高等基础工程学讲义3-弹性地基梁理论

1、弹性地基梁理论弹性地基梁理论1 1、弹性地基梁的选择、布置与构造弹性地基梁的选择、布置与构造2 2、弹性地基梁模型及讨论弹性地基梁模型及讨论3 3、WinklerWinkler地基梁理论的地基梁理论的一一般方程般方程4 4、无限长梁及半无限长梁无限长梁及半无限长梁5 5、有限长梁的计算有限长梁的计算6 6、刚性梁的计算刚性梁的计算7 7、双向弹性地基梁双向弹性地基梁地基基础设计内容地基基础设计内容1 1、弹性地基梁的选择、布置与构造弹性地基梁的选择、布置与构造(1/8)1 1、弹性地基梁的选择、布置与构造弹性地基梁的选择、布置与构造(2/8)1 1、弹性地基梁的选择、布置与构造、弹性地基梁的选

2、择、布置与构造连续基础：连续基础：柱下条形基础柱下条形基础 筏板基础筏板基础 交叉条形基础交叉条形基础 箱形基础箱形基础特点：特点：底面积大底面积大 地基承载力地基承载力整体刚度大整体刚度大 减小不均匀沉降减小不均匀沉降补偿作用补偿作用 箱形基础，箱形基础， 设置地下室的筏形基础设置地下室的筏形基础1 1、弹性地基梁的选择、布置与构造弹性地基梁的选择、布置与构造(3/8)浅基础设计方法浅基础设计方法满足了静力平衡条件，忽略了地基、基础和上部结构三者满足了静力平衡条件，忽略了地基、基础和上部结构三者之间受荷前后的变形连续性。之间受荷前后的变形连续性。地基越软弱，与实际情况差别越大。地基越软弱，与

3、实际情况差别越大。1 1、弹性地基梁的选择、布置与构造弹性地基梁的选择、布置与构造(4/8)常规设计法：常规设计法：满足下列条件时可以采用：满足下列条件时可以采用：（1 1）沉降较小或较均匀）沉降较小或较均匀（2 2）基础刚度大）基础刚度大1 1、弹性地基梁的选择、布置与构造弹性地基梁的选择、布置与构造(5/8)弹性地基梁：弹性地基梁：在工程结构中，有时在柱子下面设置连续梁基在工程结构中，有时在柱子下面设置连续梁基础础(或板基础或板基础)，这种梁，这种梁(板板)基础和地基的接触面积很大基础和地基的接触面积很大，整体，整体刚度也很大，向地基传递、扩散荷载，如果假定地基是弹性刚度也很大，向地基传递

4、、扩散荷载，如果假定地基是弹性的，这种基础梁的，这种基础梁(梁基础梁基础)就叫弹性地基梁。就叫弹性地基梁。弹性地基梁与连续梁的区别？弹性地基梁与连续梁的区别？普通连续梁普通连续梁（1 1）只在支座处与地基相连，是有限次超静定结构）只在支座处与地基相连，是有限次超静定结构（2 2）通常连续梁是刚性支座，不计支座及地基变形）通常连续梁是刚性支座，不计支座及地基变形弹性地基梁弹性地基梁（1 1）全断面和地基相连，是无限次超静定）全断面和地基相连，是无限次超静定（2 2）同时考虑与地基的变形，变形的连续性，上部结构和地）同时考虑与地基的变形，变形的连续性，上部结构和地基、基础的共同工作基、基础的共同工

5、作1 1、弹性地基梁的选择、布置与构造弹性地基梁的选择、布置与构造(6/8)弹性地基梁的布置弹性地基梁的布置1)1)和柱网一致和柱网一致2)2)纵横方向都是柱下梁式纵横方向都是柱下梁式基础基础( (弹性地基梁弹性地基梁) )的主方的主方向向，弹性地基梁在纵横两，弹性地基梁在纵横两个方向都着地，见图个方向都着地，见图3-13-1。此时是此时是双向交叉弹性地基双向交叉弹性地基梁梁，应按双向交叉弹性地，应按双向交叉弹性地基梁计算。为了简化，也基梁计算。为了简化，也可以在两个方向上分别按可以在两个方向上分别按单向弹性地基梁计算，在单向弹性地基梁计算，在柱位处附近配置加强构造柱位处附近配置加强构造筋，以

