高等数学4_1.2正项级数的审敛准则

1、目录 上页 下页 返回 结束 1二、交错级数的审敛准则二、交错级数的审敛准则 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第一节第一节(2)(2)一、正项级数的审敛准则一、正项级数的审敛准则常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 第四章 *四、绝对收敛级数的性质四、绝对收敛级数的性质 目录 上页 下页 返回 结束 21.21.2 正项级数的审敛准则正项级数的审敛准则若若,0nu1nnu定理定理 1.2 正项级数正项级数1nnu收敛收敛部分和数列部分和数列nS),2, 1(n有界有界 .若若1nnu收敛收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列部分和数列nSnS有界有界, 故故nS1nnu从而从而

2、又已知又已知故有界故有界.则称则称为为正项级数正项级数 .单调递增单调递增, 收敛收敛 , 也收敛也收敛.证证: “ ”“ ”特点特点:部分和单调增部分和单调增.目录 上页 下页 返回 结束 3, Nn nnvu定理定理1.3 ( (比较审敛法比较审敛法I)I)nnkknkknSvuS11 收敛1nnv设设,1nnu1nnv并且并且,N n(1) 若若1nnv则则1nnu(2) 若若1nnu则则1nnv证证:和和令令nSnS收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也发散也发散 .分别表示两个级数的部分和分别表示两个级数的部分和nnvu 是两个是两个正项级数正项级数, 证明的基本思路与证明的基本

3、思路与无穷积分的比较准则无穷积分的比较准则I相同相同. 由于由于(2)是是(1)的逆否命题，因此只证明的逆否命题，因此只证明(1)即可即可. 有上界nS有上界nS根据根据定理定理1.2, 级数级数1nnu必收敛必收敛.目录 上页 下页 返回 结束 4注注:根据根据性质性质1.2, 定理定理1.3中的条件中的条件“ ”因为改变级数的有限项，不影响级数的敛散性因为改变级数的有限项，不影响级数的敛散性可以改为可以改为“ ” ,N nnnvu ,NnN Nnnvu 目录 上页 下页 返回 结束 5,Nn,nnvku 都有都有推论推论设设,1nnu1nnv且存在且存在,NN对一切对一切,Nn 有有(1)

4、 若若强强级数级数1nnv则则弱弱级数级数1nnu(2) 若若弱弱级数级数1nnu则则强强级数级数1nnv证证:设对一切设对一切和令nSn收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也发散也发散 .分别表示分别表示弱弱级数和级数和强强级数的部分和级数的部分和, 则有则有nnvku 是两个是两个正项级数正项级数, (常数常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨故不妨目录 上页 下页 返回 结束 6(1) 若若强强级数级数1nnv则有则有nn lim因此对一切因此对一切,Nn有有nS由由定理定理 1.2 可知可知,1nnu则有则有(2) 若若

5、弱弱级数级数1nnu,limnnS因此因此,limnn这说明这说明强强级数级数1nnv也发散也发散 .knSnk也收敛也收敛 .发散发散, ,收敛收敛,弱弱级数级数目录 上页 下页 返回 结束 7证明级数证明级数1) 1(1nnn发散发散 . 证证: 因为因为2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数而级数111nn21kk发散发散根据根据比较审敛法比较审敛法I可知可知,所给级数发散所给级数发散 .例例1.1.目录 上页 下页 返回 结束 8定理定理1.4 1.4 ( (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式) ),1nnu1nnv,limlvunnn则有则有两个级数同时收敛或

6、发散两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu证证: 据极限定义据极限定义, 0对,NN存在lnnvu)(l设两正项级数设两正项级数满足满足(1) 当当 0 l 时时,时当Nn 目录 上页 下页 返回 结束 9nnnvluvl)()(, l取由由定理定理 1.3 可知可知与1nnu1nnv同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 当当l = 时时,NN存在,时当Nn ,1nnvu即即nnvu 由由定理定理1.3可知可知, 若若1nnv发散发散 , ;1

7、也收敛则nnu(1) 当当0 l 0则则有有公公式式中中取取的的在在，xx1)1ln( Maclaurin下面证明下面证明,交错级数交错级数,nS易见上式右端的前易见上式右端的前n项之和就是级数项之和就是级数的敛散性的敛散性.时收敛时收敛,特别地特别地,当当p=1时时,级数也是收敛的级数也是收敛的. 11) 1(nnn的和为的和为ln2, 并估计用并估计用部分和近似代替级数和时所产生的余项误差部分和近似代替级数和时所产生的余项误差. 11)1)(1(1) 1(1) 1(41312112ln nnnnn ) 10( 11) 1(nnn的部分和的部分和并且并且,112ln nSn目录 上页 下页

8、返回 结束 30 111) 1(nnnLeibniz判别法判别法是判别交错级数收敛的充分条件是判别交错级数收敛的充分条件,故级数故级数的和的和2ln. 2lnlim作作为为用用nnnSSS 足足够够大大只只要要取取因因此此绝绝对对误误差差不不超超过过的的近近似似值值nn,.11, .2ln近近似似值值的的满满足足任任何何精精度度要要求求的的就就可可求求得得很多的交错级数和变号级数不能用此法判别很多的交错级数和变号级数不能用此法判别.下面的下面的绝对收敛准则绝对收敛准则是更常用的一种判别法是更常用的一种判别法.目录 上页 下页 返回 结束 31绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对

