高等数学级数

1、第十一章第十一章 级数级数第二节第二节 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法无无穷穷级级数数的的收收敛敛与与发发散散一一、 收收敛敛，则则称称级级数数，若若 1 limnnnnuSS. 1SuSnn 记记为为称称为为该该级级数数的的和和，且且.1发散发散则称级数则称级数 nnu级数收敛：级数收敛：、 1级数发散：级数发散：、 2不不存存在在，若若极极限限nnS lim两两个个特特殊殊级级数数的的敛敛散散性性、 3.1 1)1(11时发散时发散当当时收敛，时收敛，当当等比级数等比级数 qqaqnn.lim 1存在存在收敛收敛级数级数说明：说明：nnnnSu .lim1不不存存在在发发散散级级数数

2、nnnnSu .1 11)2(1时发散时发散当当时收敛，时收敛，当当级数级数 ppnpnp级级数数的的基基本本性性质质二二、 , )( 2111 SvuSvunnnnnnn且且其其和和为为也也收收敛敛，则则级级数数，、收收敛敛且且和和为为、设设级级数数、，且且和和为为收收敛敛，则则级级数数，收收敛敛且且和和为为设设级级数数、kSkuSunnnn 111 . 0 11的敛散性相同的敛散性相同与与级数级数时，时，当当说明：说明： nnnnkuuk.11 nnnnukku即即. )(111 nnnnnnnvuvu即即. 3其其和和一一般般是是改改变变的的但但在在收收敛敛时时，的的敛敛散散性性，不不改

3、改变变级级数数项项，增增加加或或改改变变级级数数的的有有限限去去掉掉、. , 4且且其其和和不不变变级级数数仍仍收收敛敛收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所得得、. 级级数数未未必必收收敛敛收收敛敛级级数数去去括括弧弧后后所所得得说说明明：. 则则原原级级数数发发散散发发散散，若若加加括括弧弧后后所所得得的的级级数数推推论论：级级数数收收敛敛的的必必要要条条件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu则则收收敛敛，设设级级数数必必要要条条件件：、. 0lim 21发散发散则级数则级数，设设推论：推论：、 nnnnuau两两点点说说明明：、 3.0lim)2(1收收敛敛级级数数由由 nnnnuu

4、.(1)断级数发散的方法断级数发散的方法上述推论给出了一个判上述推论给出了一个判有有界界部部分分和和数数列列收收敛敛正正项项级级数数1nnnSu 正正项项级级数数的的审审敛敛法法四四、 收收敛敛的的充充分分必必要要条条件件、 1，且且均均为为正正项项级级数数，和和设设nnnnnnvuvu 11也收敛；也收敛；则则收敛，收敛，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也发散也发散则则发散，发散，若若 nnnnvu比比较较判判别别法法、 2收敛收敛收敛收敛 11)1(nnnnvu发发散散发发散散 11)2(nnnnuv.1 111 npnnnpaq级级数数、等等比比级级数数参参考考级级数数：注注

5、：反反过过来来不不成成立立，即即，则则且且均均为为正正项项级级数数，和和设设lvuvunnnnnnn lim 11敛散性相同；敛散性相同；与与级数级数时，时，当当 11 0(1)nnnnvul收收敛敛；级级数数收收敛敛时时，且且当当 11 0)2(nnnnuvl. )3(11发发散散级级数数发发散散时时，且且当当 nnnnuvl比比较较判判别别法法的的极极限限形形式式、 3发发散散；级级数数发发散散时时，且且或或当当 11 0nnnnvul. 11收收敛敛级级数数收收敛敛时时，且且或或当当 nnnnvul.1 111 npnnnpaq级级数数、等等比比级级数数参参考考级级数数：第十一章第十一章

6、 级数级数第二节第二节 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法得得由由为非负数时，为非负数时，当当证：证： lim 1luulnnn ，有有时时，当当， luuNnNnn 1 0,1 luulnn收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能确确定定其其敛敛散散性性时时，当当 l,1 )1(时时当当 l,10l 取取，使使1 lq ,12 NNquu,1223 NNNuqquu，发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull)( 4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法比值判别法比值判别法、则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 11luuunn