6、抗弯和抗扭。筋，以抗弯和抗扭。1 1、弹性地基梁的选择、布置与构造弹性地基梁的选择、布置与构造(7/8)3）在一个方）在一个方向上是主方向，向上是主方向，另一个方向上另一个方向上是次方向，在是次方向，在主方向上的梁主方向上的梁着地，按弹性着地，按弹性地基梁计算地基梁计算，次方向上的梁次方向上的梁不着地，按连不着地，按连续梁续梁(联系梁联系梁)计算计算，见图，见图3一一2。1 1、弹性地基梁的选择、布置与构造弹性地基梁的选择、布置与构造(8/8)地基计算模型地基计算模型 在上部结构、基础与地基的共同作用分析中，或者在地基在上部结构、基础与地基的共同作用分析中，或者在地基上的梁板分析中，都要用到土

7、与基础接触界面上的力与位移的上的梁板分析中，都要用到土与基础接触界面上的力与位移的关系，这种关系可以用连续的或离散化形式的特征函数表示，关系，这种关系可以用连续的或离散化形式的特征函数表示，这就是所谓的这就是所谓的地基计算模型。地基计算模型。 地基计算模型可以是线性或非线性的，且一般是三维的，地基计算模型可以是线性或非线性的，且一般是三维的，但常予以简化。最简单的地基计算模型是线性弹性模型，并且但常予以简化。最简单的地基计算模型是线性弹性模型，并且只考虑竖向力和位移的关系，主要介绍常用的几种线弹性地基只考虑竖向力和位移的关系，主要介绍常用的几种线弹性地基模模型。型。2 2、弹性地基梁模型及讨论

8、、弹性地基梁模型及讨论(1/12)地基模型地基模型 地基反力直线分布模型地基反力直线分布模型 文克尔地基模型文克尔地基模型 半空间弹性地基模型半空间弹性地基模型 有限深度可压缩性地基模型有限深度可压缩性地基模型 层状地基模型层状地基模型 双参数、三参数弹性地基模型双参数、三参数弹性地基模型 非线弹性及弹塑性模型非线弹性及弹塑性模型 各种本构模型各种本构模型：Duncan and ChangDuncan and Chang、剑桥模型及修正、剑桥模型及修正、沈珠江模型、沈珠江模型、 Drucker and PragerDrucker and Prager等等2 2、弹性地基梁模型及讨论、弹性地基梁

9、模型及讨论(2/12)1 1、地基反力直线分布模型、地基反力直线分布模型 前提条件：前提条件：1)基础梁本身假定是绝对刚性的，没有弹性变形，只产生刚体基础梁本身假定是绝对刚性的，没有弹性变形，只产生刚体的位移和转动，没有挠曲；的位移和转动，没有挠曲；2)地基反力假定在任一点与其沉降是正比关系。地基反力假定在任一点与其沉降是正比关系。地基反力的线性分布规律，即：地基反力的线性分布规律，即：式中式中: 地基反力的偏心距，地基反力的偏心距， , 弹性地基梁应为中小偏心，弹性地基梁应为中小偏心， ; 和弯矩作用平面平行的基础边长。和弯矩作用平面平行的基础边长。)61 (minmaxleAGFPeGFM

10、e6le l2 2、弹性地基梁模型及讨论、弹性地基梁模型及讨论(3/12)通常用通常用倒梁法倒梁法( (倒置的连续梁倒置的连续梁) )求解：求解：以地基净反力作为梁上荷载，柱子作为倒梁的支座，上部结构刚度以地基净反力作为梁上荷载，柱子作为倒梁的支座，上部结构刚度很大，柱子可作为梁的不动支座，不产生竖向位移，基础不产生整体很大，柱子可作为梁的不动支座，不产生竖向位移，基础不产生整体弯曲，只产生局部弯曲，这等于考虑了上部结构和地基、基础的共同弯曲，只产生局部弯曲，这等于考虑了上部结构和地基、基础的共同工作。工作。求解时用结构力学中的求解时用结构力学中的弯矩分配法或刚性支座上连续梁分析中的三弯矩分配

11、法或刚性支座上连续梁分析中的三弯矩方程法弯矩方程法。但这样的计算结果，柱位处的地基反力和柱子往下传的。但这样的计算结果，柱位处的地基反力和柱子往下传的荷载一般情况下是不相等的，如果柱位处的地基反力大于相应柱子往荷载一般情况下是不相等的，如果柱位处的地基反力大于相应柱子往下传的荷载，说明地基反力算大了下传的荷载，说明地基反力算大了; ;如果柱位处的地基反力小于相应如果柱位处的地基反力小于相应柱子往下传的荷载，说明地基反力算小了。需要在柱位两侧各柱子往下传的荷载，说明地基反力算小了。需要在柱位两侧各1/31/3跨跨度内进行调整，即减小或加大地基反力，重新计算，直到柱位处的地度内进行调整，即减小或加

