高数2正项级数审敛法

1、级数的主要问题： (1)判敛，(2)求和正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :，中中各各项项均均有有如如果果级级数数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. . nsss21部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. .ns部分和数列特点部分和数列特点回忆回忆：单调数列收敛原理单调数列收敛原理单调数列有界，则必有极限。单调数列有界，则必有极限。2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :定理定理 .有界部分和数列正项级数收敛sn若1nnu收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界, 故nS1nnu从而又已知故有界.单调

2、递增, 收敛 , 也收敛.证证: :“ ”问题：寻找更实用的判敛法。问题：寻找更实用的判敛法。且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收敛收敛, ,则则 1nnu收敛；收敛；反之，若反之，若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散. .均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvu3.比较审敛法比较审敛法证明证明证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu , 即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnunvvv 21nns 则则)()2( nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv定理证毕定理证毕.注释：注释： 1.

3、 条件改为条件改为 N,当当nN时时，不等式成立，则相应，不等式成立，则相应 结论仍成立。结论仍成立。(收敛级数性质收敛级数性质3) 2. 条件改为条件改为 N,当当nN时，时，un Cvn，则相应，则相应 结论仍成立。结论仍成立。(收敛级数性质收敛级数性质1) 3. 正项级数正项级数 un 发散发散, 则则 un=+ 。例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发发散散而而级级数数.)1(11 nnn发发散散级级数数判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性： 12)1(2)1(nnn（2）含三角函数的级数常可考虑用比较判别

4、法 12sinnnnx例例 1 1 讨讨论论 P P- -级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性. .)0( p解解, 1 p设设,11nnp .级数发散级数发散则则 P, 1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有有界界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数,1,1ppP比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 先要估计敛散性，找参考级先要估计敛散性，找参考级数数. 且不等式不易估计。且不等式不易估计。

5、重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; 当当时时, , 若若 1nnv发散发散, , 则则 1nnu发散发散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu证明及例证明及例 本质意义本质意义证明证明lvunnn lim)1(由由, 02 l 对对于于

6、,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.证明证明, 0)2( l由,0 对于,N ,时时当当Nn nnvu0 得证得证.,由)3(l,M0固定的对于,N ,时时当当Nn nnvMu0 ,0Mvunn 得证得证.注意：注意：比较审敛法的极限形式本质上是两个无穷比较审敛法的极限形式本质上是两个无穷小比阶，若同阶，则敛散性相同。小比阶，若同阶，则敛散性相同。因此可充分利因此可充分利用等价、同阶无穷小帮助分析用等价、同阶无穷小帮助分析 例例 3 3 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性: :(1) 11sin

7、nn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.注意：注意：在使用在使用比较审敛法及其的极限形式时，需与已知敛散性的比较审敛法及其的极限形式时，需与已知敛散性的级数相比较，而这一比较对象有时不易找到，本质上级数级数相比较，而这一比较对象有时不易找到，本质上级数的敛散性应由级数本身的结构决定。的敛散性应由级数本身的结构决定。因此下面寻找由因此下面寻找由级数级数本身特点就能判定其敛散性的本身特点就能判定其敛散性的方法方法

8、6 6. .比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝贝尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法) )：设设 1nnu是正项级数是正项级数, ,如果如果)(lim1 数或数或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .证明证明,为为有有限限数数时时当当 , 0 对对,N ,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即,1时时当当 ,1时时当当 , 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收收敛敛而而级级数数,1收敛 mmNu原级数收敛原级数收敛

9、, 1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu发散发散取取 充分小，充分小，取取 充分小，充分小，比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . ,11发散发散级数级数例例 nn,112收收敛敛级级数数 nn)1( 例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3

10、()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收收敛敛故故级级数数 nnn,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 7 7. .根根值值审审敛敛法法 ( (柯柯西西判判别别法法) )：设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果 nnnulim)( 为为数数

11、或或 , ,则则1 时时级级数数收收敛敛; ;,1 ,1 nnn设级数设级数例如例如nnnnnu1 n1 )(0 n级数收敛级数收敛.1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .12112lim12lim nnnnnnnn解解故原级数收敛。（亦可用比值法。） 总之，（1）这一部分主要内容是级数的相关定义，级数的性质，正项级数的判别法对一个给定的级数，在判别其收敛性之前，应先分析清楚级数的结构，再选择适当的判别法这就要求我们熟练记住及运用级数的性质及判别法 （2）通过分析前面的例子，我们看到，熟练运用一些常见极限的结论，能进行灵活的极限运算及等价无穷小运算，对于我们准确地分析级数的敛散

