高等流体力学第九章

1、第九章 流场的计算9.1 压力梯度项的表达一维问题的典型网格点群(x)wWw(x)e控制容积PeE222WPWEPEwepppppppp上式可看出动量方程包含两个相间而不是相邻网格点之间的压力差，在效果上压力取的是较实际所采用的网格为粗的网格上的值，导致精度下降9.2 锯齿形压力场在任一网格点P处，对应的pWpE0。结果是错误的锯齿形压力场P = 1 0 05 0 01 0 05 0 01 0 05 0 09.3 棋盘形压力场棋 盘 形 压 力 场100 xy52730010010055273002730010027300100552730010010027300273001005100555

2、27300273009.4 连续性方程0dudx一维问题的典型网格点群(x)wWw(x)e控制容积PeE在如图所示的控制容积内积分0ewuu022pewpuuuu9.5 波形速度场Xv = 1 0 04 0 0波形速度场1 0 04 0 01 0 04 0 0这些速度满足连续性方程但却不能认为是合理的或有意义的9.6 交错网格n如果不一定要在同样的网格点上计算所有的变量，而对每一个因变量采用不同的网格，成为一种交错网格。n采用交错网格时，速度分量是对位于控制容积表面上的点进行计算9.7 速度分量交错网格xy对u的交错位置其它对u与v的交错位置uxyv9.7 速度分量交错网格9.8 SIMPLE

3、算法nSIMPLE用以进行流场计算的程序，是解压力耦合方程的半隐式方法。9.8 SIMPLE算法nSIMPLE算法的基本思想：算法的基本思想： 对于给定的压力场，求解离散形式的动量方程，对于给定的压力场，求解离散形式的动量方程，得出速度场，对压力场加以修正，据此求得新得出速度场，对压力场加以修正，据此求得新的速度场，检查是否收敛，若不收敛，用修正的速度场，检查是否收敛，若不收敛，用修正后的压力值作为给定的压力场，开始下一层次后的压力值作为给定的压力场，开始下一层次的计算，如此反复，直到获得收敛解。的计算，如此反复，直到获得收敛解。nSIMPLE算法的两个关键问题：算法的两个关键问题： 如何构造

4、压力修正方程？如何构造压力修正方程？ 如何构造速度修正方程？如何构造速度修正方程？9.8.1n交错网格关于速度的交错网格关于速度的 和和 的动量方的动量方程的离散形式：程的离散形式：, i Ju1,()iJiJnb nbIJIJiJiJa ua uPPAb, I j,1()IjIjnb nbI JIJIJIjaaPPAb（1）（2） 速度修正方程9.8.1 速度修正方程n设有初始的猜测压力场设有初始的猜测压力场 ，根据前两式有：，根据前两式有：*1,()iJiJnb nbIJIJiJiJa ua uPPAb（3）*1,()IjIjnb nbIJIJIJIjaaPPAb（4）定义压力修正值定义压

5、力修正值 ，p*ppp（5）*p9.8.1 速度修正方程n定义速度修正值定义速度修正值 和和 ，则有：，则有：u*uuu*（6）（7）将正确的压力场将正确的压力场 代入动量离散方程（代入动量离散方程（1）（）（2），），得到正确的速度场（得到正确的速度场（ ）。）。p, u9.8.1 速度修正方程n假定源项假定源项 不变，方程（不变，方程（1）和（）和（2）减去）减去（3）和（）和（4），得：），得：b*1,1,()()()iJiJiJnbnbnbIJIJIJIJiJauuauuPPPPA*,1,1()()()IjIjIjnbnbnbI JI JIJIJIjaaPPPPA（8）（9）9.8.1

6、 速度修正方程n引入压力修正值与速度修正值的表达式引入压力修正值与速度修正值的表达式（5）（）（6）和（）和（7），方程（），方程（8）和（）和（9）可写成：可写成：1,()iJiJnb nbIJIJiJa ua uPPA,1()IjIjnb nbI JIJIjaaPPA（10）（11）可以看出，由压力修正值可可求出速度修正值（可以看出，由压力修正值可可求出速度修正值（ ）。）。,u9.8.1 速度修正方程n为简化上式的求解过程，可近似处理：为简化上式的求解过程，可近似处理：略去方程中与速度修正值相关的略去方程中与速度修正值相关的 和和 ，有：，有：nbnba unbnba1,()iJiJIJ

7、IJudPP,1()IjIjI JIJdPP其中，其中，iJiJiJAdaIjIjIjAda（12）（13）（14），9.8.1 速度修正方程n将（将（12）和（）和（13）代入式（）代入式（6）和（）和（7），），有：有：*1,()IJiJiJIJIJuudPP*,1()IJiJIjI JIJdPP（15）（16）对于对于 和和 ，也存在类似的表达式；，也存在类似的表达式；1,iJu,1I i上式表明，如果已知压力修整值上式表明，如果已知压力修整值 ，便可对猜测的速，便可对猜测的速度场度场 作出相应的速度修正，得到正确的速度作出相应的速度修正，得到正确的速度场场 。p*,u, u9.9 压力

8、修正方程的讨论在推导速度修正式 时摒弃项 这样做不会对计算带来明显的危害。1.略去 项可以把p方程写成与通用的方程相同的形式，并采用一个一次的，每次求解一个变量的解法。2.在SIMPLE算法中，忽略 是一种认可。3.由SIMPLE算法所给定的收敛解并不包含任何由忽略 所产生的误差。*eeePEuudppnbnba unbnba unbnba unbnbau4.最后一次迭代之后，所有的解就是收敛的，对于所有的控制容积，压力修正方程的质量源b将实际上变为0。所以收敛解不会受推导p 方程所作的任何近似的影响。5.当计算域内各处质量源b的值变得足够小时就可以停止迭代。6.压力方程可看成是引向正确的压力

9、场的一个中间算法，对最终解没有直接影响。7.过程的收敛速度与p方程的特定公式有关，如果略去的项太多，可能会导致发散。9.9 压力修正方程的讨论 开始开始假设一个速度分布，用与计算首次迭代假设一个速度分布，用与计算首次迭代时的动量离散方程中的系数和常数项时的动量离散方程中的系数和常数项假设一个压力场，即给定压力猜测值假设一个压力场，即给定压力猜测值 根据当前速度场及压力场，计算动根据当前速度场及压力场，计算动量离散方程等方程中的系数和常数项量离散方程等方程中的系数和常数项步骤步骤1：求解动量离散方程，式：求解动量离散方程，式 与与 步骤步骤2：根据速度：根据速度 ，求解，求解 压力修正方程，压力

10、修正方程， 步骤步骤3：修正压力与速度，式（：修正压力与速度，式（5），（），（15），和（），和（16）步骤步骤4：求解所有其他的离散化输运方程：求解所有其他的离散化输运方程 （视需要进行）（视需要进行） 收敛否？收敛否？结束结束令令否否是是*, *, *( , , )uu p, a b*, *up*, *u, , , *p u *, *ppuu*, * SIMPLE算法流程图算法流程图流场数值计算的主要方法n流场计算的基本过程是在空间上用有流场计算的基本过程是在空间上用有限体积法或其他类似方法将计算域离限体积法或其他类似方法将计算域离散成许多小的体积单元，在每个体积散成许多小的体积单元，在每个体积单元上对离散后的控制方程组进行求单元上对离散后的控制方程组进行求解。解。n本质：对离散后的控制方程组的求解。本质：对离散后的控制方程组的求解。流场数值计算方法分类图流场数值解法流场数值解法耦合式