初中数学之二次函数最值问题

1、初中数学之二次函数最值问题一、选择题1.2021年山东省潍坊市假设一次函数的图像过第一、三、四象限,那么函数 A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值2.2021浙江杭州如图，记抛物线的图象与正半轴的交点为，将线段分成等份设分点分别为，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点，再记直角三角形，的面积分别为，这样就有，；记，当越来越大时，你猜想最接近的常数是 ABCD308绵阳市二次函数y = ax2 + bx + c的局部对应值如下表：x321012345y12503430512利用二次函数的图象可知，当函数值y0时，x的取值范围是 Ax0或x2 B0x2Cx1或x3 D1x34

2、2021年浙江省嘉兴市一个函数的图象如图，给出以下结论：当时，函数值最大；当时，函数随的增大而减小；存在，当时，函数值为0其中正确的结论是 ABCD 5.(2021 湖北 恩施) 将一张边长为30的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当取下面哪个数值时,长方体的体积最大 A. 7 B. 6 C. 5 D. 46.2021泰安如下列图是二次函数的图象在轴上方的一局部，对于这段图象与轴所围成的阴影局部的面积，你认为与其最接近的值是 A4BCD72021山东泰安函数的图象如下列图，以下对该函数性质的论断不可能正确的选项是 A该函数的图象是中心对称图形B当时，该函

3、数在时取得最小值2C在每个象限内，的值随值的增大而减小D的值不可能为18.假设一次函数的图像过第一、三、四象限,那么函数 A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值二、填空题1.某商店经营一种水产品，本钱为每千克40元的水产品，据市场分析，假设按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况， 销售单价定为 元时，获得的利润最多. 2二次函数与一次函数的图象相交于点A2，4，B8，2如下列图，那么能使成立的的取值范围是3.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.

4、5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，那么绳子的最低点距地面的距离为 _米4.二次函数的最小值是 5. 兰州市“安居工程新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y元/平方米随楼层数x楼的变化而变化x=1，2，3，4，5，6，7，8；点x，y都在一个二次函数的图像上如图6所示，那么6楼房子的价格为 元/平方米 6.农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图11所示，那么需要塑料布m2与半径m的函数关系式是不考虑塑料埋在土里的局部 7.如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高 度单位：米与小球运动时间单位：秒的函数关系式是，那么小球运动中的

5、最大高度 三、简答题1.直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如下列图，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠局部(图中的阴影局部)的面积为S；(1)求OAB的度数，并求当点A在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠局部的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？假设存在，求出这个最大值，并求此时t的值；假设不存在，请说明理由。2.在ABC中，A90，AB4，AC3，M

6、是AB上的动点不与A，B重合，过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN令AMx 1用含x的代数式表示NP的面积S； 2当x为何值时，O与直线BC相切？ 3在动点M的运动过程中，记NP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？3.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地 面的距离AO和BD均为O. 9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E。以点O为原点建立如下列图的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y

7、=ax2+bx+0.9. (1)求该抛物线的解析式；(2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图像，写出t自由取值范围 。 4.一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备安装时间不计，一方面改善了环境，另一方面大大降低原料本钱.据测算，使用回收净化设备后的1至x月1x12的利润的月平均值w万元满足w=10x+90,第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平。 1设使用回收净化设备后的1至x月1x12的利

8、润和为y,写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？ 2当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等？ 3求使用回收净化设备后两年的利润总和。5.为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间小时成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数，如下列图据图中提供的信息，解答以下问题：1写出从药物释放开始，与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；2据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，

9、学生才能进入教室？6.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图15所示，该图可以近似看作为抛物线的一局部，请结合图象，解答以下问题：1求该抛物线对应的二次函数解析式2该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？3假设照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况是否亏损？何时亏损？作预测分析。7.如图，河上有一座抛物线桥洞，桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽为6m，当水位上升0.5m时：1求水面的宽度为多少米？2有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行假设游船宽指船的最大宽度为2m，从水面到棚

10、顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？假设从水面到棚顶的高度为m的游船刚好能从桥洞下通过，那么这艘游船的最大宽度是多少米？8.某服装公司试销一种本钱为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于本钱价，又不高于每件70元，试销中销售量件与销售单价元的关系可以近似的看作一次函数如图1求与之间的函数关系式；2设公司获得的总利润总利润总销售额总本钱为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？9.，如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为4，求的值.10.如图，足球场上守门员在处开出一高球，球

11、从离地面1米的处飞出在轴上，运发动乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方到达最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半1求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式2足球第一次落地点距守门员多少米？取3运发动乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？取11.如图，现有两块全等的直角三角形纸板，它们两直角边的长分别为1和2将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板沿直尺边缘平行移动当纸板移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点1求直线所对应的函数关系式；2当

12、点是线段端点除外上的动点时，试探究：点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；两块纸板重叠局部图中的阴影局部的面积是否存在最大值？假设存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；假设不存在，请说明理由12.如图11，二次函数的图像经过三点A，B，C，它的顶点为M，又正比例函数的图像于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点。求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；点E，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量的取值范围；当时，求四边形PCMB的面积的最小值。【参考公式：两点，那么线段DE的中点坐标为】13.某人定制了一批地砖，每块地砖如图(1)所示是边