12、大地基反力，重新计算，直到柱位处的地基反力和相应柱子往下传的荷载相差不多或比较接近为止。当连续梁基反力和相应柱子往下传的荷载相差不多或比较接近为止。当连续梁比较规则比较规则( (荷载及跨度荷载及跨度) )时，可用连续梁内力系数表分析计算，当反力时，可用连续梁内力系数表分析计算，当反力调整以后，就比较麻烦了，只能在各项荷载下分别用弯矩分配法分析调整以后，就比较麻烦了，只能在各项荷载下分别用弯矩分配法分析计算，然后进行叠加。计算，然后进行叠加。2 2、弹性地基梁模型及讨论、弹性地基梁模型及讨论(4/12)2 2、文克尔地基模型、文克尔地基模型该模型由捷克工程师文克尔该模型由捷克工程师文克尔(Win

13、kler)提出提出,是最简单的线弹性模型是最简单的线弹性模型,其假定是地基上任一点的压力其假定是地基上任一点的压力p与该点的竖向位移与该点的竖向位移(沉降沉降)s成正成正比比,即即 kps ）。或基床系数（表示；），也常用地基上的沉降量（）；或地基上的压力（式中：332mkNmtkycmskPmtpa2 2、弹性地基梁模型及讨论、弹性地基梁模型及讨论(5/12)文克尔模型文克尔模型( (假定假定) )实际上使用了三个假定实际上使用了三个假定: :1 1）基础底面每一点的挠度与该点下的地基沉降一致，即）基础底面每一点的挠度与该点下的地基沉降一致，即基底基底面和地基要全部接触面和地基要全部接触，不

14、能脱开，梁的刚度要比较大；，不能脱开，梁的刚度要比较大；2)2)基底变形后仍保持平面基底变形后仍保持平面，认为基础的刚度大，故地基反力，认为基础的刚度大，故地基反力呈线型分布。呈线型分布。3)3)只在受荷点处，才有地基沉降只在受荷点处，才有地基沉降，超出受荷范围则没有地基，超出受荷范围则没有地基沉降。这是局部变形理论，忽略了地基的连续性，忽略了地沉降。这是局部变形理论，忽略了地基的连续性，忽略了地基中的剪应力和抗剪作用，因而应力和变形都不向周围扩展，基中的剪应力和抗剪作用，因而应力和变形都不向周围扩展，这是把地基看成许多各自独立存在的弹簧或把地基看作是水这是把地基看成许多各自独立存在的弹簧或把

15、地基看作是水体体( (无剪应力，局部冲切无剪应力，局部冲切) )。这显然不符合事实，文克尔假定。这显然不符合事实，文克尔假定是阿基米德原理的一个推论。是阿基米德原理的一个推论。2 2、弹性地基梁模型及讨论、弹性地基梁模型及讨论(6/12) 按照文克尔假定，具体计算时，按照按照文克尔假定，具体计算时，按照 的值对弹性地基梁的值对弹性地基梁进行刚柔度分类，具体的分类方法很多，大同小异，我们选进行刚柔度分类，具体的分类方法很多，大同小异，我们选应用广泛的标准进行分类如下应用广泛的标准进行分类如下: : , ,称为短梁，又称刚性梁，有的文献放宽称为短梁，又称刚性梁，有的文献放宽到到 ; ;当当 时称为

16、绝对刚性梁；时称为绝对刚性梁； 称为有限长梁，又称中长梁；称为有限长梁，又称中长梁； 对对 ，称为无限长梁或半无限长梁，称为无限长梁或半无限长梁( (在荷载作用点两在荷载作用点两侧，都满足侧，都满足 时称无限长梁时称无限长梁; ;在荷载作用点两侧，只有一在荷载作用点两侧，只有一侧满足对侧满足对 时称半无限长梁时称半无限长梁) )。有的文献放宽。有的文献放宽到到 。 弹性地基梁的刚柔度类型不同，荷载的影响范围大小不弹性地基梁的刚柔度类型不同，荷载的影响范围大小不同，相应的分析、计算方法也不同，在实践中先分类，再按同，相应的分析、计算方法也不同，在实践中先分类，再按相应的方法进行分析计算。相应的方

17、法进行分析计算。4l2ll0 . 55 . 4l5 . 0l l4lll2 2、弹性地基梁模型及讨论、弹性地基梁模型及讨论(7/12)文克尔假定的修正文克尔假定的修正( (改正改正) )原因：原因：原始的文克尔假定局限性很大，甚至不适用。原始的文克尔假定局限性很大，甚至不适用。文克尔原来假定在受荷点处，地基反力与该点的地基沉降成文克尔原来假定在受荷点处，地基反力与该点的地基沉降成正比。实际的地基基础哪有点荷载，正比。实际的地基基础哪有点荷载，在应用中我们把它扩大为在应用中我们把它扩大为地基反力与其沉降成正比，地基受荷载，或看作均布荷载，或地基反力与其沉降成正比，地基受荷载，或看作均布荷载，或看

