高三数学课件：第七章第九节直线与平面、平面与平面所成的角、点到平面的距离

1、第九节 直线与平面、平面与平面 所成的角、点到平面的距离1.1.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)(1)定义：如果直线定义：如果直线l与平面与平面垂直，很自然地定义直线垂直，很自然地定义直线l与平与平面面所成的角所成的角为直角为直角,= ,= ；如果直线；如果直线l与平面与平面不垂直，不垂直，则则l在在内的射影是一条直线内的射影是一条直线l，将，将_所成的角所成的角定义为定义为直线直线l与平面与平面所成的角所成的角. .2l与与l(2)(2)一般求法一般求法作直线作直线l的方向向量的方向向量 和平面和平面的法向量的法向量n，并且可选，并且可选 与与n所所成的角成的角1 100， .利用

2、数量积运算可求出利用数量积运算可求出coscos1 1，则直线，则直线l与与平面平面所成的角所成的角= ,sin=_.= ,sin=_.212coscos1 1【即时应用即时应用】(1)(1)思考：直线与平面所成的角、平面的法向量与直线的方向思考：直线与平面所成的角、平面的法向量与直线的方向向量的夹角具有怎样的关系？向量的夹角具有怎样的关系？提示提示: :当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是锐角时，其当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是锐角时，其余角为线面角；当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是钝余角为线面角；当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是钝角时，其补角的余角是线面角角时，其补角

3、的余角是线面角. .(2)(2)长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1=2=2，AD=1AD=1，E E为为CCCC1 1的中点，的中点，则异面直线则异面直线BCBC1 1与与AEAE所成角的余弦值为所成角的余弦值为_._.【解析解析】建立坐标系如图，则建立坐标系如图，则A(1,0,0)A(1,0,0)，E(0,2,1)E(0,2,1)，B(1,2,0)B(1,2,0)，C C1 1(0,2,2)(0,2,2)，答案答案: :1111BC1,0,2 AE1,2,1cosBC AE30.10|BC |AE| ，30102.

4、2.平面与平面所成的角平面与平面所成的角(1)(1)半平面半平面在一个平面上作一条直线，则这条直线将平面分成两部分，其在一个平面上作一条直线，则这条直线将平面分成两部分，其中中_都称为半平面都称为半平面. .(2)(2)二面角二面角从一条直线从一条直线l出发的两个出发的两个_组成的图形叫作二面组成的图形叫作二面角，记为角，记为_._.每部分每部分半平面半平面,-l-(3)(3)二面角的平面角二面角的平面角定义：过二面角定义：过二面角-l-的棱的棱l上任意一点上任意一点O O作垂直于棱作垂直于棱l的平的平面，分别与两个面面，分别与两个面,相交得到两条射线相交得到两条射线OAOA，OB,OB,则则

5、_称为二面角称为二面角-l-的平面角的平面角. .范围：范围：_._.(4)(4)直二面角直二面角当二面角当二面角-l-是是_时称它为直二面角时称它为直二面角. .AOBAOB0 01801809090【即时应用即时应用】(1)(1)思考：若思考：若ABAB、CDCD是二面角是二面角-l-的两个面内与棱的两个面内与棱l垂直的直垂直的直线，则二面角的大小线，则二面角的大小与与有何关系？有何关系？提示提示: := 或或=-=- . .AB,CD AB,CD AB,CD (2)(2)思考：如图思考：如图, ,n1 1, ,n2 2分别是二分别是二面角面角-l-的两个半平面的两个半平面,的法的法向量向

6、量, ,则二面角的平面角则二面角的平面角的余弦值的余弦值与与coscos 有何关系？有何关系？提示提示: :对于，对于，cos=-coscos=-cos 对于，对于，cos=coscos=cos.3.3.点到平面的距离点到平面的距离(1)(1)点到平面的距离点到平面的距离定义：从空间中一点定义：从空间中一点P P到平面到平面作垂线作垂线PDPD交平面交平面于于D D，则，则_的长度的长度d d称为点称为点P P到平面到平面的距离的距离. .求法：假如知道了平面求法：假如知道了平面的法向量的法向量n以及平面上任一点以及平面上任一点A A，则，则向量向量 在法向量在法向量n所在方向上的投影长度所在

