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)方程f(x)=m1在*。，专内有解，求实数m的取值范围.【考点】GL三角函数中的恒等变换应用；H2:正弦函数的图象.【分析】(1)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(cox+0)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；(2) xo,平内有时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得f(x)的值域.即得实数m的取值范围.化简可得：f(x)=2cos(x+&#

25、163;)?sin(x+3)一无X2cos2(x+y)=sin(2x+平)Mcos(2x+)一=2sin(2x+等)加(1) -1<sin(2x玲)w1.IT2点<2sin(2x+r)-肥W2一点,最小正周期T丹=兀，即f(x)的值域为，最小正周期为兀.(2)当xW时，兀urn2兀-I2x+'3"G京亏)故sin(2x+T)G冬i,即实数m的取值范围是°-2-&.【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.属于中档题.17. (15分)(2017春？W州区校级期中)三角形的

26、内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(AC)+cosB=1,a=2c.(I)求C角的大小(n)若a=&,求ABC的面积.【考点】HQ正弦定理的应用；GP两角和与差的余弦函数.【分析】(I)根据cos(A-C)+cosB=1,可得cos(A-C)-cos(A+Q=1,展开化简可得2sinAsinC=1,由a=2c,根据正弦定理得：sinA=2sinC，代入上式，即可求得C角的大小(II)确定A,进而可求b,c,利用三角形的面积公式，可求ABC的面积.【解答】解：(I)因为A+BO180,所以cos(A+。=cosB,因为cos(A-C)+cosB=1,所以cos(A-C)-c

27、os(A+。=1,展开得：cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=1,所以2sinAsinC=1.因为a=2c)根据正弦定理得：sinA=2sinC)代入上式可得：4sin2C=1)所以sinC=1)所以C=30°(n)由(I)sinA=2sinC=1)aA=y.a=五,C=3(J,c.c聋,b弯Sabc=1bc=7xx.【点评】本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.18. (15分)(2017福州一模)已知数列an中，a1=3,且an=2a1+2n1(nR2且nGN*)*3一(I)证明：数列+为等差数列；(H)求

28、数列an的前n项和S.【考点】8H:数列递推式；8E:数列的求和.【分析】(1)整理变形an-1=2(an1-1)+2n,.*n一.jT(nA2且nGN)式两端同除以2n得出：费rb总1寸斤=1=常数，运用等差数列的和求解即可.(2)根据数列的和得出S=(1x21+2X22+3x23+nX2n)+n,设Tn=1x21+2x22+3x23+-+n运用错位相减法求解即可.得出Tn,代入即可.【解答】解：(1).an=2an1+2n-1(n>2且n*GN)an1=2(ani1)+2)(nA2且nGN)且一，等式两端同除以2n得出：.Tn=nX2n+1-2X2n+2,S=nX2n+1-2n+1+

29、2+n【点评】本题考察了数列的递推关系式的运用，错位相减法求解数列的和，考察了学生的分析问题，化简计算的能力.19.(15分)(2017TW河口市校级模拟)已知在锐角ABC中，a,b,c为角A,B,C所对的边，且(b-2c)cosA=a-2acos端.(1)求角A的值；(2)若a=«,则求b+c的取值范围.【考点】HR正弦定理；GL三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)在锐角AB8,根据条件利用正弦定理可得(sinB-2sinC)cosA=sinA(-cosB),化简可得cosA巨，由此可得A的值.(2)由止弦1AtL理口彳可sinB_sinC=sinA二2,TT可得b+c=2(s

30、inB+sinC)=2灰sin(B+v).再由2冗兀，求得B的范围，再利032用正弦函数的定义域和值域求得b+c的取值范围.【解答】解：(1)在锐角ABC中,2c)cosA-a-2acos用-a-2a?平詈利用正弦定理可得(sinB-2sinC)(-cosB)即sinBcosA+cosBsinA-2sinCcosA根据（b-cosA=sinA即 sinC=2sinCcosA)(2 )若 a= M._ _ _ A 1. A n. cosA-2 :. A=3则由正弦定理可得sinh sinC_ a-sinA=2(B+A)-2sinCcosA)b+c=2(sinB+sinC)=2=3sinB+正cosB=2sin(B+g-).由于,. 其 30<b<t。告bWv B诺号）求得 T < B<t ），sin (B+v ) G (V32,1,. b+cG (32正.【点评】本