18、作线荷载看作线荷载; ;文克尔原来假定基础梁文克尔原来假定基础梁( (地基梁地基梁) )是绝对刚性的。实际上不是，是绝对刚性的。实际上不是，我们我们对地基梁的刚度进行分类，分类求解对地基梁的刚度进行分类，分类求解。有限长梁用原来的。有限长梁用原来的文克尔假定很难求解，经研究，俄国学者克雷洛夫提出了初参文克尔假定很难求解，经研究，俄国学者克雷洛夫提出了初参数法数法; ;按原来的文克尔假定，在受荷点处以外就不产生沉降。这是按原来的文克尔假定，在受荷点处以外就不产生沉降。这是一个错误。完全不计地基中的应力传播和变形的连续性，它只一个错误。完全不计地基中的应力传播和变形的连续性，它只是阿基米德浮力原理

19、的推论。我们是阿基米德浮力原理的推论。我们在应用中确认，在受荷处以在应用中确认，在受荷处以外一定范围内也有沉降，只是小一些，这是符合实际情况的外一定范围内也有沉降，只是小一些，这是符合实际情况的。2 2、弹性地基梁模型及讨论、弹性地基梁模型及讨论(8/12)文克尔模型文克尔模型( (假定假定) )在工程中的适用范围在工程中的适用范围l)l)铁路钢轨和枕木，厂房中的吊车轨道；铁路钢轨和枕木，厂房中的吊车轨道；2)2)船坞及滑道工程；船坞及滑道工程；3)3)浮桥、船舰、海上冰山运动，地基是水；浮桥、船舰、海上冰山运动，地基是水；4)4)地基是深厚淤泥层、荷载又大；地基是深厚淤泥层、荷载又大；5)5

20、)荷载很大、埋置深度很浅荷载很大、埋置深度很浅( )( )的基础；的基础；6)6)荷载很大，基底下压缩层很薄，其下是硬层或基岩；荷载很大，基底下压缩层很薄，其下是硬层或基岩；7)7)荷载很大、地基中塑性区开展很大；荷载很大、地基中塑性区开展很大；8)8)上部结构、基础柔性大，基本上不存在共同工作；上部结构、基础柔性大，基本上不存在共同工作；9)9)典型的端承桩或典型的摩擦桩；典型的端承桩或典型的摩擦桩；10)10)砂土地基和粘上地基上有较厚的砂石垫层时更适用于基床系数砂土地基和粘上地基上有较厚的砂石垫层时更适用于基床系数法。法。5 . 0bd2 2、弹性地基梁模型及讨论、弹性地基梁模型及讨论(

21、9/12)3 3、半空间弹性地基模型、半空间弹性地基模型将地基看成是匀质的线性变将地基看成是匀质的线性变形的半空间体，利用弹性力学形的半空间体，利用弹性力学中的半空间弹性体理论建立的中的半空间弹性体理论建立的地基计算模型称为半空间弹性地基计算模型称为半空间弹性地基模型。地基模型。 最常用的弹性半空间地基最常用的弹性半空间地基模型采用布辛奈斯克解，即当模型采用布辛奈斯克解，即当弹性半空间表面作用着集中力弹性半空间表面作用着集中力P P时半空间体中任一点的应力时半空间体中任一点的应力和位移解。和位移解。ErPs)1 (22 2、弹性地基梁模型及讨论、弹性地基梁模型及讨论(10/12)弹性地基梁的受

22、力和变形优点优点反映了地基的连续整体性，同反映了地基的连续整体性，同时从几何上、物理上对地基进时从几何上、物理上对地基进行了简化行了简化缺点缺点弹性假设没有反映土壤的非弹弹性假设没有反映土壤的非弹性性质；性性质；均质假设没有反映土壤的不均均质假设没有反映土壤的不均匀性；匀性；半无限体的假设没有反映地基半无限体的假设没有反映地基的分层特点；的分层特点；数学处理上比较复杂。数学处理上比较复杂。2 2、弹性地基梁模型及讨论、弹性地基梁模型及讨论(11/12)小结：小结： 地基计算模型实际上具体描述了地基计算模型实际上具体描述了地基沉降与基底压力之地基沉降与基底压力之间的关系间的关系。选用地基模型是地