7、方向上的投影长度d d就等于点就等于点P P到平面到平面的距离，且的距离，且d= .d= .线段线段PDPDAP AP| nn(2)(2)直线到与它平行平面的距离直线到与它平行平面的距离设直线设直线l平行于平面平行于平面，则，则l上所有的点到上所有的点到的距离的距离_，称为，称为l与与的距离的距离. .(3)(3)两个平行平面的距离两个平行平面的距离设两个平面设两个平面与与平行，则平行，则上所有的点到上所有的点到的距离的距离d_d_，_称为两个平行平面称为两个平行平面，之间的距离之间的距离. .相等相等相等相等d d【即时应用即时应用】(1)(1)思考：如何求线面距离与面面距离？思考：如何求线

8、面距离与面面距离？提示提示: :求这两种距离，通常都转化为求点到平面的距离求这两种距离，通常都转化为求点到平面的距离. .(2)(2)思考：如何推导点到平面的距离公式？思考：如何推导点到平面的距离公式？提示提示: :如图如图, ,点点A A到平面到平面的距离就是向量的距离就是向量 在平面在平面的法向量的法向量n上投影的绝对值上投影的绝对值, ,即即d=| |sinABO=| |cos ,d=| |sinABO=| |cos|利用该公式求点到平面的距离简便易行利用该公式求点到平面的距离简便易行. .AB AB AB AB AB|AB|AB|.|AB| | nnnn(3)(3)已知在长方体已知在长

9、方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，底面是边长为中，底面是边长为2 2的正方形，的正方形，高为高为4 4，则点，则点A A1 1到截面到截面ABAB1 1D D1 1的距离是的距离是_._.【解析解析】如图，建立空间直角坐标系，如图，建立空间直角坐标系，则则A A1 1(2,0,4)(2,0,4)，A(2,0,0)A(2,0,0)，B B1 1(2,2,4)(2,2,4)，D D1 1(0,0,4)(0,0,4)， =(-2,0,4),=(-2,0,4), =(0,2,4), =(0,0,4), =(0,2,4), =(0,0,4),1AD 1AB 1AA

10、 设平面设平面ABAB1 1D D1 1的一个法向量为的一个法向量为n=(x=(x，y y，z)z)，由由得得 ，令，令z=1z=1，则，则n=(2,-2,1)=(2,-2,1)，设点设点A A1 1到平面到平面ABAB1 1D D1 1的距离为的距离为d d，则则答案答案: :11AD2x4z0,AB2y4z0 nnx2zy2z 1|AA|4d.|3 nn43热点考向热点考向 1 1 用空间向量求空间角用空间向量求空间角 【方法点睛方法点睛】1.1.异面直线所成角的求法异面直线所成角的求法利用空间向量求异面直线所成的角可利用直线的方向向量转化利用空间向量求异面直线所成的角可利用直线的方向向量

11、转化成向量所成的角成向量所成的角. .2.2.利用向量求直线与平面夹角的方法利用向量求直线与平面夹角的方法(1)(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量, ,转化转化为求两个方向向量的夹角为求两个方向向量的夹角( (或其补角或其补角) )；(2)(2)通过平面的法向量来求通过平面的法向量来求, ,即求出斜线的方向向量与平面的法即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角向量所夹的锐角, ,取其余角就是斜线和平面所成的角取其余角就是斜线和平面所成的角. .3.3.求二面角的常用方法求二面角的常用方法(1)(1)分别求出二面角的两个面所在平

12、面的法向量，然后通过两个分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小形判断所求角的大小. .(2)(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量两个向量, ,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. .【提醒提醒】求线面角和二面角的两种方法各有利弊，要善于结合求线面角和二面角的两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题题目的特点选择适当

13、的方法解题. . 【例例1 1】(1)(1)已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，则直线，则直线BCBC1 1与平面与平面A A1 1BDBD所成所成的角的余弦值是的角的余弦值是( )( ) 2233A B C D4332(2)(2012(2)(2012福建高考福建高考) )如图如图, ,在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AA,AA1 1=AD=1,E=AD=1,E为为CDCD中点中点. .求证求证:B:B1 1EADEAD1 1; ;在棱在棱AAAA1 1上是否存在一点上是否存在一点P,P

14、,使得使得DPDP平面平面B B1 1AE?AE?若存在若存在, ,求求APAP的长的长; ;若不存在若不存在, ,说明理由说明理由; ;若二面角若二面角A-BA-B1 1E-AE-A1 1的大小为的大小为3030, ,求求ABAB的长的长. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.建立空间直角坐标系如图所示建立空间直角坐标系如图所示. .设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,直线直线BCBC1 1与平面与平面A A1 1BDBD所成的角为所成的角为,则则D(0,0,0),AD(0,0,0),A1 1(1,0,1),B(1,1,0),C(1,0,1),B(1,1,0),C1 1(0(0