7、nnn .)()(1nnnuluul 即即,1 )1(时时当当 l,10l 取取，使使1 lq ,1111 nNNnnNquuqu,12 NNquu,1223 NNNuqquu，)( 4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法比值判别法比值判别法、则则，且且为为正正项项级级数数，设设 lim 11luuunnnnn ，收敛收敛又又 111 nnNqu收敛，收敛，所以所以 1nnNu. 1收敛收敛故故 nnu收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能确确定定其其敛敛散散性性时时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull,1 luulnn.

8、)()(1nnnuluul 即即)( 4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法比值判别法比值判别法、则则，且且为为正正项项级级数数，设设 lim 11luuunnnnn 时时，当当1 )2( l, 10 l 取取，使使1 lq,1111 nNNnnNquuqu,12 NNquu，1223 NNNuqquu，发散发散又又 111 nnNqu发散，发散，所以所以 1nnNu. 1发散发散故故 nnu收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能确确定定其其敛敛散散性性时时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull,1 luulnn.)()(1

9、nnnuluul 即即)( 4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法比值判别法比值判别法、则则，且且为为正正项项级级数数，设设 lim 11luuunnnnn 时时，当当 l )2(，有有时时，当当，取取MuuNnNMnn 1 1，,1111 nNNnnNMuuMu,12 NNMuu，1223 NNNuMMuu，发散发散又又 111 nnNMu发散，发散，所以所以 1nnNu. 1发散发散故故 nnu，有有，级级数数取取1 1)3(1 lnpnp.故不能确定其敛散性故不能确定其敛散性收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能确确定定其其敛敛散散性性时时，当当 l发散；

10、发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull)( 4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法比值判别法比值判别法、则则，且且为为正正项项级级数数，设设 lim 11luuunnnnn 几点说明：几点说明：. )1(不不必必找找参参考考级级数数比比值值判判别别法法优优点点：.1 )2(时时无无法法判判断断其其敛敛散散性性当当比比值值判判别别法法缺缺点点： l. 1)3(1 lunn收敛收敛由由.lim )4(11可可能能不不存存在在收收敛敛时时，当当nnnnnuuu .2)1(2 1 nnn例、例、收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能确确定定其其敛敛

11、散散性性时时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull，判判断断下下列列级级数数的的敛敛散散性性、例例 2)1( 11 nnnnnn212 nnnnnnnnuul2/2/ )1(limlim (1) 11 因为因为解：解：nnn21lim 21 , 1 .21收收敛敛故故级级数数 nnn.3212 nnn）（2211/3)1/(3limlim (2)nnuulnnnnnn 因因为为123lim22 nnnn3 , 1 .312发散发散故级数故级数 nnn2213nnn nnnn2/12/lim nnlim22/1/3limnnnn nn3limnnn332 .

12、1 0 0 21的的敛敛散散性性判判别别级级数数，设设、例例 nnnabba)1/()1/(limlim 111nnnnnnnnababuul 解解：11)1(lim nnnaab 1 10 aabab，若若10)1( a时级数发散；时级数发散；当当1 b 11 11，级数为级数为时，时，当当 nnab.故级数发散故级数发散 1)2(，若若 a时级数发散；时级数发散；当当ab 时级数收敛；时级数收敛；当当10 b时级数收敛；时级数收敛；当当ab 1 1，级数为级数为时，时，当当 nnnaaab 011lim得得由由 nnnaa.级数发散级数发散.) 0(! 31的的敛敛散散性性，判判别别级级数

13、数、例例eaannannn nnnnnnnnnnannauul/ !)1/()!1(limlim 111 解解：nnnnan)1(lim nnna)11(lim ，ea ，时时，当当1 0 lea.!1收敛收敛级数级数 nnnnna，时时，当当1 lea.!1发散发散级数级数 nnnnna根值判别法根值判别法、 5则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 1luunnnnn 收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能确确定定其其敛敛散散性性时时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull得得由由为非负数时，为非负数时，当