23、基上梁和板分析中的关键问题，。选用地基模型是地基上梁和板分析中的关键问题，应按地基的实际情况和模型的适用条件适当考虑。应按地基的实际情况和模型的适用条件适当考虑。 地基模型一经选定，则分析时都以下面地基模型一经选定，则分析时都以下面两个条件两个条件为出发为出发点点: : （1 1）地基与基础始终保持接触，不得出现脱开的现象。）地基与基础始终保持接触，不得出现脱开的现象。这就是这就是地基与基础之间的变形协调条件地基与基础之间的变形协调条件。 （2 2）基础在外荷载和基底反力的作用下必须满足）基础在外荷载和基底反力的作用下必须满足力平衡力平衡条件条件。 根据这两个基本条件可以列出求解问题所需的微分

24、方程根据这两个基本条件可以列出求解问题所需的微分方程式，然后结合必要的边界条件求解。式，然后结合必要的边界条件求解。2 2、弹性地基梁模型及讨论、弹性地基梁模型及讨论(12/12)3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（1/91/9）1 1、基本假定：、基本假定：地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的挠度处处相等；处相等；由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可以略由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可以略

25、去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直；去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直；地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直接应地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。2 2、弹性地基梁的一般方程、弹性地基梁的一般方程 由理论力学知道由理论力学知道: :平衡状态、稳定状态下的微元体上，在各种力作用平衡状态、稳定状态下的微元体上，在各种力作用下应有下应有 。由右下图中，对左下角点取矩。由右下图中，对左下角点取矩 得到得到 ，继而得到，继而得到0, 0, 0Myx 0MQdxdMqdxdQdxMd223、文

26、克尔弹性地基梁理论的一般方程、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（2/92/9）取取 ，得到：，得到： 由材料力学可知：由材料力学可知：在图示坐标系下应为：在图示坐标系下应为： 故有：故有：经变换得：经变换得： 0yqkbyqpbdxdQMdxydEI22MdxydEI22qkbydxdQdxMddxydEI2244)(44xqkbydxydEI弹性地基梁的基本微弹性地基梁的基本微分方程式分方程式满足了两个基本条件：满足了两个基本条件：静力平衡条件和变形静力平衡条件和变形协调条件协调条件3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（3/93/9）式式 是一个四阶、常系数、非齐

27、次、线性偏微是一个四阶、常系数、非齐次、线性偏微分方程，对应的齐次方程为分方程，对应的齐次方程为式式 的特解为：的特解为：式式 的通解为：的通解为：)(44xqkbydxydEIkbydxydEI44)(44xqkbydxydEIkbxqy)(kbydxydEI44443214)sincos()sincos(EIkbxCxCexCxCeyxx式中：3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（4/94/9）根据弹性地基梁的根据弹性地基梁的边界条件边界条件和和连续性条件连续性条件，确定积分常数，确定积分常数求出梁的挠度方程之后，可依次得到：求出梁的挠度方程之后，可依次得到：

28、梁的轴线转角梁的轴线转角梁的截面弯矩梁的截面弯矩梁的截面切力梁的截面切力梁底地基反力梁底地基反力4321CCCC、dxdy22dxydEIM33dxydEIQkbyp 3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（5/95/9）3 3、基床系数的求法、基床系数的求法（1 1）由定义及试验直接得到）由定义及试验直接得到由定义由定义式中：式中： -试验荷载和相应的沉降量试验荷载和相应的沉降量根据定义根据定义 得到得到式中：式中：EE地基的变形模量；地基的变形模量；H-H-地基压缩层厚度，根据文献地基压缩层厚度，根据文献H=H=（0.5-1.00.5-1.0）b b或或H=H=

29、（0.7-1.50.7-1.5）b,bb,b为基础宽度为基础宽度显然，这种估计适合于大、中型基础，显然，这种估计适合于大、中型基础，b b较大较大1212ssppk2121sspp、HEpkkspHEk 3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（6/96/9）3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（7/97/9）（2）根据试验结果并考虑基础大小、形状及埋置深度的修正）根据试验结果并考虑基础大小、形状及埋置深度的修正详见：详见：工程地质手册工程地质手册（第（第4 4版）版） 工程地质手册工程地质手册编委会编委会 编编（此略）（此略）3、文克尔

30、弹性地基梁理论的一般方程、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（8/98/9）（3 3）经验数据）经验数据在土力学、基础工程、弹性地基梁、岩上工程的书上，通常都有基在土力学、基础工程、弹性地基梁、岩上工程的书上，通常都有基床系数床系数k k的经验数据。但我们不知道这些经验数据得来的背景和试的经验数据。但我们不知道这些经验数据得来的背景和试验条件，所以不能简单的照搬和硬用，这些经验数据有参考价值，验条件，所以不能简单的照搬和硬用，这些经验数据有参考价值，可以用于估算或用于初步设计可以用于估算或用于初步设计。3、文克尔弹性地基梁理论的一般方程、文克尔弹性地基梁理论的一般方程（9/99/9）1 1、无限长