15、，1 1，1)1)，11DA101 DB110 BC101 ， ， ， ， 设设n=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面A A1 1BDBD的一个法向量的一个法向量, ,则则 令令z=1,z=1,则则x=-1,y=1.x=-1,y=1.n=(-1,1,1)=(-1,1,1)，sin=sin=coscosn,BC,BC1 1= =0, 0, , ,cos=cos=1DAxz0DBxy0, nn1 16332，2231 sin.3 (2)(2)以以A A为原点为原点, , 的方向分别为的方向分别为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴的轴的正方向建立空间直角坐标系正方向建立空间直角坐标系( (如图

16、如图),),设设AB=a,AB=a,则则A(0,0,0),A(0,0,0),D(0,1,0),DD(0,1,0),D1 1(0,1,1),E( 1,0),B(0,1,1),E( 1,0),B1 1(a,0,1),(a,0,1),故故 = =(0,1,1), =( 1,-1), =(a,0,1), =( 1,0).(0,1,1), =( 1,-1), =(a,0,1), =( 1,0).1AB,AD,AA a,21AD 1B Ea,21AB AE a,2BB1 1EADEAD1 1. .11aAD B E0 () 1 1 110,2 假设在棱假设在棱AAAA1 1上存在一点上存在一点P(0,0,

17、zP(0,0,z0 0),),使得使得DPDP平面平面B B1 1AE.AE.此时此时 =(0,-1,z=(0,-1,z0 0).).又设平面又设平面B B1 1AEAE的法向量的法向量n=(x,y,z).=(x,y,z).n平面平面B B1 1AE,AE,n n 得得取取x=1,x=1,得平面得平面B B1 1AEAE的一个法向量的一个法向量n=(1, -a).=(1, -a).要使要使DPDP平面平面B B1 1AE,AE,只要只要n 有有 -az-az0 0=0,=0,解得解得又又DPDP 平面平面B B1 1AE,AE,存在点存在点P,P,满足满足DPDP平面平面B B1 1AE,AE

18、,此时此时DP 1AB , AE, axz0,axy0.2a,2DP, a201z,21AP.2连接连接A A1 1D,BD,B1 1C,C,由长方体由长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1及及AAAA1 1=AD=1,=AD=1,得得ADAD1 1AA1 1D.D.BB1 1CACA1 1D,ADD,AD1 1BB1 1C.C.又由知又由知B B1 1EADEAD1 1, ,且且B B1 1CBCB1 1E=BE=B1 1, ,ADAD1 1平面平面DCBDCB1 1A A1 1, , 是平面是平面A A1 1B B1 1E E的一个法向量的一个法向量, ,

19、此时此时 =(0,1,1).=(0,1,1).设设ADAD1 1与与n所成的角为所成的角为,则则cos=cos=1AD 1AD 1212aaAD2.|AD |a2 1a4 nn二面角二面角A-BA-B1 1E-AE-A1 1的大小为的大小为3030, ,|cos|=cos30|cos|=cos30, ,即即解得解得a=2,a=2,即即ABAB的长为的长为2.2.23a32,25a2 14【变式训练变式训练】如图，在四面体如图，在四面体ABCDABCD中，平面中，平面ABCABC平面平面ACDACD，ABBC,AD=CD,ABBC,AD=CD,CAD=30CAD=30. .(1)(1)若若AD=

20、2,AB=2BC,AD=2,AB=2BC,求四面体求四面体ABCDABCD的体积；的体积；(2)(2)若二面角若二面角C-AB-DC-AB-D为为6060，求异面直线，求异面直线ADAD与与BCBC所成角的余弦值所成角的余弦值. .【解析解析】(1)(1)如图如图1,1,设设F F为为ACAC的中点，连接的中点，连接DFDF，由于，由于AD=CDAD=CD，所以所以DFAC.DFAC.故由平面故由平面ABCABC平面平面ACDACD，知，知DFDF平面平面ABCABC，即即DFDF是四面体是四面体ABCDABCD的面的面ABCABC上的高，上的高，且且DF=ADsin30DF=ADsin30=

21、1=1，AF=ADcos30AF=ADcos30= =3.在在RtRtABCABC中，因中，因AC=2AF= AC=2AF= ，AB=2BCAB=2BC，由勾股定理易知由勾股定理易知故四面体故四面体ABCDABCD的体积的体积V= SV= SABCABCDFDF2 32 154 15BCAB.55,13114 152 1541.32555 (2)(2)如图如图2 2，过，过F F作作FMACFMAC，交，交ABAB于于M M，已知，已知AD=CDAD=CD，平面，平面ABCABC平面平面ACDACD，易知，易知FCFC，FDFD，FMFM两两垂直，以两两垂直，以F F为原点，射线为原点，射线F