13、长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，假设将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影局部组成四边形EFGH(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？14.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,这种产品的本钱价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天

14、的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:=280.设这种产品每天的销售利润为(元).(1)求与之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?15.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为吨时，所需的全部费用万元与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，万元均与满足一次函数关系注：年利润年销售额全部费用1成果说明，在甲地生产并销售吨时，请你用含

15、的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润万元与之间的函数关系式；2成果说明，在乙地生产并销售吨时，为常数，且在乙地当年的最大年利润为35万元试确定的值；3受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商方案第一年生产并销售该产品18吨，根据1，2中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？16.：如下列图的两条抛物线的解析式分别是，其中为常数，且1请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；2当时，设与轴分别交于两点在的左边，与轴分别交于两点在的左边，观察四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；3设上述两条抛物线相交于两点，直线都垂直于轴，分别经过两点，

16、在直线之间，且与两条抛物线分别交于两点，求线段的最大值17.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体看成一点的路线是抛物线的一局部，如图1求演员弹跳离地面的最大高度；2人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由18.青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建据测算，假设每个房间的定价为60元天，房间将会住满；假设每个房间的定价每增加5元天时，就会有一个房间空闲度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元天间没住宿的不支出问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？19.小

17、李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化1求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；2当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？参考公式：二次函数yax2bxc0，当x时，20.某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元售价每件不能高于45元，那么每星期少卖10件。设每件涨价元为非负整数，每星期的销量为件求与的函数关系式及自变量的取值范围；如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？提示：21.如图，抛物线与轴交于A、B两点

18、点A在点B左侧，与y轴交于点C，且当=O和=4时，y的值相等。直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M。(1)求这条抛物线的解析式；(2)P为线段OM上一点，过点P作PQ轴于点Q。假设点P在线段OM上运动点P不与点O重合，但可以与点M重合，设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(3)随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；(4)随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO

19、=OC？如果存在，请求出t的值。22.如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子纸板的厚度忽略不计1要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？2你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；3如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由23.现有一块矩形场地，如图12

20、所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：兰花；菊花；月季；牵牛花1求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式；求出此函数与轴的交点坐标，并写出自为量的取值范围2当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？请在格点图13中画出此函数图象的草图提示：找三点描出图象即可24.2021海南省如图12，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点P与A、C不重合，点E在射线BC上，且PE=PB.1求证： PE=PD ； PEPD；2设AP=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. 25.

21、：如图，RtAOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OCOB，抛物线y=(x2)(xm)(p-2)(p-m)m、p为常数且m+22p0经过A、C两点 1用m、p分别表示OA、OC的长； 2当m、p满足什么关系时，AOB的面积最大26.如图，抛物线经过点1，-5和-2，41求这条抛物线的解析式2设此抛物线与直线相交于点A，B点B在点A的右侧，平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长用含的代数式表示3在条件2的情况下，连接OM、BM，是否存在的值，使BOM的面积S最大？假设存在，请求出的值，假设不存在，请说明理由27.如图，等

22、腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，C=60，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.1求AD的长；2设CP=x，问当x为何值时PDQ的面积到达最大，并求出最大值；3探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？假设存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.28.我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元

23、，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售1设到后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式2假设存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与之间的函数关系式3李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？利润销售总额收购本钱各种费用29.王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回忆反思，效果会更好某一天他利用30分钟时间进行自主学习假设他用于解题的时间单位：分钟与学习收益量的关系如图甲所示，用于回忆反思的时间单位：分钟与学习收益量的关系如图乙所示其中是抛物线的一局部，为抛物线的顶点，且用于回忆反思的时

24、间不超过用于解题的时间1求王亮解题的学习收益量与用于解题的时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；2求王亮回忆反思的学习收益量与用于回忆反思的时间之间的函数关系式；3王亮如何分配解题和回忆反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？学习收益总量解题的学习收益量回忆反思的学习收益量30.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为2，4，直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动1求线段所在直线的函数解析式；2设抛物线顶点的横坐标为,用的代数式表示点的坐标；当为何值时，线段最短；3当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使 的面积与的面积相等，假设存在，请求出

25、点的坐标；假设不存在，请说明理由31.如图1，在中，AB=AC=10，AD为底边BC上的高，且AD=6。将沿箭头所示的方向平移，得到。如图2，交AB于E，分别交AB、AD于G、F。以为直径作，设的长为x，的面积为y。1求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；2连结EF，求EF与相切时x的值；3设四边形的面积为S，试求S关于x的函数表达式，并求x为何值时，S的值最大，最大值是多少？ 42.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的本钱为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐本钱)假设每份售价不超过10元，每天可销售400份；假设每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量

26、就减少40份为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数，用y(元)表示该店日净收入(日净收入每天的销售额套餐本钱每天固定支出)(1)求y与x的函数关系式；(2)假设每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？43.随着绿城南宁近几年城市建设的快速开展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户方案投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-所示注：利润与投资量的单位：万元1分别求出利润与关于投资量的函数关系式；2如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？44.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处1直接写出点E、F的坐标；2设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，