31、梁受、无限长梁受集中力作用集中力作用 为为系数，可查系数，可查弹弹性地基梁及矩形性地基梁及矩形板计算板计算(中国中国船舶工业总公司船舶工业总公司第九设计研究院第九设计研究院编，国防工业出编，国防工业出版社，版社，1983年年)或或弹性地基梁弹性地基梁的计算的计算(龙驭龙驭球编，高等教育球编，高等教育出版社，出版社，1985年年)。xxxxDCBA、4 4、无限长梁及半无限长梁无限长梁及半无限长梁（1/12）4 4、无限长梁及半无限长梁无限长梁及半无限长梁（2/12）2、无限长梁受集中力偶作用、无限长梁受集中力偶作用4 4、无限长梁及半无限长梁无限长梁及半无限长梁（3/12）4 4、无限长梁及半

32、无限长梁无限长梁及半无限长梁（4/12）4 4、无限长梁上局部受均布荷载的计算、无限长梁上局部受均布荷载的计算所求截面处在均布荷载段内时所求截面处在均布荷载段内时所求截面处在均布荷载段之外时所求截面处在均布荷载段之外时上述两种问题的解答见同济大学编上述两种问题的解答见同济大学编多层及高层房屋结构设计多层及高层房屋结构设计下册下册(上海科学上海科学技术出版社，技术出版社，1982年年)。4 4、无限长梁及半无限长梁无限长梁及半无限长梁（5/12）5 5、半无限长梁，有限端自由并受集中力和力偶作用、半无限长梁，有限端自由并受集中力和力偶作用梁仅在荷载作用点的一侧满足条件梁仅在荷载作用点的一侧满足条

33、件 ，即属无限长梁，而在荷载作，即属无限长梁，而在荷载作用点的另一侧则不满足用点的另一侧则不满足 ，此时称为半无限长梁。，此时称为半无限长梁。因为梁上没有均布荷载，故有：因为梁上没有均布荷载，故有：ll4 4、无限长梁及半无限长梁无限长梁及半无限长梁（6/12）4 4、无限长梁及半无限长梁无限长梁及半无限长梁（7/12）6、半无限长梁在距梁端、半无限长梁在距梁端a处集中力或集中力偶时情况处集中力或集中力偶时情况这种情况可查清华大学这种情况可查清华大学弹性地基梁的计算弹性地基梁的计算(龙驭球编，高等龙驭球编，高等教育出版社，教育出版社，1985年年)或查同济大学编或查同济大学编多层及高层房屋结构

34、多层及高层房屋结构设计设计(上海科学技术出版社，上海科学技术出版社，1982年年)，都是实用数表。，都是实用数表。4 4、无限长梁及半无限长梁无限长梁及半无限长梁（8/12）7、半无限长梁，有限端铰支，全长受均布荷载、半无限长梁，有限端铰支，全长受均布荷载座标系和荷载如下图示座标系和荷载如下图示,因为梁上有均布荷载，所以应该用方因为梁上有均布荷载，所以应该用方程式程式(3-10)，即，即4 4、无限长梁及半无限长梁无限长梁及半无限长梁（9/12）4 4、无限长梁及半无限长梁无限长梁及半无限长梁（10/12）8、半无限长梁，有限端固定，全长受均布荷载、半无限长梁，有限端固定，全长受均布荷载4 4

35、、无限长梁及半无限长梁无限长梁及半无限长梁（11/12）9、有边载时的地基反力和梁的内力计算、有边载时的地基反力和梁的内力计算 在半无限长弹性地基梁中，当荷载作用在地基梁跨度以外在半无限长弹性地基梁中，当荷载作用在地基梁跨度以外(称称边载边载)的地表面时，也会产生地基反力和梁的内力。计算见清华的地表面时，也会产生地基反力和梁的内力。计算见清华大学龙驭球大学龙驭球弹性地基梁的计算弹性地基梁的计算(高等教育出版社，高等教育出版社，1985)中中有关数表。有关数表。4 4、无限长梁及半无限长梁无限长梁及半无限长梁（12/12）有限长梁有限长梁 的计算的计算实际的基础梁大多不能看成是无限长实际的基础梁

36、大多不能看成是无限长梁。对于有限长梁，梁。对于有限长梁，要考虑荷载作用要考虑荷载作用对梁端的影响对梁端的影响。通常可通常可利用无限长梁和叠加原理利用无限长梁和叠加原理求得。求得。基本思路：基本思路：（1）把受有荷载的有限长梁）把受有荷载的有限长梁 (实际梁实际梁)由由A、B两端向外延伸到无限，这样形成两端向外延伸到无限，这样形成无限长梁无限长梁，此时梁，此时梁上上A、B两点的弯两点的弯矩和剪力分别为矩和剪力分别为Ma, Va。和。和Mb , Vb；（2）在梁且的）在梁且的A,B两点外侧，特意分别两点外侧，特意分别施加一对附加集中荷载施加一对附加集中荷载MA、PA和和MB、PB。(其正方向如图所