22、MFM，FCFC，FDFD分别为分别为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴的正半轴，建立空间直角坐标系轴的正半轴，建立空间直角坐标系. .设设AD=2AD=2，由，由CD=ADCD=AD，CAD=30CAD=30，易知点，易知点A A，C C，D D的坐标分别为的坐标分别为A(0, ,0),C(0, ,0),D(0,0,1),A(0, ,0),C(0, ,0),D(0,0,1),则则显然向量显然向量k=(0,0,1)=(0,0,1)是平面是平面ABCABC的一个法向量的一个法向量. .已知二面角已知二面角CABDCABD为为6060，故可取平面，故可取平面ABDABD的单位法向量的单位法向量t

23、=(=(l,m,n),m,n),使得使得t, ,k=60=60，从而，从而33AD0, 3,1 . 1n.2由由t , ,有有 m+n=0,m+n=0,从而从而由由l2 2+m+m2 2+n+n2 2=1,=1,得得l= =设点设点B B的坐标为的坐标为(x,y,0)(x,y,0)，由由 可取可取l= =有有解之得解之得AD 33m.6 6.322xy363xy3036，ABBC,AB, t6,34 6xx09.y37 3y9 或舍去易知易知l= = 与坐标系的建立方式不合，舍去与坐标系的建立方式不合，舍去. .因此点因此点B B的坐标为的坐标为( ).( ).所以所以从而从而又异面直线的夹角

24、又异面直线的夹角(0, (0, , ,故异面直线故异面直线ADAD与与BCBC所成角的余弦值为所成角的余弦值为634 6 7 3,0994 62 3CB(,0).99 22AD CB cos|AD|CB|2 33()39,64 62 33 1()()99 23.6热点考向热点考向 2 2 用空间向量求空间距离用空间向量求空间距离【方法点睛方法点睛】求平面求平面外一点外一点P P到平面到平面的距离的步骤的距离的步骤(1)(1)求平面求平面的法向量的法向量n；(2)(2)在平面在平面内取一点内取一点A,A,确定向量确定向量 的坐标；的坐标；(3)(3)代入公式代入公式d= d= 求解求解. . P

25、A |PA| nn【例例2 2】(1)(1)在棱长为在棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E为为BBBB1 1的的中点，则点中点，则点C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距离是的距离是_._.(2)(2)已知四棱锥已知四棱锥P-ABCDP-ABCD中中PAPA平面平面ABCDABCD，且且PA=4PQ=4PA=4PQ=4，CDA=BAD=90CDA=BAD=90,AB=2,AB=2,CD=1,AD= ,M,NCD=1,AD= ,M,N分别是分别是PDPD，PBPB的中点的中点. .求证：求证：MQMQ平面平面P

26、CBPCB；求截面求截面MCNMCN与底面与底面ABCDABCD所成二面角的大小；所成二面角的大小；求点求点A A到平面到平面MCNMCN的距离的距离. .2【解题指南解题指南】(1)(1)建立空间直角坐标系，利用点到面的距离公式建立空间直角坐标系，利用点到面的距离公式求解求解. .(2)(2)以以A A为原点建立空间直角坐标系，用向量法求解：为原点建立空间直角坐标系，用向量法求解：求出平面求出平面PCBPCB的一个法向量的一个法向量n0 0, ,只需证明只需证明 n0 0=0=0即可；即可；先求出截面先求出截面MCNMCN的一个法向量的一个法向量n, ,只需利用夹角公式求得两个只需利用夹角公

27、式求得两个平面的法向量的夹角平面的法向量的夹角 , ,便可得出答案；便可得出答案；利用点到平面的距离公式解题利用点到平面的距离公式解题. .MQ AP 【规范解答规范解答】(1)(1)以以A A为原点建立空间直角坐标系如图所示为原点建立空间直角坐标系如图所示. .则则A A1 1(0,0,1)(0,0,1)，E(1,0E(1,0， ) )，D(0,1,0)D(0,1,0)，C C1 1(1,1,1).(1,1,1). =(0,1,-1), =(0,1,-1),设平面设平面A1EDA1ED的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(x,y,z)=(x,y,z)，121A D 11A E(1,0,)2

28、 由由 得得令令z=2z=2，则，则n1 1=(1,2,2).=(1,2,2).又又 =(-1,-1,0)=(-1,-1,0)，点点C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距离的距离答案答案: :1 11111A Dyz01A Exz02 ，nnyz.1xz211C A1111|C A|3d1.|3 nn(2)(2)以以A A为原点，以为原点，以ADAD，ABAB，APAP所在直线分别为所在直线分别为x,y,zx,y,z轴建立空轴建立空间直角坐标系如图所示间直角坐标系如图所示, ,由由AB=2AB=2，CD=1CD=1，AD= AD= ，PA=4PQ=4PA=4PQ=4，M M，N N分

