高等数学76空间曲线及其方程

1、76 空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线的一般方程曲线关于坐标面的投影柱面和投影曲线投影柱面和投影曲线的方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线xyzO两曲面的交线 空间曲线可以看作两个曲面的交线xyzO两平面的交线一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程所以应满足方程组 设F (x，y，z) 0和G (x，y，z) 0是两个曲面方程，它们的交线为C 因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程， 反

2、过来，如果点 M 不在曲线C上，xyzO那么它不可能同时在两个曲面上， 所以它的坐标不满足此方程组 因此， 曲线C可以用上述方程组来表示上述方程组叫做空间曲线C的一般方程F (x, y, z)0G (x, y, z)0C. 0),(, 0),(zyxGzyxF 解 方程组中第一个方程表示母线平行于 z 轴的圆柱面，准线是 xOy 面上的圆，圆心在原点O，半行为1方程组中第二个方程表示一个母线平行于 y 轴的柱面，由于它的准线是zOx 面上的直线，因此它是一个平面方程组就表示上述平面与圆柱面的交线xyzO632, 122zxyx 例1 方程组表示怎样的曲线？ 例1表示上述半球面与圆柱面的交线 解

3、 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O， 半行为a的上半球面第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面， 它的准线是xOy 面上的圆，方程组就xyzO2a2a这圆的圆心在点( ，0)，半行为 22222222,ayaxyxaz 例1 方程组表示怎样的曲线？ 例2二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 空间曲线C的方程除了一般方程之外， 也可以用参数形式表只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数：示，当给定tt 1时， 就得到C上的一个点(x1，y1，z1) ；随着t的变动上述方程组叫做空间曲线的参数方程便得曲线C上的全部点).(),(),(tzztyytxx 例3 如果空间一点M 在

4、圆柱面x 2y 2a 2 上以角速度w绕z轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于z轴的正方向上升(其中w、v都是常数)，那么点M构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程xyzO经过时间t，动点由A运动到M (x，y，z) 解取时间t 为参数设当t0时，动点位于x轴上的一点A(a，0，0)处则 xa cosw t，ya sinw tzv t 因此螺旋线的参数方程为Mw txyOM w tA.,sin,cosvtztaytaxww 螺旋线的参数方程的其它形式：令qwt ，则.,sin,cosqqqbzayax其中 wvb 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 类似地可以定义曲线C在其

5、它坐标面上的投影 以曲线C为准线、 母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面，投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy 面上的投影曲线，或简称投影xyzO投影柱面投影曲线C 设空间曲线C的一般方程为则由此方程组消去变量 z 后所得的方程H (x，y) 0就是曲线C关于xOy面的投影柱面 曲线C在xOy 面上的投影曲线的方程为：x yzOC. 0),(, 0),(zyxGzyxF. 0, 0),(zyxH讨论： 1、曲线C关于yO z 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么？ 2、曲线C在yO z 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么？求它们的交线C在xOy面上的投影方程 例4 已知两球面的方程为x 2y 2z 21 和 x 2(y1) 2(z1) 21，两球面的交线C在xOy面上的投影方程为 解 两方程相减，得将z1y代入其中一个方程，得这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程 yz1x 22y 22y0. 0, 02222zyyx求它在xOy面上的投影xyzO)(322yxz所围成，224yxz 例5 设一个立体由上半球面和锥面 例5关于xOy面的投影柱面， 解 由两方程消去 z 得到x 2y 21这是一个母线平行于 z 轴的圆柱面，它恰好是半球面与锥面的交线C线C在xOy面上的投影曲线为因此交该圆在xOy面上所围的部分:x 2y 21这是xOy面上的一