14、当证：证： lim lulnnn ，有有时时，当当， luNnNnn 0. lulnn,1 )1(时时当当 l，取取l 10 ，使使1 lq ,11 NNqu，22 NNqu，nNnNqu ，收敛收敛又又 1 nnNq收敛，收敛，所以所以 1nnNu. 1收敛收敛故故 nnu时时，当当1 )2( l，取取10 l ，使使1 lq,nNnNqu ,11 NNqu，22 NNqu，发发散散又又 1 nnNq发散，发散，所以所以 1nnNu. 1发散发散故故 nnu. lulnn得得由由为非负数时，为非负数时，当当证：证： lim lulnnn ，有有时时，当当， luNnNnn 0根值判别法根值判

15、别法、 5则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 1luunnnnn 收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能确确定定其其敛敛散散性性时时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull时时，当当 l )2(，有有时时，当当，取取MuNnNMnn 1，,nNnNMu ,11 NNMu，22 NNMu，发发散散又又 1 nnNM发散，发散，所以所以 1nnNu. 1发散发散故故 nnu，有有，级级数数取取1 1)3(1 lnpnp.故不能确定其敛散性故不能确定其敛散性根值判别法根值判别法、 5则则，且且为正项级数，为正项级

16、数，设设 lim 1luunnnnn 收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能确确定定其其敛敛散散性性时时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull几点说明：几点说明：. )1(不必找参考级数不必找参考级数根值判别法优点：根值判别法优点：.1 )2(时时无无法法判判断断其其敛敛散散性性当当根根值值判判别别法法缺缺点点： l. 1)3(1 lunn收敛收敛由由. )()4(采用根值判别法简单采用根值判别法简单时，时，当当nnnfu 根值判别法根值判别法、 5则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 1luunnnnn

17、收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能确确定定其其敛敛散散性性时时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性、例例 4， 112 )1(nnnn.32 )2(1ln nnnnnnul lim (1) 解解：12lim nnn21 ，1 .12 1收敛收敛故故 nnnnnnnul lim 2)(nnnln32lim 032 2 ，1 .32 1ln发发散散故故 nnn的的敛敛散散性性判判断断时时，当当、例例 1)1( 0 5nnnana的的敛敛散散性性判判断断级级数数时时，当当、例例

18、 1)1( 0 5nnnanannnul lim 解解：nannn1lim1 .1a ，时时，当当1 1 la.)1(1收收敛敛级级数数 nnnan，时时，当当1 1 la.)1(1发散发散级数级数 nnnan， nnnnnnu)11(limlim时，时，当当1 a.)1(1发散发散级数级数 nnnan第十一章第十一章 级数级数第三节第三节 任意项级数任意项级数交交错错级级数数及及其其审审敛敛法法一一、 . 1交错级数交错级数正负项相间的级数称为正负项相间的级数称为交错级数：交错级数：、 )1( 11，记记为为nnnu . 0 nu其其中中，或或 )1( 1nnnu .)1( 11收敛的判别法

19、收敛的判别法下面考虑下面考虑nnnu 莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法、 2，0lim )2( ) 2 1( )1(1 nnnnunuu. )1(1111 nnnnnuruSu余余项项，且且其其和和收收敛敛，则则)()()(21243212nnnuuuuuuS ，证：证：0 1 nnuu.2单单调调增增加加数数列列nS，)1(22 nnSS:)0()1(11满满足足若若交交错错级级数数 nnnnuu莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法、 2，0lim )2( ) 2 1( )1(1 nnnnunuu. )1(1111 nnnnnuruSu余余项项，且且其其和和收收敛敛，则则.2单单调调增增加加数数列列nS

20、，)1(22 nnSS:)0()1(11满满足足若若交交错错级级数数 nnnnuunnnnuuuuuuS212223212)()( 又又，1u 收收敛敛，故故2nS，0lim12 nnu有有界界，数数列列2nS)(limlim12212 nnnnnuSS，S . )1( 111uSSunnn 且且，收收敛敛于于故故，余项余项)(21 nnnuur.1 nnur故故. 收敛收敛nS，设设SSnn 2lim.1uS 则则单调递减，单调递减，函数函数1 xx.1 nnuu故故1limlim nnunnn又又. 0 ，又又01lim nn.)1( 11收收敛敛 nnn， 11)1( )1(nnn.1)