29、别是分别是PDPD，PBPB的中点，可得的中点，可得2A(0,0,0),B(0,2,0),C( ,1,0),D( ,0,0),A(0,0,0),B(0,2,0),C( ,1,0),D( ,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M( ,0,2),N(0,1,2)P(0,0,4),Q(0,0,3),M( ,0,2),N(0,1,2)，设平面设平面PCBPCB的一个法向量为的一个法向量为n0 0=(x,y,z),=(x,y,z),则有则有令令z=1,z=1,则则x=x= ,y=2,y=2n0 0=(=( , ,2 2, ,1)1)，又又MQMQ 平面平面PCBPCB，MQMQ平面平面PCB.

30、PCB.22222BC210 PB0 24 MQ(01)2 ， ， ， ， ，.00BC(x,y,z)2, 1,002xy0PB(x,y,z) 0,2, 402y4z0 ，nn2202MQ(01)2,2,10,2 ， ，n设平面设平面MCNMCN的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,z)=(x,y,z)，又又 则有：则有：令令z=1,z=1,则则x=x= ,y=1,y=1n=(=( ，1 1，1)1)，又又 =(0=(0，0 0，4)4)为平面为平面ABCDABCD的一个法向量，的一个法向量，2CM(1 2) CN(2 0 2)2 ， ， ， ，22CM(x,y,z) (, 1,2)0 x

31、y2z022CN(x,y,z)2,0,202x2z0, nn22AP 又截面又截面MCNMCN与底面与底面ABCDABCD所成的二面角为锐二面角，所成的二面角为锐二面角，截面截面MCNMCN与底面与底面ABCDABCD所成二面角的大小为所成二面角的大小为 ,所求的距离所求的距离AP41cos,242| |AP| nnn.3CA(2, 1,0) |CA|221 1 1 0|3d.|22 nn【互动探究互动探究】在本例在本例(1)(1)中，若条件不变，结论改为中，若条件不变，结论改为“则直线则直线A A1 1C C1 1与平面与平面A A1 1EDED所成角的大小为所成角的大小为_”_”，则如何求

32、解？，则如何求解？【解析解析】由例题由例题(1)(1)的解法知，平面的解法知，平面A A1 1EDED的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(1,2,2)=(1,2,2)， =(-1,-1,0).=(-1,-1,0).设所求角为设所求角为，则，则sin=|cossin=|cos|=, |=故直线故直线A A1 1C C1 1与平面与平面A A1 1EDED所成角的大小为所成角的大小为4545. .答案答案: :454511C A11C A111111|C A |32.2| |C A |32nn【反思反思感悟感悟】空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、点

33、到面的距离等点到面的距离等. .其中点到点、点到线的距离可以用空间向量的其中点到点、点到线的距离可以用空间向量的模来求解，而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借模来求解，而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借助于几何体的体积求解助于几何体的体积求解. .【变式备选变式备选】如图所示的多面体是由底面为如图所示的多面体是由底面为ABCDABCD的长方体被截的长方体被截面面AEFGAEFG所截而得，其中所截而得，其中AB=4AB=4，BC=1BC=1，BE=3BE=3，CF=4CF=4，若如图所示，若如图所示建立空间直角坐标系：建立空间直角坐标系：(1)(1)求求 和点和点G G的坐标；

34、的坐标；(2)(2)求异面直线求异面直线EFEF与与ADAD所成的角；所成的角；(3)(3)求点求点C C到截面到截面AEFGAEFG的距离的距离. .EF【解析解析】 (1) (1)由图可知：由图可知：A(1,0,0)A(1,0,0)，B(1,4,0)B(1,4,0)，E(1,4,3)E(1,4,3)，F(0,4,4)F(0,4,4)， =(-1,0,1)=(-1,0,1)，又又 ，设，设G(0,0G(0,0，z)z)，则则(-1,0(-1,0，z)=(-1,0,1)z)=(-1,0,1)，z=1z=1，即，即G(0,0,1).G(0,0,1).(2) =(-1,0,0)(2) =(-1,0

