高等数学微积分课件822 第二型曲线积分的计算

1、College of mathematicsMarch 7, 20228.2.2 第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算Line IntegralsCollege of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页第二型曲线积分可以化为定积分来计算第二型曲线积分可以化为定积分来计算定理定理2.1读书读书College of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页(1) L 由参数方程给出：由参数方程给出：( )yy t( :)t:( ),L xx t则则( , )LP x y dx ( ), ( )( )x tP xdty

2、 tt起点的参数起点的参数终点的参数终点的参数( , )LQ x y dy ( ), ( )( )y tQ xdty ttCollege of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页( , )( , )LP x yQ xdxdyy ( ), ()()P x ty t x t ( ), ( )( )Q x ty ty tdtCollege of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页(2) L 由显函数给出：由显函数给出：( :)x ab:( )L yy x则则( , )LP x y dx , ( )baP x y x

3、dx( , )LQ x y dy)(, (bayQ xxy xx d( )yy xabCollege of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页( , )( , )LP x yQ xdxdyy , ( )baP x y x , ( ) ()y x dQyxxxCollege of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页(4) 空间曲线空间曲线 L 由参数方程给出：由参数方程给出：( ),yy t( :)t:( ),L xx t则则( ),zz t( , , )LP x y z dx ( ), ( ), ( ) ( )

4、P x tx t dty tz t( , , )LQ x y z dy ( ), ( ), ( ) ( )Q x ty t dty tz t( , , )LR x y z dz ( ), ( ), ( ) ( )R x tz t dty tz tCollege of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页矢量形式矢量形式r)A(A( ) t:(r)rLt: tr( ) tL设设则则A rLd( ( )A)r (r tt dtCollege of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页如何写出第二型曲线积分的定积分计算公

5、式？如何写出第二型曲线积分的定积分计算公式？注意：注意：中的中的 (x, y) 在曲线在曲线 L 上变动上变动 (x, y) 必须满足曲线必须满足曲线 L 的方程的方程 !( , )( , )LP x yQ xdxdyyCollege of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页例例2.1Lydxxdy解解方法一方法一L 的直角坐标方程：的直角坐标方程：2:2L yxx( :20)x02Lydxxdy022(2xx21)2xxdxxx 0222xdxxx 详见教材详见教材积分较难积分较难College of mathematicsMarch 7, 2022

6、上一页 | 首页 | 下一页方法二方法二L 的参数方程：的参数方程：:1cos ,L xt ( :0)tLydxxdysinyt02t1Lydxxdy0( sin ) (1cos )t dt(1cos ) (sin )t dt0( sin )( sin )tt(1cos )cos )tt dt0(1cos ) t dt此法简单些此法简单些College of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页例例2.3解解()Lxydxxy dy(1):L yx( :01)x01()Lxydxxy dy10() 1x xxxdx120 x dx13College of

7、 mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页()Lxydxxy dy(2)2:L yx( :01)x()Lxydxxy dy1220() 2 x xxxx dx1230(2)xx dx51201积分与路径有关积分与路径有关PQyxCollege of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页例例解解23Lx ydxy dyL是由曲线是由曲线32yxyx所围成的区域的边界正向曲线所围成的区域的边界正向曲线322:Lyx1:Lyx1012LLL1:Lyx( :01)x232:Lyx( :10)xCollege of mathem

8、aticsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页1:Lyx( :01)x232:Lyx( :10)x23Lx ydxy dy123Lx ydxy dy223Lx ydxy dy1230(1)xxxdx22102333312()3xxxxdx144322:Lyx1:Lyx10College of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页例例2.4解解Lxdxydyzdz:1,L xt ( :01)t10(1)(12 ) 2(13 ) 3tttdt(1,1,1)(2,3,4)12 ,yt 13zt Lxdxydyzdz10(614 ) t dt1

9、3College of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页例例2.5解解:LABcos ,xasinya( :0)2在在 P(x, y)处处, 力函数力函数F( , )x y , k x y Oab( , )P x yABFCollege of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页( , ) , F x yk x y Oab( , )P x yABF:Lcos ,xasinya rFLWdLk xdxydy 20( cos )(sin )kaa ( sin )( cos )bbd2220()cos sink abd College of mathematicsMarch 7, 2022上一页 | 首页 | 下一页2220()cos sinWk abd 222201()s