9、任意的级数对任意的级数,1nnu若若若原级数收敛若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收敛收敛 ,1nnu数数1nnu为条件收敛为条件收敛 .均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛绝对收敛 ；则称则称原级原级数数条件收敛条件收敛 .则称则称原级原级目录 上页 下页 返回 结束 32定理定理1.9 若级数若级数, 0恒恒有有时时当当使使得得NnpnN NN .1 pnnkku证证: 因为因为1nnu根据级数的根据级数的Cauchy收敛原理收敛原理， 1nnu故级数故级数收敛

10、收敛.收敛收敛 ,1nnu收敛收敛, 则级数则级数1nnu也收敛也收敛若级数绝对收敛，则必收敛若级数绝对收敛，则必收敛.,11 pnnkkpnnkkuu从而有从而有目录 上页 下页 返回 结束 33例例7.7. 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 : :.e) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnnnn证证: (1),1sin44nnn而而141nn收敛收敛 ,14sinnnn收敛收敛因此因此14sinnnn绝对收敛绝对收敛 .目录 上页 下页 返回 结束 34(2) 令令,e2nnnu nnnuu1lim limn12e) 1(nnnne221e1limnnn1e1因此因此12

11、e) 1(nnnn12e) 1(nnnn收敛收敛,绝对收敛绝对收敛.12e) 1()2(nnnn小结小结目录 上页 下页 返回 结束 35例例1.12 讨论级数的敛散性讨论级数的敛散性, ,若收敛若收敛, ,是否绝对收敛是否绝对收敛? ?.1ln() 1() 3(;!)2(;) !sin() 1 (11112)1 nnnnnnnxnn证证: (1) ,1!sin22nnn 而而 121nn收敛收敛 ,.) !sin(12因因此此原原级级数数绝绝对对收收敛敛也也收收敛敛故故，nnn ,!,)2(1都都收收敛敛对对任任意意的的级级数数由由前前面面的的例例子子可可知知Rxnxnn .!,1都绝对收敛

12、都绝对收敛对任意的对任意的级数级数从而从而Rxnxnn ).(1)11ln()11ln() 1() 3(1 nnnnn由由于于单调递减单调递减但是但是散散原级数的绝对值级数发原级数的绝对值级数发所以所以)11ln(,.,n ., 0级数收敛级数收敛审敛准则审敛准则根据根据符号交错符号交错趋于趋于Leibniz.故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛目录 上页 下页 返回 结束 36其和分别为其和分别为 * *四、绝对收敛级数的性四、绝对收敛级数的性质质 *定理定理1.10 绝对收敛级数绝对收敛级数重排重排后后仍绝对收敛仍绝对收敛,而且而且和不变和不变. (P275 定理定理)(证明见证明见 P2

13、75P277)*定理定理1.11 ( 绝对收敛级数的乘法绝对收敛级数的乘法 ).AB则对所有乘积则对所有乘积 jivu1nnw按按任意顺序任意顺序排列得到的级数排列得到的级数也绝对收敛也绝对收敛,设级数设级数1nnv1nnu与与都绝对收敛都绝对收敛,BA其和为其和为(P277 定理定理) 说明说明: 绝对收敛级数有类似绝对收敛级数有类似有限项和有限项和的性质的性质, 但条件收敛级数不具有这两条性质但条件收敛级数不具有这两条性质. 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. .目录 上页 下页 返回 结束 37内容小结内容小结2. 判别正项级数敛散

14、性的方法与步骤判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件必要条件0limnnu不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法 limn1nunu根值审敛法根值审敛法nnnulim1收收 敛敛发发 散散1不定不定 比较审敛法比较审敛法用它法判别用它法判别积分判别法积分判别法部分和极限部分和极限1有极限部分和数列收敛. 1nnSu目录 上页 下页 返回 结束 383. 3. 任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数为收敛级数1nnu设Leibniz判别法判别法:01nnuu0limnnu则交错级数则交错级数nnnu1) 1(收敛收敛概念概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛绝对收敛,1发散若n

15、nu条件收敛条件收敛1nnu称目录 上页 下页 返回 结束 39思考与练习思考与练习设正项级数设正项级数1nnu收敛收敛, 能否推出能否推出12nnu收敛收敛 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由由比较审敛法比较审敛法可知可知12nnu收敛收敛 .注意注意: 反之不成立反之不成立. 例如例如,121nn收敛收敛 ,11nn发散发散 .目录 上页 下页 返回 结束 40备用题备用题;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判别级数的敛散性判别级数的敛散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn发散发散 , 故原级数发散故原级数发散 .11npnp:级数不是不是 p级数级数(2)nlimnnn1lim111nn发散发散 , 故原级数发散故原级数发散 .nnn1n1目录 上页 下页 返回 结束 41 作业作业 P266 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; *3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)第三节第