37、示其正方向如图所示)，并要求这两对附加，并要求这两对附加荷载在荷载在A ,B截面中应生的弯矩和剪力分截面中应生的弯矩和剪力分别等于别等于-Ma，-Va和和-Mb、-Vb。（3）根据）根据梁端边界条件梁端边界条件及及叠加原理叠加原理求解。求解。因为实际上梁因为实际上梁的两端是自由的两端是自由端，不存在任何内力。这样正端，不存在任何内力。这样正好抵消了梁好抵消了梁在外荷载作用下在外荷载作用下A , B两截面处的内力，其效果相当两截面处的内力，其效果相当于把梁于把梁在在A和和B处切断。因此，处切断。因此，有限长梁有限长梁I的内力与无限长梁且的内力与无限长梁且在外荷载和附加集中荷载作用在外荷载和附加集

38、中荷载作用下叠加的结果相当。下叠加的结果相当。5 5、有限长梁的计算有限长梁的计算（1/4）由于由于P PA A、M MA A和和P PB B、M MB B是为了梁且上实现梁是为了梁且上实现梁I I的边界条件所必须的附加荷的边界条件所必须的附加荷载，所以叫作载，所以叫作梁端边界条件梁端边界条件。根据上述条件，有根据上述条件，有: :5 5、有限长梁的计算有限长梁的计算（2/4）求解上式得：求解上式得：式中：式中：5 5、有限长梁的计算有限长梁的计算（3/4）有限长梁的具体计算步骤有限长梁的具体计算步骤 把有限长梁把有限长梁延长到无限长，计算无限长梁延长到无限长，计算无限长梁上相应于梁上相应于梁

39、两端两端的的A A和和B B截面由于外荷载引起的内力截面由于外荷载引起的内力M Ma a,V,Va a和和M Mb b,V,Vb b；计算梁端附加荷载计算梁端附加荷载P PA A，M MA A和和P PB B，M MB B; ;再按叠加原理计算在已知荷载和虚拟荷载共同作用下梁再按叠加原理计算在已知荷载和虚拟荷载共同作用下梁上相应上相应于梁于梁各点的内力。这就是有限长梁各点的内力。这就是有限长梁I I的解。的解。5 5、有限长梁的计算有限长梁的计算（4/4）刚性梁刚性梁 的计算的计算 当当 ， 是作用荷载作用点或荷载作用中心距梁端或距坐标是作用荷载作用点或荷载作用中心距梁端或距坐标原点的距离，此

40、时称为原点的距离，此时称为刚性梁或短梁刚性梁或短梁。 很小，说明梁的很小，说明梁的EI很大，很大， 很小，此时梁的刚度很大，不大可能弯曲很小，此时梁的刚度很大，不大可能弯曲(弹性变形弹性变形)。当。当 0.5,甚至甚至 0 时，称为时，称为绝对刚性梁绝对刚性梁。梁只能产生刚体的移动和转动，。梁只能产生刚体的移动和转动，梁的位移梁的位移(挠度挠度)、地基的沉降、地基的反力分布均呈线性状态，适、地基的沉降、地基的反力分布均呈线性状态，适用地基反力的直线分布模型用地基反力的直线分布模型(理论、假定理论、假定)。具体的分析计算方法有用具体的分析计算方法有用倒梁法倒梁法，也有用，也有用多跨静定梁法多跨静

41、定梁法。倒梁法分析结果倒梁法分析结果-M偏大偏大(在跨中，基础结构的上表面，凸向上方在跨中，基础结构的上表面，凸向上方)，静定梁法分析结果静定梁法分析结果+M偏大偏大(在柱位处，基础结构的下表面，凸向下在柱位处，基础结构的下表面，凸向下方方)。为了设计安全，在跨中、在柱位处都用最大值或偏大值，都按。为了设计安全，在跨中、在柱位处都用最大值或偏大值，都按最大值配筋。这也不合理。倒梁法和静定梁法混着用，有待在实践最大值配筋。这也不合理。倒梁法和静定梁法混着用，有待在实践中改进。中改进。llllll6 6、刚性梁的计算刚性梁的计算(1/4)刚性梁刚性梁简化计算方法简化计算方法采用基底压力呈直线分布假

