高等数学2017年最新课件正项级数及其收敛法

1、第二节第二节 正项级数及其收敛法正项级数及其收敛法u 正项级数及其收收敛法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :，中中各各若若01 nnnuu则称此级数为则称此级数为正项级数正项级数. .对对正正项项级级数数，有有2.2.正项级数收敛的正项级数收敛的充分必要充分必要条件条件: :正项级数收敛的正项级数收敛的基本定理基本定理.部部分分和和数数列列有有界界正正项项级级数数收收敛敛 nsss21注：注：正项级数收敛的正项级数收敛的本质本质 un 0 0足够足够快。快。. 11nnnnnnvuvu 级级数数，且且为为、正项3.比较审敛法比较审敛法则则 收收敛敛1nnv 发发

2、散散1nnu;1收收敛敛 nnu.1发发散散 nnv重要参照级数重要参照级数: :等比级数等比级数, , p- -级数。级数。极限形式极限形式: :. lim 11lvuvunnnnnnn 同同上上，且且和和则则 收收敛敛nv;收收敛敛 nu)1(时，时，当当 l 收收敛敛nu;收收敛敛 nv)2(时时，当当 0 l收收敛敛 nu.收收敛敛 nv)3(时时，当当 0 l注注: :须有参照级数须有参照级数. 比较审敛法的不方便比较审敛法的不方便 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppp结论结论:（2 2）等比级数等比级数( (几何级数几何级数) ) )0( a .,1;,10发散发

3、散时时当当收敛收敛时时当当qqaqnn nnnaqaqaqaaq20的收敛性的收敛性. . 解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 发散发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,nn收收敛敛而而 131故原级数收敛故原级数收敛.5 5. .比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法) )： 设设 1nnu是是正正项项级级数数, , )(lim1 为为数数或或 nnnuu, , 则则1 时时, ,收收敛敛; ; 6.6.根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )： 设设 1nnu是是正正项项级级数数, , nnnulim)(

4、 为为数数或或 , , 则则1 时时, ,收收敛敛; ; 1 时时, ,发发散散. . 由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性由项的比值或根值的极限值确定级数的收敛性. . 比值审敛法、比值审敛法、根值审敛法根值审敛法的优点的优点: :1 时时, ,发发散散. . ( ( 1 时失效时失效) ) （1 时失效）时失效） 注意注意:当当1 时时比比值值（根根值值）审审敛敛法法失失效效。 ,11 npnp 级级数数对对例例nnnuu1 lim 总总有有nnnu lim . 1 例例 5 5 判别收敛性判别收敛性: (1) 1!1nn; 解解!1)!1(11nnuunn 11 n0.收敛收敛1 !

5、1010)!1(11nnuunnnn 101 n.发发散散(2) 110!nnn; 解解(3) 11nnn; nnnulim0 nn1lim.收敛收敛解解.)12(21 )4(1 nnn解解)22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效.根值审敛法也一定失效根值审敛法也一定失效.改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn nnnn2) 12(1 lim 2 或或4/1 .收敛收敛第三节第三节 任意项级数任意项级数u 交错级数及其收收敛法u 绝对收敛与条收收收敛一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法正、负项相间的级数称为正、负项

6、相间的级数称为交错级数交错级数. .莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果如果交错交错级数满足条件级数满足条件: : ( () ) ),3,2,1(|1 nuunn; ; ( () ) 0lim nnu, , 则级数收敛则级数收敛, ,且和的绝对值且和的绝对值 |u|s|1 , ,余项的余项的 绝对值绝对值 |u|rnn1 . . nnSSr称为级数余项称为级数余项 nn1) 1(41312111,.)2 , 1( ;111).(1nunnuinn01limlim).(nuiinnn收敛且收敛且S0,使得当使得当 |x|R 时它发散时它发散注注:三种收敛情形三种收敛情形:(1) 仅在仅在 x = 0

7、处收敛处收敛;(2) 在在 内处处收敛内处处收敛;),(3) 在在(R,R )内收敛内收敛,端点另外讨论端点另外讨论收敛区间收敛区间R收敛半径收敛半径R= 0R= + 2.收敛半径的求法收敛半径的求法定理定理21limnnnaaR(证明略证明略)例例 求收敛半径和收敛域求收敛半径和收敛域11) 1().1 (nnnnx1limnnnaaR1111limnnnx =1 时时111) 1(nnn收敛收敛； x =1时时)1(1nn收敛域是收敛域是(1，1发散发散1limnnnaaR1limnnnaaR1!).3(nnxn0!).2(nnnx0)!1(!limnnn)!1(1!1limnnn 收敛域

8、是收敛域是(，）仅在仅在 x =0 点收敛点收敛11)2() 1().4(nnnnx设设 x2 t ,由由(1)知知11) 1(nnnnt收敛域是收敛域是(1,3收敛域是收敛域是(1,1023).5(nnnx令令2xt 00233nnnnnntx1limnnnaa33131lim1nnnt =3 时时t =3时时11n发散发散1) 1(nn发散发散收敛域是收敛域是(3,3)收敛域是收敛域是)3,3(0123).6(nnnx缺少偶次项缺少偶次项,无法用公式，可以用无法用公式，可以用比值法比值法求求Rnnnuu1lim212132|3133limxxxnnnnn1时时,发散发散.则收敛区间为则收敛

9、区间为3x时时,发散发散.)3,3(注注:缺少奇次项缺少奇次项,也可以用此方法也可以用此方法.1)2(31).7(nnnnnx31) 1(3213321lim) 1()2(3)2(3lim111nnnnnnnnnnnn.31211)2(3331处发散所以原级数在点发散，且时，因为当xnnnxnnnn.31)2(32) 1(,1)2(321) 1(1)2(3)3(311处收敛点都收敛，所以原级数在与且时，由于当xnnnnnxnnnnnnnnnnnnn)3 , 3(, 3收敛区间为所以收敛半径为1limnnnuu1R因为三三.幂级数的运算性质幂级数的运算性质1.四则运算性质四则运算性质0)(nnn

10、xgxb)(0 xfxannn设设收敛半径分别为收敛半径分别为 和和 ,记记1R2R,min21RRR 则对于任意的则对于任意的 , 有有),(RRx)()()().1 (000 xgxfxbaxbxannnnnnnnnn)()()()().(2(0011000 xgxfxbababaxbxannnnnnnnnnn 利用乘法可以定义除法利用乘法可以定义除法000)()(nnnnnnnnnxcxbxa000nnnnnnnnnxcxbxa则则注意注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多商级数的收敛半径可能比原来要小得多2. 分析运算性质分析运算性质)(0 xSxannn设设收敛半径为收敛半径为R,

11、 则则(1) S(x) 在收敛域内连续在收敛域内连续;(2) S(x) 在在(-R,R)内可导内可导,且且0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS即幂级数在即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导内可以逐项求导,所得到的幂级数所得到的幂级数收敛半径不变收敛半径不变.可推广到任意阶导数可推广到任意阶导数(3) S(x)在在(-R,R)内可积内可积,且且 01000001)(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxS即幂级数在即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分内可以逐项积分,所得到的幂级数所得到的幂级数收敛半径不变收敛半径不变.注意注意:(2),(3)中端点需要另外讨论中端点需要另外讨论.例例 求和函数求