35、,0)， =(-1,0,1)=(-1,0,1)，ADAD和和EFEF所成的角为所成的角为4545. .EFAGEFAD EFAD EF2cos2|AD| |EF| ，(3)(3)设设n平面平面AEFGAEFG，n=(x=(x0 0，y y0 0，z z0 0) )，而而 =(-1,0,1)=(-1,0,1)， =(0,4,3)=(0,4,3)，则则 , ,得得n=(z=(z0 0， z z0 0，z z0 0) )，取，取z z0 0=4=4，则，则n=(4,-3,4)=(4,-3,4)， =(0,0,4)=(0,0,4)，所求距离为所求距离为点点C C到截面到截面AEFGAEFG的距离为的距

36、离为AGAE ，nnAGAE 0000 xz04y3z00000 xz,3yz4 34CF|CF|16 41d.|41nn16 41.41热点考向热点考向 3 3 用空间向量解决探索性问题用空间向量解决探索性问题【方法点睛方法点睛】探索性问题的类型及解题策略探索性问题的类型及解题策略探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种：探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种：(1)(1)存在判断型存在判断型存在判断型问题的解题策略是：先假设存在，并在假设的前提存在判断型问题的解题策略是：先假设存在，并在假设的前提下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若出现矛盾则否定假下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若

37、出现矛盾则否定假设设. .(2)(2)位置判断型位置判断型与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略为：将空间中的与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略为：将空间中的平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决. .与角有关的探索性问题的解题策略为：将空间角转化为与向与角有关的探索性问题的解题策略为：将空间角转化为与向量有关的问题后应用公式量有关的问题后应用公式coscos= ( (其中其中n1 1, ,n2 2是是两平面的两平面的法向量或两直线的方向向量法向量或两直线的方向向量) )即可解决即可解决. . 1212| |n nnn【例例3 3】如图，在三棱锥如图，

38、在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，AB=ACAB=AC，D D为为BCBC的中点，的中点，POPO平面平面ABCABC，垂足，垂足O O落在落在线段线段ADAD上，已知上，已知BC=8BC=8，PO=4PO=4，AO=3AO=3，OD=2.OD=2.(1)(1)证明：证明：APBCAPBC；(2)(2)在线段在线段APAP上是否存在点上是否存在点M M，使得二面角，使得二面角A-MC-BA-MC-B为直二面角？为直二面角？若存在，求出若存在，求出AMAM的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由. .【解题指南解题指南】建立坐标系，建立坐标系，(1)(1)利用利用 来证明；来证明；

39、(2)(2)假设假设存在满足条件的点，求出两个半平面的法向量，判断两法向量存在满足条件的点，求出两个半平面的法向量，判断两法向量是否能垂直即可是否能垂直即可. .若垂直，则假设成立；若不垂直，则假设不成若垂直，则假设成立；若不垂直，则假设不成立立. .AP BC0 【规范解答规范解答】(1)(1)如图以如图以O O为原点，以为原点，以 的正方向分别为的正方向分别为y y轴，轴，z z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则轴的正方向，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)O(0,0,0)，A(0,-3,0),B(4,2,0)A(0,-3,0),B(4,2,0)，C(-4,2,0),C(-4,2,0)

40、,P(0,0,4).P(0,0,4). ，即，即APBC.APBC.ODOP ，AP0 3 4 BC8 0 0AP BC0 ， ， ， ， .，APBC (2)(2)假设存在假设存在M M，设，设 , ,其中其中0,1),0,1),则则 =(0,-3,-4)=(0,-3,-4).=(0,-3,-4)=(0,-3,-4).=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2-3,4-4)=(-4,-2-3,4-4) =(-4,5,0), =(-8,0,0) =(-4,5,0), =(-8,0,0)PMPA PMBMBPPMBPPA AC BC 设平面设平

41、面BMCBMC的一个法向量的一个法向量n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )，平面平面APCAPC的一个法向量的一个法向量n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),由由即即可取可取n1 1=(0,1,=(0,1, ),),111111BM4x23y44z0,BC8x0, nn111x0,23zy ,44 2344 由由得得 可取可取n2 2=(5,4,-3).=(5,4,-3).由由n1 1n2 2=0,=0,得得4-3 =04-3 =0，解得解得= = ，故，故AM=3.AM=3.综上所述，存在点综上所述，存在点M M符合题意，符合题意，AM=3.A

42、M=3.222222AP3y4z0,AC4x5y0, nn22225xy ,43zy ,4 2344 25【反思反思感悟感悟】1.1.开放性问题是近几年高考中出现较多的一种开放性问题是近几年高考中出现较多的一种题型，向量法是解此类问题的常用方法题型，向量法是解此类问题的常用方法. .2.2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在有解但不满足题意或无解则不存在. .【变式训练变式训练】(2012