42、设，用采用基底压力呈直线分布假设，用倒梁法倒梁法或或静定分析法静定分析法计计算。算。简化计算方法仅满足静力平衡条件，是最常用的设计方法。简化计算方法仅满足静力平衡条件，是最常用的设计方法。简化方法适用于柱荷载比较均匀、柱距相差不大，基础对简化方法适用于柱荷载比较均匀、柱距相差不大，基础对地基的相对刚度较大，以致可忽略柱间的不均匀沉降的影响地基的相对刚度较大，以致可忽略柱间的不均匀沉降的影响的情况。的情况。静定分析法适用于上部结构刚度很小。静定分析法适用于上部结构刚度很小。倒梁法假定上部结构绝对刚性。倒梁法假定上部结构绝对刚性。6 6、刚性梁的计算刚性梁的计算(2/4)倒梁法（假定上部结构刚性）

43、倒梁法（假定上部结构刚性）按柱的平面布置和构造要求确定条形基础长度按柱的平面布置和构造要求确定条形基础长度L L，根据地基，根据地基承载力特征值确定基础底面积承载力特征值确定基础底面积A A，以及基础宽度，以及基础宽度B=A/LB=A/L和截面和截面抵抗矩。抵抗矩。按直线分布假设计算基底净反力按直线分布假设计算基底净反力确定柱下条形基础的计算简图，系为将柱脚作为不动铰支确定柱下条形基础的计算简图，系为将柱脚作为不动铰支座的倒连续梁。座的倒连续梁。进行连续梁分析，可用弯矩分配法、连续梁系数表等方法。进行连续梁分析，可用弯矩分配法、连续梁系数表等方法。按求得的内力进行梁截面设计。按求得的内力进行梁

44、截面设计。翼板的内力和截面设计与扩展式基础相同。翼板的内力和截面设计与扩展式基础相同。6 6、刚性梁的计算刚性梁的计算(3/4)静定分析法静定分析法 因为基础因为基础( (包括覆土包括覆土) )的自的自重不引起内力，故可根据基底重不引起内力，故可根据基底的净反力来作内力分析。的净反力来作内力分析。 求出净反力分布后，基础求出净反力分布后，基础上所有的作用力都已确定，便上所有的作用力都已确定，便可按静力平衡条件计算出任一可按静力平衡条件计算出任一截面上的弯矩截面上的弯矩M Mi i和剪力和剪力V Vi i，如右，如右图示选取若干截面进行计算，图示选取若干截面进行计算，然后绘制弯矩、剪力图。然后绘

45、制弯矩、剪力图。基底净反力：基底净反力：2minmax6blMblFpiijjiF式中：式中： -上部建筑物作用在基础梁上的各垂上部建筑物作用在基础梁上的各垂直荷载直荷载(包括均布荷载包括均布荷载q在内在内)之总和之总和; -各外荷载对基础梁中点的力矩代数各外荷载对基础梁中点的力矩代数和和;iM6 6、刚性梁的计算刚性梁的计算(4/4) 双向地基梁双向地基梁在荷载很大、地基在荷载很大、地基承载力又弱时，对承载力又弱时，对于柱下弹性地基梁于柱下弹性地基梁基础也可以在纵、基础也可以在纵、横两个方向上同时横两个方向上同时布置，如右图所示。布置，如右图所示。这种这种双向弹性地基双向弹性地基梁基础梁基础

46、又叫又叫井字梁井字梁基、交梁基础、十基、交梁基础、十字交叉条形基础字交叉条形基础。 是一种空间结构是一种空间结构7 7、双向弹性地基梁双向弹性地基梁(1/7) 双向弹性地基梁基础双向弹性地基梁基础是一种空间结构，应用弹性半无限是一种空间结构，应用弹性半无限空间体理论的精确计算十分麻烦。空间体理论的精确计算十分麻烦。 一般常采用各种简化计算法。一般常采用各种简化计算法。 此处仅下面仅简单介绍此处仅下面仅简单介绍简化计算的原则：简化计算的原则：通常用简化计通常用简化计算方法即算方法即在纵、横梁交叉处假定为铰接或上、下叠接状态在纵、横梁交叉处假定为铰接或上、下叠接状态。这样作用在节点处的这样作用在节点处的弯矩弯矩M就可不在纵、横方向分配就可不在纵、横方向分配，分别由，分别由纵向和横向基础梁来承受，仅需对纵向和横向基础梁来承受，仅需对作用在节点处的竖向力在作用在节点处的竖向力在纵、横两个方向上进行分配纵、横两个方向上进行分配，分配后就，分配后就分别计算两个方向上分别计算两个方向上的弹性地基梁的弹性地基梁。在计算中忽略了扭矩的影响，引起的