12、性有重要意义方法以此数列为一般项构造一级数，证明此级数收敛，方法以此数列为一般项构造一级数，证明此级数收敛，由级数收敛的必要条件，得数列极限为零由此求数列由级数收敛的必要条件，得数列极限为零由此求数列极限又多了一种方法极限又多了一种方法思考与练习思考与练习设正项级数1nnu收敛, 能否推出12nnu收敛 ?提示提示: :nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛 .注意注意: : 反之不成立.例如,121nn收敛 ,11nn发散 .;) 1ln(1) 1 (1nn1.1. 练习 判别级数的敛散性:.1)2(1nnnn解解: : (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(1

13、11nn发散 , 故原级数发散 .11npnp:级数不是 p级数(2)nlimnnn1lim111nn发散 ,故原级数发散 .nnn1n1二、交错级数及其审敛法定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中证明证明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是是单单调调增增加加的的数数列列ns,2是有界的是有界的数列数列ns)(limlim12212 nnnnnu

14、ss, s .,1uss 且且级级数数收收敛敛于于和和),(21 nnnuur余项余项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.收敛收敛nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:nnn10) 1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 解解2)1(2)1()1( xxxx

15、x)2(0 x,1单调递减单调递减故函数故函数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原级数收敛原级数收敛.任意项级数任意项级数判敛方法：转化为之前的方法。而相关的级数判敛方法：转化为之前的方法。而相关的级数|1 nnu是正项级数，寻找两者关系？是正项级数，寻找两者关系？ 定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .定理定理 若若 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnu收敛收敛. .证明证明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv显显然然,nnuv 且且,1收收敛敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又

16、 1nnu收收敛敛.上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数注：注： （1）但逆命题不成立，例如但逆命题不成立，例如（2）若）若 发散，则发散，则 不确定。不确定。 1nnu 1nnu 1nnu小结：小结：对于级数对于级数 发散，则发散，则 需另外判定。需另外判定。 1nnu 1nnu三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛问题：为何要区分这两种情况？如何判断任意项级数的问题：为何要区分这两种情况？如何判断任意项级数的 敛散性？敛散性？111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn为条件收敛为条件收敛 .例如例如 ：均为绝对收敛均为绝

17、对收敛.), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令,nnuv 且且,1收收敛敛 nnv), 2 , 1()(21 nuuwnnn类似地，令类似地，令 11nnnnwv ,均收敛；均收敛； 11nnnnwv ,均发散。均发散。为何要区分这两种情况？为何要区分这两种情况？绝对收敛级数的性质. 1nnu则任意交换此级数各项次序后所得的新级数也绝对收敛，且和仍为S。 1nnu如果级数绝对收敛，且其和为S， 条件收敛的级数不具备这个性质，而且可以证明，条件收敛的级数不具备这个性质，而且可以证明，对于条件收敛的级数，适当地交换各项的次序所组成的对于条件收敛的级数，适当地交换各项的次序所组成的级数，可以

18、收敛于任何预先给定的数或发散级数，可以收敛于任何预先给定的数或发散. 例如，例如， 111)1(nnn是条件收敛的，设其和为S，即s 12111110191817161514131211218116114112110181614121s 218101610141012101010810610410210s s23611110914171051213101 将上式两边都乘以1/2，得上式可以改写为根据收敛级数的性质，两个收敛的级数可以逐项相加，s23是更序级数，但是和为解解,1sin22nnn ,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛 故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.

19、方法：一般先判断绝对收敛性方法：一般先判断绝对收敛性小结小结：若用比值法或根值法判别了若用比值法或根值法判别了 发散，则原发散，则原级数一定发散。级数一定发散。其他例其他例 1nnu练习练习. 判断下列级数敛散性判断下列级数敛散性 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn证证: (1),1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛 .(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛,绝对收敛.2.2. ),3,2, 1(0nun设, 1limnunn且则级数).() 1(11111nnuunn(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.分析分析: :, 1limnunn由发散发散知知 nu1 (B) 错 ;)(2111uunS又)(3211uuC)(4311uu)(5411uu)() 1(1111nnuun11111) 1(nunu12vu22v