43、(2012武汉模拟武汉模拟) )如图，平面如图，平面PADPAD平面平面ABCDABCD，四边形，四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，PADPAD是直角三角形，且是直角三角形，且PA=AD=2PA=AD=2，E E、F F、G G分别是线段分别是线段PAPA、PDPD、CDCD的中点的中点. .(1)(1)求证：求证：PBPB平面平面EFGEFG；(2)(2)求异面直线求异面直线EGEG与与BDBD所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)(3)在线段在线段CDCD上是否存在一点上是否存在一点Q Q，使得，使得A A点到平面点到平面EFQEFQ的距离为的距离为 ，若存在，求出，若存在，求出C

44、QCQ的值？若不存在，请说明理由的值？若不存在，请说明理由. .45【解析解析】方法一：建立如图所示的空间直角坐标系方法一：建立如图所示的空间直角坐标系, ,则则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).F(0,1,1),G(1,2,0).(1) =(2,0,-2), =(0,-1,0),(1) =(2,0,-2), =(0,-1,0), =(1,1,-1), =(1,1,-1),设设

45、即即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1)(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1)，PBFEFG PBsFEtFG ， 解得解得s=t=2.s=t=2.又又 与与 不共线，不共线， 与与 共面共面 . .PB PB 平面平面EFGEFG，PBPB平面平面EFG.EFG.t2,ts0,t2, PB2FE2FG, FEFG FG PBFE ，(2) =(1,2,-1)(2) =(1,2,-1)， =(-2,2,0).=(-2,2,0).故异面直线故异面直线EGEG与与BDBD所成角的余弦值为所成角的余弦值为 EG BD EG BD243cos,6|EG | |BD

46、|6 2 2 3.6(3)(3)假设在线段假设在线段CDCD上存在一点上存在一点Q Q满足题设条件，令满足题设条件，令CQ=m(0m2),CQ=m(0m2),则则DQ=2-m,DQ=2-m,点点Q Q的坐标为的坐标为(2-m,2,0), =(2-m,2,-1),(2-m,2,0), =(2-m,2,-1),而而 =(0,1,0),=(0,1,0),设平面设平面EFQEFQ的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),则则EQ EFEF(x,y,z) 0,1,00,EQ(x,y,z) 2m,2, 10y0,2m x2yz0. nn令令x=1,x=1,则则n=(1,0,2-m)

47、,=(1,0,2-m),又又 =(0,0,1)=(0,0,1)，点点A A到平面到平面EFQEFQ的距离的距离d=d=即即(2-m)(2-m)2 2= ,= ,m= m= 或或m= ,m= ,又又m= 2m= 2不合题意，舍去不合题意，舍去. .故存在点故存在点Q Q，当，当CQ= CQ= 时，点时，点A A到平面到平面EFQEFQ的距离为的距离为AE 2AE2m4| |512m ，nn16923103103234.5方法二：方法二：(1)(1)取取ABAB的中点的中点H H，连接，连接GHGH，HEHE，E E、F F、G G分别是线段分别是线段PAPA、PDPD、CDCD的中点，的中点，G

48、HADEFGHADEF，E E、F F、H H、G G四点共面四点共面. .又又H H为为ABAB的中点，的中点，EHPB.EHPB.又又EHEH平面平面EFGEFG，PB PB 平面平面EFGEFG，PBPB平面平面EFG.EFG.(2)(2)取取BCBC的中点的中点M M，连接，连接GMGM、AMAM、EMEM，则，则GMBDGMBD，EGM(EGM(或其补角或其补角) )就是异面直线就是异面直线EGEG与与BDBD所成的角所成的角. .在在RtRtMAEMAE中，中，同理同理EG= EG= ，又，又GM= BD= GM= BD= ，在在MGEMGE中，中，cosEGM= cosEGM=

49、故异面直线故异面直线EGEG与与BDBD所成角的余弦值为所成角的余弦值为 22EMAEAM6，6122222EGGMME2EG GM6263,62 623.6(3)(3)假设在线段假设在线段CDCD上存在一点上存在一点Q Q满足题设条件，过点满足题设条件，过点Q Q作作QRABQRAB于于R R，连接，连接RERE，则，则QRAD.QRAD.四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，PADPAD是直角三角形，是直角三角形，ADABADAB，ADPA.ADPA.又又ABPA=AABPA=A，ADAD平面平面PAB.PAB.又又E E、F F分别是分别是PAPA、PDPD的中点，的中点，EF

50、ADEFAD，EFEF平面平面PAB.PAB.又又EFEF平面平面EFQEFQ，平面平面EFQEFQ平面平面PAB.PAB.过过A A作作ATERATER于于T T，则，则ATAT平面平面EFQEFQ，ATAT就是点就是点A A到平面到平面EFQEFQ的距离的距离. .设设CQ=x(0 x2),CQ=x(0 x2),则则BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,在在RtRtEAREAR中，中， 解得解得故存在点故存在点Q Q，当，当CQ= CQ= 时，点时，点A A到平面到平面EFQEFQ的距离为的距离为22AR AE(2x) 14ATRE52x1，2x.

