高等数学-第七版-课件-12-4幂级数

1、第四讲 幂级数幂级数幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算函数项级数的概念函数项级数的概念函数项级数的收敛点和发散点函数项级数的收敛点和发散点对于定义在区间对于定义在区间I上的函数列上的函数列 123( ),( ),( ),( ),nu x u x u xux称为定义在区间称为定义在区间I上的上的(函数项函数项)无穷级数无穷级数, 简称简称(函数项函数项)级数级数.由这函数列构成的表达式由这函数列构成的表达式 123( )( )( )( )nu xu xu xux 对于每一个确定的值对于每一个确定的值

2、函数项级数成为常数项级数函数项级数成为常数项级数0,xI 1020300()()()()nu xu xu xu x 如果该级数收敛如果该级数收敛,就称就称 是函数项级数的是函数项级数的收敛点收敛点;如果该级数如果该级数0 x发散发散,就称就称 是函数项级数的是函数项级数的发散点发散点.0 x. 0)(lim xrnn函数项级数的和函数函数项级数的和函数).()(1xuxsnn , )(xs的和函数的和函数 , 并写成并写成在收敛域上在收敛域上, 函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数 ,称其为函数项级数称其为函数项级数 即即l注注和函数的定义域即为收敛域和函数的定义域即为收敛域. 函数

3、项级数的余项函数项级数的余项为函数项级数的为函数项级数的余项余项.)()()(xsxsxrnn 称称l注注函数项级数的所有收敛点的全体称为其函数项级数的所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域,函数项级数的收敛域和发散域函数项级数的收敛域和发散域所有发散点的全体称为其所有发散点的全体称为其发散域发散域 .lim( )( ).nnsxs x ( ),ns x函数项级数前函数项级数前n项和记作项和记作 则在收敛域上则在收敛域上幂级数幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算各项都是常数乘幂函数的函数项级数称为各项都是

4、常数乘幂函数的函数项级数称为幂级数幂级数. 它的形式是它的形式是幂级数概念幂级数概念l注注20120,nnnnna xaa xa xa x 其中常数其中常数 叫做幂级数的系数叫做幂级数的系数 .012,na a aa幂级数的一般形式是幂级数的一般形式是:2010200()()().nnaa xxaxxaxx 可以通过变量代换可以通过变量代换 将其化为上述标准形式将其化为上述标准形式.0txx ox发 散发 散收 敛收敛 发散阿贝尔阿贝尔( (Abel) )定理定理幂级数的收敛域幂级数的收敛域适合不等式适合不等式0 xx 的一切的一切 x 使这幂级数绝对收敛使这幂级数绝对收敛.如果级数如果级数当

5、当时收敛时收敛,那么那么) 0(00 xxx 0nnnxa 0nnnxa反之反之, 如果级数如果级数0 xx时发散时发散,0 xx 的一切的一切 x 使这幂级数发散使这幂级数发散 . 那么适合不等式那么适合不等式当当(R , R ) 加上收敛的端点加上收敛的端点收敛半径收敛半径 (R , R )ox发 散发 散收 敛收敛 发散R 收敛区间收敛区间.收敛域收敛域推论推论如果幂级数如果幂级数 不是仅在不是仅在 一点收敛一点收敛,也不是在整个也不是在整个0nnna x 0 x 数轴上都收敛数轴上都收敛,那么必有一个确定的正数那么必有一个确定的正数R存在存在,使得使得当当 时时,幂级数绝对收敛幂级数绝

6、对收敛;| |xR 当当 时时,幂级数发散幂级数发散;| |xR 当当 与与 时时,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散.xR xR l注注如果幂级数如果幂级数 不是仅在不是仅在 一点收敛一点收敛,也不是在整个也不是在整个(R , R ) 加上收敛的端点加上收敛的端点收敛半径收敛半径 (R , R )R 收敛区间收敛区间.收敛域收敛域推论推论0nnna x 0 x 数轴上都收敛数轴上都收敛,那么必有一个确定的正数那么必有一个确定的正数R存在存在,使得使得当当 时时,幂级数绝对收敛幂级数绝对收敛;| |xR 当当 时时,幂级数发散幂级数发散;| |xR 当当 与与 时时,幂级数可能收

7、敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散.xR xR l注注如果幂级数只在如果幂级数只在 处收敛处收敛,规定规定0 x 0R 如果幂级数对一切如果幂级数对一切x 都收敛都收敛,规定规定R ;!)2(;!1)1(00nnnnxnxn 幂级数收敛半径的求法幂级数收敛半径的求法定理定理11(3)( 1)nnnxnu例例1求下列幂级数的收敛半径和收敛域求下列幂级数的收敛半径和收敛域:u例例2220(2 )!( !)nnnxn的收敛半径的收敛半径 .求幂级数求幂级数u例例31(1)2nnnxn求幂级数求幂级数的收敛域的收敛域 .其中其中 0nnnxa的相邻两项的系数的相邻两项的系数,那么这幂级数的收敛半径那

8、么这幂级数的收敛半径,lim1nnnaa如果如果 1, nnaa是幂级数是幂级数 R,1 0 , 0 0 幂级数幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算设幂级数设幂级数nnnxa0nnnxb0及及的收敛半径分别为的收敛半径分别为,21RRnnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx 令令,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 则有则有 : :nnnnnnxbxa00其中其中.0knnkknbac 四则运算四则运算定理定理逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同

9、的收敛半径逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. .分析运算分析运算性质性质1和函数的性质和函数的性质幂级数幂级数 的和函数的和函数 在其收敛域在其收敛域I上连续上连续. .0nnna x ( )s x性质性质2幂级数幂级数 的和函数的和函数 在其收敛域在其收敛域I上可积上可积, ,0nnna x ( )s x并有逐项积分公式并有逐项积分公式000( )ddxxnnns tta tt 10001dxnnnnnnaa ttxn (),xI l注注 逐项积分后所得到的幂级数在收敛区间端点可能收敛逐项积分后所得到的幂级数在收敛区间端点可能收敛. .逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. .分析运算分析运算性质性质3和函数的性质和函数的性质0( )nnns xa x 101()nnnnnna xna x (|),xR 幂级数幂级数 的和函数的和函数 在其收敛区间在其收敛区间0nnna x ( )s x内可导内可导, ,且有逐项