清华大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷

1、清华大学高等数学A期末考试试卷考试科目：高等数学A考试时间：120 分钟年级专业20162017学年第2学期考试类型：(闭卷)考试学号姓名题号一二三四总分得分评阅人得分、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1 .二元函数zln(y22x1)的定义域为。rrrrrrr2 .设向量a(2,1,2),b(4,1,10),cba,且ac,则3 .经过(4,0,2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为。4 .设uxyz,贝Uduc15 .级数(1)n=r，当p满足条件时级数条件收敛pn1n得分、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)B22 xy Ce1.微分方程2(xyx)y&

2、#39;y的通解是A.yCe2x2.3.C. y2e2y Cx求极限lim2 ： xy 4(x,y)(0,0)xyD.C.e2 y Cxy直线L:x3z和平面7:3x2y 7z 8 0的位置关系是A .直线L平行于平面B.直线L在平面上C.直线L垂直于平面D.直线L与平面斜交4 .D是闭区域(x,y)|a2x2y2b2,则Jx2y2d()DA.(b3a3)B.(b3a3)C.(b3a3)D.(b3a3)23325 .下列级数收敛的是()A.1n 1 (n 1)(n 4)B.1 nn i n2 1C.n 1 2n 1D.1n 1 3 n(n 1)得分三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49

3、分）1 .求微分方程y' y ex满足初始条件x 0, y 2的特解。2 .计算二重积分 x y2 dxdy，其中Dd x y ,222)(x, y) x y 1, x y1 o3 .设 z z(x, y)为方程 2sin( x 2y 3z)x 4y 3z确定的隐函数,15a2(x 0, y 0),逆时针方7.将函数(1 x)(2 x)展开成x的幕级数，并求其成立的区间。4 .求曲线积分(xy)dx(xy)dy,其中L沿x2y2L向。5 .计算y5x2pdxdy,其中D是由y3/x,x1及y1所围成的区域D6 .判断级数1心4的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛nin1、.n得分四、

4、解答题(本大题共3小题，每小题7分，共21分)1 .抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。nn2 .求幕级数(1)的和函数ni(n1)!3 .设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)1,g(0)0,L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D,已知?Lxydxyf(x)g(x)dyyg(x)d,D求f(x)和g(x)。参考答案、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.(x,y)|y22x102.33.9yz204.yzxyz1dxzxyzlnxdyyxyzInxdz5.0p1二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共1

5、5分）1.C2.C3.C4.B5.A三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求微分方程y'yex满足初始条件x0,y2的特解。解：先求y'y0的通解，得yC1ex2分采用常数变易法，设yh(x)ex,得y'h'(x)exh(x)ex3分代入原方程得h'(x)exh(x)exh(x)exex4分得h(x)e2xC5分2故通解为y1exCex6分2将初始条件x0,y2带入得C3,故特解为y1ex-ex7分2222.计算二重积分-xyydxdy,其中D(x,y):x2y21,xy1。dxy解：设xrcos,yrsin1分一1八贝U0,r13分2s

6、incosxy,2,1rcosrsin所以(dxdy2d12rdr5分Dxy°sincosr02(sincos1)d6分3 .设zz(x,y)为方程2sin(x2y3z)x4y3z确定的隐函数，求二二xy解：设F(x,y,z)x4y3z2sin(x2y3z)Fx12cos(x2y3z),Fy44cos(x2y3z),Fz36cos(x2y3z)Fy4cos(x 2y 3z) 4Fz 31 2cos(x 2 y 3z)zFx2cos(x2y3z)1z,xFz312cos(x2y3z)y所以4 .求曲线积分(xy)dx(xy)dy,其中L沿x2y2a2(x0,y0),逆时针L方向。解：圆

7、的参数方程为：xacost,yasint(0t)1分(xy)dx(xy)dyo2(acostasint)dacost02(acostasint)dasint3分La202(cos2tsin2t)dt4分2a万sin2tcos2t(22八a7分（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）5 .计算y%J1x2y6dxdy,其中D是由y3/x,x1及y1所围成的区域D解：D(x,y)13/xy1,1x11分y/1x2pdxdydx37571xpdy2分13xD1213._631(1xy)"dx4分19291.6131(|x|31)dx130(x1)dx6.判断级数(1)nn解:(1)nn

8、n1二的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。n1：.n(n)所以级数发散。又(1)nnn1(1)n(1)n1,n(n1).n显然，交错级数(/都收敛,所以原级数收敛。因此是条件n1(n1).n收敛。7.将函数1展开成x的幕级数，并求其成立的区间。(1x)(2x)解：一(11x)(2x)121”.2(|x|2)所以二1-L；1"L1(1-nr)x6分n02成立范围|x|17分四、解答题(本大题共3小题，每小题7分，共21分)1.抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上任一点P的坐标为P(x,y,z),P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆

9、上任一点的距离的平方为x2y2z2,1分构造拉格朗日函数Fx2y2z2(x2y2z)(xyz1)2分Fx2x2x0Fy2y2y0Fz2z04分22Fxyz0Fxyz101解得x-(1V3)5分得两个驻点为P1(1,1,23),P2(1,1,2,.3)222222226分所以最短距离为8573,最短距离为495737分nn2.求幕级数(1)的和函数n1(n1)!解：因为exn n(1) xn 0 n!n,所以exn0n!S(x)(1)nnxn n 0 (n 1)!(1)n(n 1 1)xn(n 1)!nnnn(1)x(1)xn0n!n0(n1)!nn(1)xn0n!(1)nxnn0(n所以S(x

10、)1)!故S(x)e0时,另解:0时,0时,1(1)nxn1(n1)!(1)nxnn!(1)nxnn!L1xx)(x0)1(1xxxe)(xS(x)(1)nnxnn1(n1)!S(x)0。(1)n1xn10(n1)!(1)nxnn0n!1x-ex0)6分1x1xx0(x0)nn1(1)nx(n1)!(1)n(n1)!xndxnn(1)xn1(n1)!x(1)nx0n0n!xxexdx0xdedxndxn1n1(1)xdx(n1)!1xxexx1eex3.设函数f(x)和g(x)有连续导数,且f(0)1，g(0)0,L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D,已知?Lxydxyf(x)g(x)dyyg(x)d,求f(x)和g(x)o解：由格林公式得yf'(x)g'(x)xd