21、1( )2(2 nnnn. 1 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性、例例，解：解：111 )1( nn2)1()1(21)1( )2( xxxxxx.1)1(2收收敛敛故故 nnnn.)1(1收敛收敛 nnn2)1(2)1( xxx. 0)1( 2 xxx时时，当当，证：令证：令)(21nnnuuv ，则则0 nv，且且nnuv 收敛，收敛， 1nnv收敛，收敛，)2(1 nnnuv.1收敛收敛即即 nnu.)1( 12绝绝对对收收敛敛级级数数例例、 nnn.)1( 1条条件件收收敛敛级级数数例例、 nnn绝绝对对收收敛敛和和条条件件收收敛敛二二、 1 绝绝对对收收敛敛：、. 11绝绝对

22、对收收敛敛则则称称收收敛敛，若若 nnnnuu 2 条条件件收收敛敛：、. 111条条件件收收敛敛则则称称发发散散，但但收收敛敛，若若 nnnnnnuuu绝对收敛的性质绝对收敛的性质、 3. )1(11收敛收敛则则收敛，收敛，若若 nnnnuu. 2 判判断断下下列列级级数数的的敛敛散散性性、例例.3)1()2(1 nnnn，解解：221sin)1(nnn 收收敛敛，又又 121nn.sin 12 nnn收收敛敛，收敛收敛绝对绝对即即 12sinnnn.sin12 nnn收收敛敛故故， 12sin)1(nnn.31收敛收敛 nnnnnnnn331lim)2(1 nnn31lim 31 ，1 收

23、收敛敛，绝绝对对即即 13)1(nnnn.3)1(1收敛收敛故故 nnnn. )2(1且且其其和和不不变变的的新新级级数数也也绝绝对对收收敛敛，序序所所得得则则任任意意改改变变其其各各项项的的次次绝绝对对收收敛敛，设设 nnu绝对收敛，绝对收敛，例、例、 2222212161514131211)1( nnn.121101518161314121122222222也也绝绝对对收收敛敛则则级级数数 .且两个级数的和一样且两个级数的和一样.)2( 1不不成成立立条条件件收收敛敛时时，性性质质当当说说明明： nnu绝对收敛的性质绝对收敛的性质、 3. )1(11收敛收敛则则收敛，收敛，若若 nnnnu

24、u. )2(1且且其其和和不不变变的的新新级级数数也也绝绝对对收收敛敛，序序所所得得则则任任意意改改变变其其各各项项的的次次绝绝对对收收敛敛，设设 nnu.)2( 1不不成成立立条条件件收收敛敛时时，性性质质当当说说明明： nnu绝对收敛的性质绝对收敛的性质、 3. )1(11收敛收敛则则收敛，收敛，若若 nnnnuu条条件件收收敛敛，级级数数例例、 61514131211)1( 11nnn.S设其和为设其和为，即即 61514131211 S， 1211018161412121S条条件件收收敛敛，级级数数例例、 61514131211)1( 11nnn.S设其和为设其和为，即即 615141

25、31211 S， 1211018161412121S，上上述述两两式式相相加加得得： 4171512131123S.即即两两个个级级数数的的和和不不同同次次序序得得到到的的级级数数，改改变变项项的的是是由由显显然然 11)1(41715121311 nnn.23 SS而是而是，它的和不是它的和不是. 0 )1()2( )0( )cos1()1()1( . 112121收收敛敛，其其中中，还还是是绝绝对对收收敛敛若若收收敛敛是是条条件件收收敛敛，判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性、 nnnnnnnanan . 5 2)1( 2111211的和的和求求，已知级数已知级数、 nnnnnnnaaa 2sin2cos1 )1( 2，解解nn ，又又222122sin2 nn 12cos1 22，n