51、3234.5【变式备选变式备选】(2012(2012泉州模拟泉州模拟) )如图，已知如图，已知三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的侧棱与底面垂直，的侧棱与底面垂直，AAAA1 1= =AB=AC=1AB=AC=1，ABACABAC，M M、N N分别是分别是CCCC1 1，BCBC的中的中点，点点，点P P在直线在直线A A1 1B B1 1上，且上，且(1)(1)证明：无论证明：无论取何值，总有取何值，总有AMPNAMPN；(2)(2)当当取何值时，直线取何值时，直线PNPN与平面与平面ABCABC所成的角所成的角最大？并求该最大？并求该角取最大值时的正切值角取最

52、大值时的正切值. .(3)(3)是否存在点是否存在点P P，使得平面，使得平面PMNPMN与平面与平面ABCABC所成的二面角为所成的二面角为3030，若存在，试确定点，若存在，试确定点P P的位置，若不存在，请说明理由的位置，若不存在，请说明理由. .111A PA B 【解析解析】如图，以如图，以A A为原点建立空间直角坐标系，则为原点建立空间直角坐标系，则A A1 1(0,0,1),B(0,0,1),B1 1(1,0,1),(1,0,1),M(0,1, ),N( , ,0),M(0,1, ),N( , ,0), =(1,0,0)=(,0,0) =(1,0,0)=(,0,0)，(1) =(

53、0,1, )(1) =(0,1, )，无论无论取何值，总有取何值，总有AMPN.AMPN.121212111A PA B 11APAAA P0111PN(1)22 ， ，AM 1211AM PN00,AMPN,22 (2)(2)m=(0,0,1)=(0,0,1)是平面是平面ABCABC的一个法向量的一个法向量. .sin=|cossin=|cos|, |当当= = 时，时，取得最大值，取得最大值，此时此时sin= ,cos= ,tan=2sin= ,cos= ,tan=2即当即当= = 时，时，取得最大值，且取得最大值，且tan=2.tan=2.PN 2200 111115()1()24241

54、2451512(3)(3)假设存在，假设存在， , ,设设n=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面PMNPMN的一个的一个法向量法向量. .则则 得得令令x=3x=3，得，得y=1+2,z=2-2y=1+2,z=2-2，n=(3,1+2,2-2),=(3,1+2,2-2),1 1 1NM(, )2 2 2 111xyz022211()xyz02212yx322zx3 ，化简得化简得442 2+10+13=0(+10+13=0(* *) )=100-4=100-44 413=-1080,13=-1080,方程方程( (* *) )无解，无解，不存在点不存在点P P使得平面使得平面PMNPM

55、N与平面与平面ABCABC所成的二面角为所成的二面角为3030. .22223cos,291222 m n1.(20131.(2013龙岩模拟龙岩模拟) )已知二面角已知二面角-l-的大小是的大小是 m,nm,n是异是异面直线面直线, ,且且m,nm,n，则，则m,nm,n所成的角为所成的角为( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析解析】选选B.m,n,B.m,n,异面直线异面直线m,nm,n所成的钝角与二面角所成的钝角与二面角-l-互补互补. .又又异面直线所成角的范围为异面直线所成角的范围为m,nm,n所成的角为所成的角为,323326(0,2.32.

56、(20122.(2012西安模拟西安模拟) )如图，正方体如图，正方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，O O是平面是平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的中的中心，则心，则O O到平面到平面ABCABC1 1D D1 1的距离是的距离是( )( ) 12A B2423C D22【解析解析】选选B.B.以以D D为原点，为原点，DADA，DCDC，DDDD1 1所在直线分别为所在直线分别为x,y,zx,y,z轴轴建立空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，则C C1 1(0,1,1),O( , ,1),D(0,0,0)(0,1,1),O( , ,1),D(0,0,0)和和A A1 1(1,0,1),(1,0,1),显然显然 =(1,0,1)=(1,0,1)是平面是平面ABCABC1 1D D1 1的一个法向量的一个法向量. .又又点点O O到平面到平面ABCABC1 1D D1 1的距离的距离12121DA 11 1OC(,0),2 2 1111|DA OC |22d.4|